概率统计浙大版第二章随机变量及其分布

第一节随机变量一、随机变量概念的产生在实际问题中，人们往往只关心随机试验的结果的某一方面的数量特征，于是将随机试验结果与数量联系起来，由此就产生了随机变量的概念.1、有些试验结果本身具有某种数量特征.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；七月份厦门的最高温度；每天进入一号楼的人数；昆虫的产卵数；随机选一名班级同学，考察其数学课成绩；从一批产品中抽取10件，考察其中的次品数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.例如，在考察产品检查结果时，记正品为1，次品为0；又如，在考察天气状况时，记晴天为1，阴天为2；雨天为3.例将一枚均匀硬币抛掷3次。我们感兴趣的是三次投掷中，出现H的总次数，而对H，T出现的顺序不关心。以X记三次投掷中出现H的总次数，那么，对样本空间S={e}中的每一个样本点e，X都有一个值与之对应，即有样本点X的值HHHTHHHHTHTHHTTTHTTTHTTT32221110这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数.e.X(e)sR称这种定义在样本空间S上的实值单值函数X=X(e)为简记为r.v.而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z,w,n等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N等表示随机变量的取值具有随机性。随机变量的值落在某一给定的范围，就构成了一个随机事件。如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.{收到不少于1次呼叫}{X1}{没有收到呼叫}{X=0}例将一枚均匀硬币抛掷3次。我们感兴趣的是三次投掷中，出现H的总次数，而对H，T出现的顺序不关心。以X记三次投掷中出现H的总次数，那么，对样本空间S={e}中的每一个样本点e，X都有一个值与之对应，即有样本点X的值HHHTHHHHTHTHHTTTHTTTHTTT32221110第二节离散型随机变量及其分布律从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量.(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每个值的概率为:看一个例子一、离散型随机变量分布律的定义35101033{}PX定义1：某些随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量.3256110213{}PX3253210123{}PX其中(k=1,2,…)满足：kp,0kpk=1,2,…（1）kkp1（2）定义2：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称为离散型随机变量X的分布律.12{},,,kkPXxpk二、离散型随机变量表示方法（1）公式法（2）列表法12{},,,kkPXxpkXkp12kxxx12kppp例:设随机变量X具有分布律(),1,2,3,4,5PXkakk（1）确定常数a,（2）计算15()22PX.解（1）由分布律的性质,得551156()12kkPXkaka115a.(2)15()22PX从而(1)(2)PXPX12115155例某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X的分布律.解:显然，X可能取的值是1,2,…，P{X=1}=P(A1)=p,为计算P{X=k}，k=1,2,…，Ak={第k发命中}，k=1,2,…，设于是pp)1()()2(21AAPXP)()3(321AAAPXPpp2)1(,2,1kppkXPk1)1()(可见X的分布律为三、三种常见分布1、（0-1）分布：（也称两点分布）随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律为：101,0,11pkppkXPkkppX110~或看一个试验将一枚均匀骰子抛掷3次.X的分布律是：2.伯努利试验和二项分布3315012366{},,,,.kkPXkkk令X表示3次中出现“4”点的次数掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”抽验产品：“是正品”，“是次品”一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的结果：A或.A这样的试验E称为伯努利试验.“重复”是指这n次试验中P(A)=p保持不变.将伯努利试验E独立地重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.“独立”是指各次试验的结果互不影响.用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则易证：0)(kXP（1）称r.v.X服从参数为n和p的二项分布，记作X~b(n,p)}{kXP101,,,nnkkkppkn1)(0nkkXP（2）007125.0)95.0()05.0()2(223CXP例已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解:因为这是有放回地取3次，因此这3次试验的条件完全相同且独立，它是3重伯努利试验.依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为：则X~b(3,0.05)，若将本例中的“有放回”改为”无放回”,那么各次试验条件就不同了,此试验就不是伯努利试验.