《数列的概念与简单表示法》复习参考课件

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.2.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫这个数列的通项公式.1.数列的概念按照排列着的一列数称为数列，一般用表示，数列中的每一个数叫做这个数列的项.一定顺序{an}序号nan＝f(n)[思考探究](1)数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？提示：不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为an＝(－1)n或an＝，有的数列没有通项公式.1()1()nn为奇数为偶数(2)数列是否可以看作一个函数，若是，其定义域是什么？提示：可以看作一个函数，其定义域是正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，可表示为an＝f(n).3.数列的表示方法数列的表示方法有、、.列表法公式法图象法1.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C.数列{}的第k项为1＋D.数列0,2,4,6，…可记为{2n}1nn1k解析：根据数列的定义与集合定义的不同可知A，B不正确；D项{2n}中的n∈N*，故不正确；C中an＝，∴ak＝1＋.答案：C1nn1k2.已知数列1，，，，…，，…，则3是这个数列的()A.第22项B.第23项C.第24项D.第28项解析：数列的通项公式是an＝，令3＝，解得n＝23，所以3是这个数列的第23项.答案：B73521n521n521n53.已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝，n∈N*，则a100＝()A.3198B.3199C.3200D.3201解析：a100＝＝＝＝3199.答案：B10099TT23n22100993322(10099)34.数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝.解析：当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝n2－(n－1)2＝2n－1，∴an＝答案：2(1),21(2).nnn≥2(1)21(2)nnn≥5.设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝.解析：由an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，∴累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，∴an＝.答案：(1)12nn(1)12nn1.观察法就是观察数列的特征，找出各项共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n的关系”，从而确定数列的通项公式.2.利用观察法求数列的通项时，要抓住以下几个特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.[特别警示]根据数列的前n项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整.写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，….(2)，，，，，….(3)－1，，－，，－，，….(4)，－1，，－，，－，….(5)3,33,333,3333，….1234783132151632133415362310717926113713[思路点拨][课堂笔记](1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以an＝.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·.21n212n也可写成an＝.1,3,nnnn为正奇数为正偶数(4)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式中必含有因子(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律，第1、2两项可改写为，－，所以an＝(－1)n＋1.21121221221·2121nn(5)将数列各项改写为…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1).13数列的通项an与前n项和Sn的关系是：an＝111,2,nnSnSSn≥[特别警示]在应用此关系式求通项时，要分n＝1和n≥2两种情况讨论，最后检验两种情形能否适合用一个式子表示，若能，将n＝1的情况并入n≥2时的通项an；若不能，就用分段函数表示.(2009·安徽高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设cn＝·bn，证明：当且仅当n≥3时，cn＋1＜cn.2na[思路点拨][课堂笔记](1)a1＝S1＝4；对于n≥2，有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.综上，{an}的通项公式an＝4n.将n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.(求bn)法一：对于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1，Tn＝2－bn得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)，bn＝bn－1，bn＝21－n.12(求bn)法二：对于n≥2，由Tn＝2－bn得Tn＝2－(Tn－Tn－1)，2Tn＝2＋Tn－1，Tn－2＝(Tn－1－2)，Tn－2＝21－n(T1－2)＝－21－n，Tn＝2－21－n，bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－n)－(2－22－n)＝21－n.综上，{bn}的通项公式bn＝21－n.12(2)法一：由cn＝·bn＝n225－n，得＝(1＋)2，当且仅当n≥3时，1＋≤＜，即cn＋1＜cn.