第六节 高斯公式 通量与散度

第六节高斯公式通量与散度一、高斯公式二、通量与散度一、高斯公式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(或RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPzyxRzyxQzyxP)(),,(),,(),,(则有公式具有一阶连续偏导数，上在、、成，函数围由分片光滑的闭曲面设空间闭区域.),,(cos,cos,cos处的法向量的方向余弦上点是，的整个边界曲面的外侧是这里zyx证明;),(:111取下侧，yxzz;),(:222取上侧，yxzz.3面上的一部分，取外侧轴的柱线而母线平行于的边界曲线为准是以zDxy.xyDxOy上的投影区域为面在设闭区域，三部分组成和，由321根据三重积分的计算法,有dxdydzzRdvzRxyDyxzyxz}{),(),(21312xyDOzxydxdydzzRdvzRxyDyxzyxz}{),(),(21.)]},(,,[)],(,,[{12xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根据曲面积分的计算法，有,)],(,,[),,(11xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)(321取外侧取上侧，取下侧，,)],(,,[),,(22xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR.0),,(3dxdyzyxR)0(3上的投影为在xOy312xyDOzxy,)]},(,,[)],(,,[{12xyDdxdyyxzyxRyxzyxRdxdyzyxR),,(于是.),,(dxdyzyxRdvzR,),,(dydzzyxPdvxP同理,),,(dzdxzyxQdvyQ.)(RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP和并以上三式得Gauss公式的实质:表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系..)coscoscos()(dSRQPdvzRyQxP由两类曲面积分之间的关系知.,)()()(1整个表面的外侧的正方体的为是以原点为中心、边长其中计算曲面积分例adxdyxzdzdxzydydzyxI解,,,xzRzyQyxP令,1xP,1yQ.1zR由高斯公式，得到dvI)111(dv3.33a则解,,0,)(yxRQxzyP,zyxP原式103020)sin(rdzzrdrd.29.3,01)()(222的整个边界曲面的外侧的空间闭区域所围成及平面为柱面其中计算曲面积分例zzyxxdydzzydxdyyxdxdydzzy)(,0yQ,0zRyo1xz13xyDh1解),(:2221hyxhz补充曲面不是封闭曲面,.),,(cos,cos,cos)0(0)coscoscos(3222222法向量的方向余弦处的在是部分的下侧，之间的及介于平面为锥面，其中计算曲面积分例zyxhhzzzyxdszyx，上的投影区域为平面空间曲线在xyDxOy.1取上侧为利用高斯公式,添加辅助曲面.1)coscoscos(222dSzyx}.|),{(222hyxyxDxy其中dvyx)(构成封闭曲面，1.1围成空间区域,上使用高斯公式在xyDxyzoh1dvzyx)(2rdzrrdrdhrh200)sincos(.0.2)(2zdvdvyx1)coscoscos(222dSzyxxyDdxdyh2.4h故所求积分为dSzyx)coscoscos(222.214h1)coscoscos(222dSzyx.214hzdv24421hh12dSzrdzzdrdhrh20021.通量的定义RdxdyQdzdxPdydzdSnASdA0kzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,(设有向量场的第二类曲面积分为沿场中某一有向曲面.),,(的通量向指定侧穿过曲面称为向量场zyxA二、通量与散度2.散度的定义时，收缩成点若，记体积为包围的区域为，的闭曲面，在场内作包围点设有向量场.),,(MVVVMzyxA存在，极限limVSdAMV.AdivMA处的散度，记为在点则称此极限值为散度在直角坐标系下的形式dSvdvzRyQxPn)(dSvVdvzRyQxPVn1)(1),,()(1zRyQxPdSvVndSvVzRyQxPnM1lim由积分中值定理,两边取极限,.zRyQxPAdiv高斯公式可写成dSAdvAdivn).coscoscos(0RQPnAAn的边界曲面，是空间闭区域其中.的外侧法向量上的投影在曲面是向量AAn