概率论第四章随机变量的数字特征课件

第四章随机变量的数字特征第1页概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征FigureCharacteristicofRandomVariable第四章随机变量的数字特征第2页概率论与数理统计分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性,但实际应用中，人们并不都需要全面考察随机变量的变化情况，而只需知道它的某些数字特征即可.判断棉花质量时,既看纤维的平均长度平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好;又要看纤维长度与平均长度的偏离程度；例如：引入：第四章随机变量的数字特征第3页概率论与数理统计考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.第四章随机变量的数字特征第4页概率论与数理统计r.v.的平均取值——数学期望r.v.取值平均偏离均值的情况——方差描述两r.v.间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写第四章随机变量的数字特征第5页概率论与数理统计第一节数学期望一、随机变量的数学期望二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质第四章随机变量的数字特征第6页概率论与数理统计他们的射击技术分别为乙两个射手甲,,试问哪个射手技术较好?引例乙射手击中环数概率10982.05.03.0甲射手击中环数概率10983.01.06.0一、随机变量的数学期望1、离散型随机变量的数学期望第四章随机变量的数字特征第7页概率论与数理统计解),(3.96.0101.093.08)(1环XE),(1.93.0105.092.08)(2环XE.,,21XX为乙射手击中的环数分别设甲平均起来甲射手每枪击中9.3环,乙射手每枪击中9.1环.因此甲射手的本领要高一些.第四章随机变量的数字特征第8页概率论与数理统计定义4.1：设离散型随机变量X的分布律为,2,1,kpxXPkkX1x2x，nxP1p2p，np1kkkpx或若级数1kkkxp绝对收敛，即则称1kkkpx为X的数学期望(简称期望)或均值，记为E(X)即1)(kkkpxXE第四章随机变量的数字特征第9页概率论与数理统计注：1、随机变量X的数学期望完全是由它的概率分布确定的。且1kkkxp否则，称随机变量的数学期望不存在．2、随机变量的数学期望是一个实数，不是随机变量．第四章随机变量的数字特征第10页概率论与数理统计10例1：已知X的分布律为－2-1010.10.40.30.2X().EX求p解：E(X)=(-2)×0.1+(-1)×0.4+0×0.3+1×0.2=-0.4第四章随机变量的数字特征第11页概率论与数理统计练习：某工人工作水平为：全天不出废品的日子占30%，出一个废品的日子占40%，出二个废品占20%，出三个废品占10%。①设X为一天中的废品数，求X的分布律；②这个工人平均每天出几个废品？第四章随机变量的数字特征第12页概率论与数理统计解①分布律为：X0123P0.30.40.20.1②平均废品数为：()00.310.420.230.11.1(/EX个天）第四章随机变量的数字特征第13页概率论与数理统计定义4.2：设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分dxxxfXE)()(()xfxdx2、连续型随机变量的数学期望绝对收敛，即：()xfxdx则称积分值dxxxf)(为X的数学期望(简称期望)或均值，记为E(X)即第四章随机变量的数字特征第14页概率论与数理统计其他,040,41)(xxfdxxxfXE)()(例4：设随机变量X的概率密度函数为试求X的数学期望解281402x4041dxx看书本P669第四章随机变量的数字特征第15页概率论与数理统计常见分布(0-1)分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布数学期望E(X)pnp2ba13常见分布的数学期望第四章随机变量的数字特征第16页概率论与数理统计二、随机变量函数的数学期望1()[()]().kkkEYEgXgxp定理4.1：设X是随机变量，Y=g(X)是X的连续函数，则有(1)若X为离散型随机变量，其分布律为{},1,2,,kkPXxpk若无穷级数1()kkkgxp收敛，则Y的数学期望为：第四章随机变量的数字特征第17页概率论与数理统计定理4.1：设X是随机变量，Y=g(X)是X的连续函数，则有(2)若X为连续型随机变量，其密度函数为若积分收敛，则Y的数学期望为：()fx()()gxfxdxdxxfxgXgEYE)()()]([)(第四章随机变量的数字特征第18页概率论与数理统计18例6：已知X的分布律为－2-1010.10.40.30.2X2().EX求p解：E(X2)=(-2)2×0.1+(-1)2×0.4+02×0.3+12×0.2=1第四章随机变量的数字特征第19页概率论与数理统计19例7：设随机变量~(0,1)XN解：,求E(X2)222221()()2xEXxfxdxxedx222211()22xxxeedx1第四章随机变量的数字特征第20页概率论与数理统计(3)如果(X,Y)为离散型随机向量，其联合分布律为P{X=xi，Y=yj}=piji,j=1,2,3,…,如果则Z=g(X,Y)的数学期望为ijjijipyxgYXgEZE),()],([)(11(,)iiijijgxyp第四章随机变量的数字特征第21页概率论与数理统计(4)