李瀚荪编《电路分析基础》(第4版)第八章

时域分析电阻电路（代数方程）动态电路（微分方程）变换域分析相量分析法－正弦稳态分析s域分析法－一般动态电路变换域分析方法正弦稳态分析的重要性：1.很多实际电路都工作于正弦稳态。2.用相量法分析正弦稳态十分有效。3.已知线性动态电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形信号激励下的响应。正弦稳态分析正弦稳态的相量分析重点内容：基本概念振幅相量、相量图、阻抗、导纳相量法分析正弦稳态电路正弦稳态电路中的功率分析耦合电感、变压器多频正弦稳态电路分析8-1变换方法8-2复数8-3振幅相量8-4KCL和KVL的相量形式8-5三种基本元件VCR的相量形式8-6阻抗和导纳8-7正弦稳态分析－相量模型8-8正弦稳态混联电路8-9相量模型的网孔分析和节点分析8-10相量模型的等效8-11有效值有效值相量8-12相量图法第八章阻抗和导纳本章重点第八章阻抗和导纳基本概念振幅相量、阻抗、导纳、相量图、有效值正弦稳态响应的相量分析法8-1变换域方法基本思想变换的作用和步骤变换域中较易的问题原来的问题原来问题的解答直接求解变换变换域中问题的解答求解反变换1.复数A表示形式：)1(j为虚数单位A=a+jbAbReImaO|A|复数及运算jbaA||||AeAAj代数式指数式（极坐标式）三角函数式sin||cos||AjAA8-2复数几种表示法的关系：22||arctanAabbθa或θAbθ|A|asin||cosAbReImaO|A|)sin(cos||||jAeAjjbaA=a+jbA=|A|ej=|A|直角坐标表示极坐标表示A=a+jbA=|A|ej=|A|A=|A|ej=|A|直角坐标表示极坐标表示8-2复数2.复数运算则A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——直角坐标若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReImO加减法可用图解法。图解法8-2复数有两个复数A=a1+ja2=a∠θaB=b1+jb2=b∠θbA·B=(a1+ja2)(b1+jb2)=(a1b1-a2b2)+j(a2b1+a1b2)A·B=（a∠θa）·（b∠θb）=aejθa·bejθb=abej(θa+θb)=ab∠θa+θb(2)乘法运算8-2复数有两个复数A=a1+ja2=a∠θaB=b1+jb2=b∠θbA/B=(a1+ja2)/(b1+jb2)A/B=（a∠θa）/（b∠θb）=a/b（∠θa–θb）(3)除法运算8-2复数例1.?2510475)226.4063.9()657.341.3(2510475jj569.047.12j61.248.12解:8-2复数8-3振幅相量正弦函数：按正弦规律变化的量。表达式：波形：()cos()cos(2)2cos()mmmutUtUftUtT(1)幅值(amplitude)(振幅、最大值)：Um(2)角频率(angularfrequency)：ω(3)初相位(initialphaseangle)：ψ|ψ|(a)ψ0(b)ψ=0(c)ψ0由于已知振幅Fm，角频率ω和初相，就能完全确定一个正弦波，称它们为正弦波的三特征。8-3振幅相量★P8例2已知正弦电压的振幅为10伏，周期为100ms，初相为/6。试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图。解：角频率rad/s1010032022T函数表达式为V)3010cos(62.8)620cos(10)cos()(mtttUtu波形如右图。例3试求正弦量的振幅Fm、初相与频率f。)6100sin(10)(ttf解：将正弦量表达式化为基本形式：)65100sin(10)6100sin(10)(tttf)3100cos(10)265100cos(10tt所以Fm=10，=/3rad,=100rad/s,f=/2=50Hz变换时注意cos()10t三角公式的应用cos(90)sincos(270)sincossin(90)cos(180)cos8-3振幅相量★两个正弦波的相位之差，称为相位差。如两个同频率的正弦电流)cos()()cos()(22m211m1tItitIti电流i1(t)与i2(t)间的相位差为2121)()(tt正弦波间的相位差相位差反映出电流i1(t)与电流i2(t)在时间上的超前和滞后关系：当=1-20时，表明i1(t)超前i2(t)，超前的角度为。当=1-20时，表明i1(t)滞后i2(t)，滞后的角度为||。上式表明两个同频率正弦量在任意时刻的相位差均等于它们初相之差，与时间t无关。★(a)电流i1超前于电流i2,(b)电流i1滞后于电流i2当=1-2=0时，i1(t)与i2(t)同相。当=1-2=时，i1(t)与i2(t)反相。当=1-2=/2时，i1(t)与i2(t)正交(c)同相(d)正交(e)反相注意：角频率不同的两个正弦间的相位差为)()()()()(21212121tttt是时间t的函数，不再等于初相之差。例4已知正弦电压u(t)和电流i1(t),i2(t)的表达式为A)60cos(10)(A)45cos(5)(V)180cos(311)(21ttittittu试求:u(t)与i1(t)和i2(t)的相位差。135)45()180(u(t)与i2(t)的相位差为24060)180(解：u(t)与i1(t)的相位差为习惯上将相位差的范围控制在-180°到+180°之间。