二维随机变量及其分布

边缘分布marginaldistribution(,)XY二维随机变量,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。(,){,}FxyPXxYy问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？——边缘分布问题边缘分布marginaldistribution(,)XY(,)Fxy设二维随机变量的分布函数为，(,)XYXY依次称为二维随机变量关于和关于的边缘分布函数．(){}{,}(,)XFxPXxPXxYFx()(,)XFxFx()(,)YFyFy(){}{,}(,)YFyPYyPXYyFy二维离散型R.v.的边缘分布{,}ijijPXxYyp,1,2,3,ij如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为即YXy1y2y3…x1p11p12p13…x2p21p22p23…x3p31p32p33………………{}ijjiipPXxp二维离散型R.v.的边缘分布{}jijijpPYyp关于X的边缘分布关于Y的边缘分布YXy1y2y3…Pi.x1p11p12p13…P1.x2p21p22p23…P2.x3p31p32p33…P3.………………p.jp.1p.2p.3…二维离散型R.v.的边缘分布{}jijijpPYyp关于X的边缘分布关于Y的边缘分布第j列之和Xx1x2x3…概率P1.P2.P3.…{}ijjiipPXxp第i行之和Yy1y2y3…概率P.1P.2P.3…二维离散型R.v.的边缘分布例1设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于X、Y的边缘分布关于Y的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解关于X的边缘分布为X-102概率5/121/65/12YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的联合分布列二维连续型随机变量的边缘分布()(,)(,)XxFxFxfuvdvdu关于X的边缘概率密度为()(,)Xfxfxydy关于Y的边缘概率密度为()(,)(,)YyFxFyfuvdudvY的边缘分布函数为关于()(,)YfyfxydxX的边缘分布函数为关于例2设（X,Y）的联合密度为01,13(,)0kxyxyfxy其它求k值和两个边缘分布密度函数12k()(,)Xfxfxydy311021kydyxdxk解由(,)1dxfxydy得[0,1]x当时31122()Xfxxydyx关于X的边缘分布密度为113113()0Xfx2[0,1]()0Xxxfx其它[1,3]()40Yyyfy其它解所以，关于X的边缘分布密度为()(,)Yfyfxydx()0Yfy所以，关于Y的边缘分布密度为[0,1]x当时[1,3]y当时[1,3]y当时10124()Yyfyxydx关于Y的边缘分布密度为边缘分布密度和概率的计算例3设（X,Y)的联合分布密度为221(,)0kxyfxy其它（1）求k值(2)求关于X和Y的边缘密度（3）求概率P(X+Y1)和P(X1/2)(2)()(,)Xfxfxydy22111()xXxfxdy均匀分布解(1)由(,)1fxydxdy2211xykdxdyk得1k[1,1]x当时221x-11221[1,1]()0Xxxfx其它[1,1]x当时()0Xfx所以，关于X的边缘分布密度函数为-11续解………..-11()(,)Yfyfxydx22111()yYyfydx221[1,1]()0Yyyfy其它解[1,1]y当时[1,1]y当时()0Yfy所以，关于Y的边缘分布密度函数为221y1()(,)2DPXfxydxdy(1)(,)DPXYfxydxdy解（3）13()3411Ddxdy11()4221Ddxdy201111xxdxdy22111121xxdxdy见课本P59例3如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布221212,,,,N则两个边缘分布分别服从正态分布211~,XN222~,YN与相关系数无关可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布例4设（X，Y）的联合分布密度函数为2221(,)(1sinsin),,2xyfxyexyxy求关于X，Y的边缘分布密度函数解关于X的分布密度函数为()(,)Xfxfxydy2221(1sinsin)2xyexydy22222211sinsin22xyxyedyexydy22221122xyeedy2212xe22221sinsin2xyexeydy~0,1XN所以，~0,1YN同理可得不同的联合分布，可有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布随机变量的相互独立性(,)()()XYfxyfxfy特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于★★定义设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。ijijppp对任意i,j对任意x,y在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用.在X与Y是相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！实际意义补充说明(,)()()XYFxyFxFy设（X，Y）的概率分布（律）为证明：X、Y相互独立。例1ijijppp2/51/52/5p.j2/44/202/204/2021/42/201/202/2011/42/201/202/201/2pi.20-1yx逐个验证等式证∵X与Y的边缘分布律分别为∴X、Y相互独立111..1220ppp2/51/52/5p.i20-1X2/41/41/4Pj.211/2Y121..2120ppp131..3420ppp212..1ppp222..2ppp232..3ppp313..1ppp323..2ppp333..3ppp例2设（X，Y)的概率密度为求(1)P（0≤X≤1，0≤Y≤1）(2)(X,Y)的边缘密度，（3）判断X、Y是否独立。解①设A={（x，y）：0≤x≤1，0≤y≤1）}(,)01,01(,)xyAPxyxydxdy112323006(1)(1)xydxedyee11()(,)Xxxydy22,(0)()0,(0)xXexxx②边缘密度函数分别为当时0x2320()62xyxXxedye当时0x()0Xx所以，同理可得33,(0)()0,(0)yYeyyy232,03,0(),()0,00,0xyXYexeyxyxy③(23)6,(0,0)()()0,xyXYexyxy其它所以X与Y相互独立。(,)xy例3已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。判断X，Y是否独立。解（X,Y）的密度函数为14,(0,021)(,)20,xyxfxy其他当时，102x210()4xXfxdy4(21)x所以，关于X的边缘分布密度为14(21),(0)()20,Xxxfx其它关于X的边缘分布密度为()(,)Xfxfxydy当或时12x0x()0Xfx当时，01y012()4yYfydx2(1)y所以，关于Y的边缘分布密度为2(1),(01)()0,Yyyfy其它关于Y的边缘分布密度为()(,)Yfyfxydx当或时0y1y()0Yfy18(21)(1),(0,01)()()20,XYxyxyfxfy其它所以(,)fxy所以，X与Y不独立。1,()()(,)0axbcydbadcfxy其他{(,)|,}xyaxbcyd设（X,Y)服从矩形域上的均匀分布，求证X与Y独立。例411()(,)()()dXcfxfxydydybadcbaaxb时解1()0Xfxbaotherwiseaxb1()0ycxydfycdotherwise于是同理(,)()()XYfxyfxfy所以即X与Y独立。()0Xfx(,)xab时