设二维随机向量(X,Y)为连续型随机变量，它的联合概率密度为f(x,y),若收敛,则Z=g(X,Y)的数学期望为：dxdyyxfyxgYXgEZE),(),()],([)((,)(,)ddgxyfxyxy第四章随机变量的数字特征第22页概率论与数理统计例8已知(X,Y)的联合分布律如下，Z=XY,求E(Z)XY01120.10.150.250.15解：30.250.1E(Z)=1×0×0.1+2×0×0.15+3×0×0.25+1×1×0.25+2×1×0.15+3×1×0.1=0.85第四章随机变量的数字特征第23页概率论与数理统计例9:设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数221,1(,)0,xyfxy其他求E(XY)，E(X)，E(Y)解22221111111()()0xxxyEXYxydxdyxydydx2211()0xyEXxdxdy2211()0xyEYydxdy第四章随机变量的数字特征第24页概率论与数理统计1、E(C)=C2、E(aX)=aE(X)3、E(X+Y)=E(X)+E(Y)CXEaCXaEniiiniii11)(4、当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).常数三、数学期望的性质第四章随机变量的数字特征第25页概率论与数理统计注：在性质4中，X与Y相互独立是充分而非必要条件。E(XY)=E(X)E(Y)成立，但X与Y不一定独立。第四章随机变量的数字特征第26页概率论与数理统计26例10：已知X的分布律为－2-1010.10.40.30.2X2(1)EX求p解：222(1)(21)()21EXEXXEXEX12(0.4)12.8第四章随机变量的数字特征第27页概率论与数理统计今日作业P66：1(D(X)不求)1213第四章随机变量的数字特征第28页概率论与数理统计1.随机变量方差的概念2.重要分布的方差第二节方差variance3.方差的性质第四章随机变量的数字特征第29页概率论与数理统计(1)概念的引入1.随机变量方差的概念上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.第四章随机变量的数字特征第30页概率论与数理统计例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果a甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近a第四章随机变量的数字特征第31页概率论与数理统计又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心第四章随机变量的数字特征第32页概率论与数理统计为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们下面要介绍的方差第四章随机变量的数字特征第33页概率论与数理统计222,{[()]},{[()]},,.()(){[()]}.()()XEXDXDXEEXEXEXXEXDXσXX设是一个随机变量若存在则称为的方差记为即称为记准差为标或均方差2.方差的定义第四章随机变量的数字特征第34页概率论与数理统计方差描述了随机变量X取值对于均值的分散程度.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.说明：方差的意义第四章随机变量的数字特征第35页概率论与数理统计离散型随机变量的方差,)]([)(12kkkpXExXD连续型随机变量的方差,d)()]([)(2xxfXExXD(3)方差的计算1)利用定义计算.)(的概率密度为其中Xxf.,2,1,}{的分布律是其中XkpxXPkk第四章随机变量的数字特征第36页概率论与数理统计.)]([)()(22XEXEXD证明})]({[)(2XEXEXD})]([)(2{22XEXXEXE22)]([)()(2)(XEXEXEXE22)]([)(XEXE2)利用公式计算第四章随机变量的数字特征第37页概率论与数理统计37例1：已知X的分布律为－2-1010.10.40.30.2X().DX求p解：E(X2)=(-2)2×0.1+(-1)2×0.4+02×0.3+12×0.2=1E(X)=(-2)×0.1+(-1)×0.4+0×0.3+1×0.2=-0.4D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1-0.16=0.84第四章随机变量的数字特征第38页概率论与数理统计).(.,0,10,1,01,1)(XDxxxxxfX求其他具有概率密度设随机变量解1001d)1(d)1(xxxxxx,0练习xxfxXEd)()(22,61于是22)]([)()(XEXEXD2061.61xxxfXEd)()(102012d)1(d)1(xxxxxx第四章随机变量的数字特征第39页概率论与数理统计2ba1二常见分布的方差常见分布(0-1)分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布数学期望E(X)pnp方差D(X)p(1-p))1(pnp12)(2ab212σ第四章随机变量的数字特征第40页概率论与数理统计三、方差的性质（设D(X),D(Y)存在）(1)设C是常数,则有.0)(CD(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有).()(),()(2XDCXDXDCCXD,()()().XYDXYDXDY特别，若相互独立，则有(3)设X,Y是两个随机变量，则有()()()2