如：我们不说电压u(t)与电流i2(t)的相位差为-240，而说电压u(t)与电流i2(t)的相位差为(360-240)=120,即：u(t)超前于i2(t)120。习题1已知u1(t)=3cos(3t)V，u2(t)=-8cos(3t+250)mVi1(t)=5sin(5t+300)mAi2(t)=-sin(5t-600)A求（1）以上各正弦量的振幅，频率和初相。（2）u1与u2的相位关系，i1与i2的相位关系解：对于u1(t)=3cos(3t)V，其中Um＝3V，w＝3rad/s，ψ＝0，f＝w/2π＝3/2πHz对于u2(t)=-8cos(3t+250)mV，u2(t)=8cos(3t+250-1800)＝8cos(3t-1550)其中Um＝8mV，w＝3rad/s，ψ＝-1550，f＝w/2π＝3/2π＝1Hzu1与u2的相位关系：ψu1-ψu2＝0-(-1550)=1550即u1超前u21550对于i1(t)=5sin(5t+300)mA，i1(t)=5cos(5t+300-900)＝5cos(5t-600)其中Im＝5mA，w＝5rad/s，ψ＝-600，f＝w/2π＝5/2πHz对于i2(t)=-sin(5t-600)A，i2(t)=-cos(5t-600-900)=cos(5t-1500+1800)=cos(5t+300)其中Im＝-1A，w＝5rad/s，ψ＝300，f＝w/2π＝5/2πHzi1与i2的相位关系：ψi1-ψi2＝-600-(300)=-900即i1滞后i2900因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和振幅就行了。正弦量的相量表示正弦量复数引入欧拉公式cos()sin()jtetjtcos()Re{}jtte8-3振幅相量P9正弦量的相量表示()()cos()Re{}Re{}Re{}jtmmjjtjtmmutUtUeUeeUejmmmUUeU其中振幅初相()mUut振幅相量变换域─时间域8-3振幅相量★正弦量的相量表示相量图相量在复平面上的图示8-3振幅相量注意：正弦量与它的相量不相等]Re[]Re[)cos()(tjtjjFFtFtfeeemmmmjmmeFFFmmm)FFtFtfcos()(可见，一个按正弦规律变化的电压和电流，可以用一个相量(复常数)来表示。已知正弦量的时间表达式，可得相应的相量。反过来，已知电压电流相量，也就知道正弦电压电流的振幅和初相，再加上角频率，就能写出正弦电压电流的时间表达式(两者存在一一对应关系)。即immimummum)cos()()cos()(IItItiUUtUtuP10例8-2已知正弦电流i1(t)=5cos(314t+60)A,i2(t)=-10sin(314t+60)A。写出这两个正弦电流的电流相量，画出相量图。1j60j314j3141m()5cos(31460)Re[5ee]Re[]AttittIe得到表示正弦电流i1(t)=5cos(314t+60)A的相量为j601m5e560AI解：根据以下关系8-3振幅相量正弦电流与其电流相量的关系可以简单表示为j6011m()5cos(31460)5e560ittI对于正弦电流i2(t)=-10sin(314t+60)，有22()10sin(31460)10cos(3146090)10cos(314150)10150mittttI三角公式-sinx=cos(x+90)8-3振幅相量将各电流相量和画在一个复数平面上，就得到相量图，从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。A6051m＝IA15010m2I8-3振幅相量运用三角方法求解8-4相量形式的KCL、KVL接前面的例子，求i(t)=i1(t)+i2(t)12()()()5cos(31460)10sin(31460)5cos314cos605sin314sin6010sin314cos6010cos314sin60(5cos6010sin60)cos314(5sin6010cos60)sin3146.1602cos3149.3301sin31411.18cos(ititittttttttttt9.3301314arctan())6.160211.18cos(314123.4)ttm1m2m56010150(2.5j4.33)(8.66j5)(6.16j9.33)11.18123.4AIII采用复数运算有12m()()()cos(314)11.18cos(314123.4)AitititItt8-4相量形式的KCL、KVL1122()Re{},()Re{}jtjtftAeftAe相量的线性性质1122(),()ftAftA同频率的正弦量线性组合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。1212()()aftbftaAbA8-4相量形式的KCL、KVLnkkti10)(KCL的基本形式jm11()Re[e]0nntkkkkitI正弦稳态电路时，KCL的形式m10nkkI8-4相量形式的KCL、KVL相量形式的KCL定律：对于具有相同频率的正弦电路中的任一节点，流出该节点的全部支路电流相量的代数和等于零。★P131()0nkkutKVL的基本形式jm11()Re[e]0nntkkkkutU正弦稳态电路时，KVL的形式m10nkkU8-4相量形式的KCL、KVL相量形式的KVL定律：对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一回路，沿该回路全部支路电压相量的代数和等于零。★P13P14例8-512()10cos(60)()5sinittitt求i3(t)121