此时,只能用古典概型求解.00618.0)2(310025195CCCXP请注意：3.泊松分布,,2,1,0,!)(kekkXPk设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,且概率分布为：其中0是常数,则称X服从参数为的泊松分布,记作X~π().λλλ泊松分布在实际中具有十分广泛的应用,例如下述随机变量均可用泊松分布来描述：电话交换台在一个时间间隔内收到的电话呼唤次数；某路段一个月内发生的交通事故的次数；车站某时段等车人数；医院每天的就诊人数；在一个时间间隔内某种放射性物质发出的、经过计数器的粒子数等等……泊松分布也是概率论中一种重要的理论分布.第三节随机变量的分布函数一、分布函数的定义如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间内的],(x概率.xoxXX设X是一个r.v，称)()(xXPxF)(x为X的分布函数,记作F(x).对任意实数x1x2，随机点落在区间(x1,x2]内的概率为：P{x1Xx2}因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)1x2xoxX当x0时，{Xx}=，故F(x)=0例1设随机变量X的分布律为当0x1时，F(x)=P{Xx}=P(X=0)=31F(x)=P(Xx)解0x12xxXXXkp012131612求X的分布函数F(x)并求113(),(),(12).222PXPXPX当1x2时，F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=316121当x2时，F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=10x12XxxX故注意右连续下面我们从图形上来看一下.2,121,2110,310,0)(xxxxxF31211202161OOO1)(xF的分布函数图xy2,121,2110,310,0)(xxxxxF1()2PX1()2F1313()22PX31()()22FF111236(12)PX(2)(1)(1)FFPX1121263设离散型r.vX的分布律是P{X=xk}=pk,k=1,2,3,…F(x)=P(Xx)=xxkkp即F(x)是X取的诸值xk的概率之和.x一般地则其分布函数二、分布函数的性质,,上是一个不减函数在xF(1);,,,212121xFxFxxxx都有且即对21FxFx1x2xoxXX120PxXxXX(3)F(x)右连续，即)()(lim00xFxFxx(2)xoXxxx()FlimxFxlimxFx()F01第四节连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.则称X为连续型随机变量,称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度.一、连续型随机变量及其概率密度的定义xFxftdt有,使得对任意实数,x对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x),,x连续型随机变量的分布函数在上连续R二、概率密度的性质1o0)(xf2o1)(dxxff(x)xo面积为1这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度的充要条件利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率对于任意实数x1,x2,(x1x2),32112{}()xxPxXxfxdx若f(x)在点x处连续,则有4()().Fxfx若x是f(x)的连续点，则对f(x)的进一步理解:0limxFxxFxfxx0limxPxXxxx于是若不计高阶无穷小，有{}()PxXxxfxx表示随机变量X取值于的概率近似等于.],(xxxxxf)((1)连续型r.v取任一指定实数值a的概率均为0.即这是因为请注意:xaFaFaXxaPaXP00.PXa0,x当时得到0.PXa)()(bXaPbXaP)(bXaP(2)对连续型r.vX,有)(bXaP由P(B)=1,不能推出B=S由P(A)=0,不能推出A()bafxdx,03()2,3420,1;2()7312XkxxxfxxkXFxPX例1设随机变量具有概率密度其它（）确定常数（）求的分布函数；（）求其它解,043,2230,)(xxxkxxf611)()1(kdxxf得由0x344,143,22630,60,0)()2(3300xxdxxdxxxdxxxxFxx分布函数0x34xxxx,xFxftdtx4,143,42330,120,0)(22xxxxxxxxF即分布函数48411272713FFXP）（1.均匀分布则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，X～U(a,b))(xfab其它,0,1)(bxaabxf三、三种重要的连续型随机变量若r.vX的概率密度为：记作~(,),1.(,),,1clcXUablcclacclblPcXcldxbaba若对于长度为的区间有bxbxaabaxaxxXPxFX1,,0)(.2的分布函数为：公交车站乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差；指数分布常用于表示“寿命的分布”，如元件的寿命，随机服务系统的服务时间等。2.指数分布若r.vX具有概率密度1,0,0,xθexfxθ其它,0θ其中为常数,则称X服从参数为的指数分布.θ其它,00,1)(/xexXPxFx若X服从参数为的指数分布,则其分布函数为θ事实上,xFxftdt0xxxxFxftdt0xdt0x当时