法二：由cn＝·bn＝n225－n，得cn＋1－cn＝24－n[(n＋1)2－2n2]＝24－n[－(n－1)2＋2]，当且仅当n≥3时，cn＋1－cn＜0，即cn＋1＜cn1nncc121n1n432若将“Sn＝2n2＋2n”改为“Sn＝3n＋b”，如何求an.解：当n＝1时，a1＝S1＝3＋b；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1.当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1；当b≠－1时，a1＝3＋b不适合an＝2·3n－1，∴an＝综上可知，当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝131,23.nbnn·≥1131,23.nbnn·≥1由a1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等.1.构造等比数列，已知首项a1，如果递推关系为an＋1＝qan＋b(n∈N*)时，求数列{an}的通项公式的关键是将an＋1＝qan＋b转化为an＋1＋a＝q(an＋a)的形式，其中a的值可由待定系数法确定，即qan＋b＝an＋1＝qan＋(q－1)a⇒a＝(q≠1).(此种方法称为待定系数法)1bq2.已知a1且an－an－1＝f(n)(n≥2)，可以用“累加法”，即an－an－1＝f(n)，an－1－an－2＝f(n－1)，…，a3－a2＝f(3)，a2－a1＝f(2).所有等式左右两边分别相加，得(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝f(n)＋f(n－1)＋…＋f(3)＋f(2)，即an＝a1＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)＋f(n).3.已知a1且＝f(n)(n≥2)，可以用“累乘法”，即＝f(n)，＝f(n－1)，…，＝f(3)，＝f(2)，所有等式左右两边分别相乘，得··…··＝f(n)·f(n－1)·…·f(3)·f(2)，即an＝a1·f(2)·f(3)·…·f(n－1)·f(n).1nnaa12nnaa21aa1nnaa12nnaa32aa21aa1nnaa32aa根据下列条件，确定数列{an}的通项公式.(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2.[思路点拨][课堂笔记](1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3，又∵a1＝1，∴a1＋1＝2，∴数列{an＋1}是以2为首项，以3为公比的等比数列.∴an＋1＝2×3n－1，∴an＝2×3n－1－1.111nnaa(2)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋5＋2＝×n＝(n≥2).当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝(3n2＋n).2312n312nn1212若将(1)中的“an＋1＝3an＋2”改为“an＋1＝(n＋1)an”，如何求an.解：∵an＋1＝(n＋1)an，∴＝n＋1.∴＝n，＝n－1，1nnaa1nnaa12nnaa⋮＝3，＝2，a1＝1.累乘可得，an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1.32aa21aa由于数列可以视为一种特殊的函数，所以在研究数列问题时，可以借助研究函数的许多方法进行求解，如：1.有关数列最大、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决；2.将数列的项的最值问题转化为二次函数的最值问题解决.[特别警示]在利用数列的函数性质解题时一定要注意n只能取正整数.已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的最大项.[思路点拨][课堂笔记](1)依题意得f(log2an)＝2－2＝an－＝－2n，∴＋2nan－1＝0，又an＞0，∴an＝－n.(2)由(1)得，an＋1－an＝－(n＋1)－(－n)＝－1＜－1＝0，∴an＋1＜an，即数列{an}为递减数列，其最大项为a1＝－1.高考对本节内容的常规考法是：已知数列的通项或递推关系式，求数列的各项.09年陕西高考打破传统的考查方式，将数列与导数相结合命题，考查了学生综合运用所学知识处理问题的能力，是高考命题的一个新方向.[考题印证](2009·陕西高考)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn等于()A.B.C.D.1【解析】f′(x)＝(n＋1)xn，f(x)在点(1,1)处的切线斜率k＝n＋1，则切线方程：y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，∴切线与x轴交点横坐标xn＝，∴x1·x2…·xn＝×…×＝.【答案】B[自主体验]对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{}的前n项和Sn＝.解析：∵y＝xn(1－x)，∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′·xn＝n·xn－1(1－x)＋(－xn).f′(2)＝－n·2n－1－2n＝(－n－2)·2n－1.在点x＝2处点的纵坐标为y＝－2n，∴切线方程为y＋2n＝(－n－2)·2n－1(x－2)，与y轴交点纵坐标为y＝(n＋1)·2n＝an，∴＝＝2n成等比数列，首项为2，公比为2，∴前n项和为＝(2n－1)·2＝2n＋1－2.答案：2n＋1－21.数列{an}：1，，…的一个通项公式是()A.an＝(－1)n＋1B.an＝(－1)n－1C.an＝(－1)n＋1D.an＝(－1)n－1解析：可用验证法取n＝1，可知只有D适合.答案：D2.数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a4＝()A.B.C.D.解析：由递推关系式可得a2＝，a3＝，a4＝.答案：B3.已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N