第六章参数估计

第六章参数估计参数估计：用样本统计量来估计总体的参数参数估计的两条途径：点估计：区间估计：用由样本数据所计算出来的单个数值对总体参数直接估计，例如利用样本平均数的值估计总体平均数参数。所谓的区间估计就是在一定的概率保证下指出总体参数的可能范围，这个可能的范围称为置信区间，相应的概率保证保证称为置信水平或置信度。如：某一研究发现猪仔出生重平均数的置信水平为95%的置信区间为（1.02kg，1.38kg）第一节点估计（PointEstimation）点估计就是用样本特征数来估计相应的总体特征数，如用样本平均数，中位数或众数来估计总体平均数估计同一个参数的样本统计量（常称为估计量——estimator）可能有好几个，如何决定哪个最好？一个好的估计量应满足三个条件：3.相容(consistent)1.无偏(unbiased)2.有效(efficient)无偏估计量（unbiasedestimator）如果一个统计量的理论平均数等于总体参数，这个统计量就被称为无偏估计量。1、是μ的无偏估计值。2、s2是σ2的无偏估计值。y有效估计量（efficientestimator）在样本含量相同的情况下，如果一个统计量的方差小于另一个统计量的方差，则前一个统计量是更有效的估计量。从一个整体总体中，抽取含量为n的样本，样本平均数的方差为当n充分大时，中位数m的方差为n22y2n22m相容估计量（consistentestimator）若统计量的取值，任意接近于参数值的概率随样本含量n的无限增加而趋于1，则该统计量称为参数的相容估计量。（样本越大，估计量越好）样本平均数是总体平均数的相容估计量。样本方差也是总体方差的相容估计量。第二节区间估计(IntervalEstimation)1.区间估计的基本方法定义：根据样本统计量，以一定的可靠程度推断总体参数所在的区间范围。1-α（置信区间）就是区间估计的可靠程度。一般求法：依据样本统计量的分布来求这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形.若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计.例一已知原来成年对虾的平均体长µ0=10.0cm，标准差为σ=0.40cm。改善饲养方法后，随机抽取10个对虾，测得体长平均数为10.23cm。问改善饲养方法后对虾体长变化是否显著？显著性水平α=0.052.平均数µ的置信区间2.1σ已知时，µ的置信区间1)/y(22unuP1)/y/y(22nunuP所以µ的1－α的置信区间为)/y,/y(22nunu或写成nu/y2说明：（1）置信区间不唯一，在置信度固定的条件下，置信区间越短，估计精度越高.（2）在置信度固定的条件下，n越大，置信区间越短，估计精度越高.（3）在样本量n固定时，置信度越大，置信区间越长，估计精度越低.例2与北京“全聚德”烤鸭店订立的合同上要求鸭子尽量2.0公斤/只，按只付钱。养鸭户送来100只，平均1.88公斤/只，烤鸭店说太轻了。带回去又养了几天，平均2.12公斤/只。烤鸭店又说太肥了。鸭子合格的平均重量范围应该是多少?显著性水平为0.05样本含量不同，要求范围不同每次送4只鸭子，要求的重量范围是1.80~2.20kg/只每次送16只鸭子，要求的重量范围是1.90~2.10kg/只每次送100只鸭子，要求的重量范围是1.96~2.04kg/只每次送400只鸭子，要求的重量范围是1.98~2.02kg/只2.2σ未知时，µ的置信区间1)/y(22tnstP1)/y/y(22nstnstP所以µ的1－α的置信区间为)/y,/y(22nstnst或写成nst/y2ns-yt用的统计量是未知时，研究平均数所例3晚稻良种汕优63的千粒重µ0＝27.5g。现育成一高产品种协优辐819，在9个小区种植，得其千粒重为：32.5,28.6,28.4,24.7,29.1,27.2,29.8,33.3,29.7(g)（1）（原来的问题）试问新育成品种的千粒重与汕优63有无显著差异？（2）求置信水平为95％的新育成品种千粒重的置信区间？5.27:;5.27:100AHH）解：（036.2/y,587.2,55.29y0nsts所以拒绝域为时，＝－自由度为,306.2819,05.02t千粒重没有显著差异。即新品种与汕优所以，我们不否定63,0H0.051952＝所以，－％＝）置信水平（266.273587.2306.2255.29y2nst244.313587.2306.2255.29y2nst。，％的置信区间为（所以新品种千粒重244).31266.2795注意：（a）置信区间也可以用来进行假设检验。以上述例子为例，因为95％的置信区间是（27.266,31.244)，它包含了零假设中待检验的27.5，所以我们没有理由拒绝H0：µ＝27.5。（b）利用置信区间进行假设检验的基本方法：如果置信区间包含了H0中的数值，则不拒绝H0；如果置信区间不包含H0中的数值，则拒绝H0。（c）置信区间和假设检验的结论是一致的。3.方差σ2和标准差σ的置信区间分布。的它服从自由度为，所采用的统计量是研究22221)1(nsn1))1(22/2222/1snP（因此，－1))1)1(22/12222/2－（（变形得到，snsnP。（，（的置信区间是所以，－22/1222/22)1)1snsn。（，（的置信区间是相应地，－22/122/)1s)1snn4.平均数差µ1－µ2的置信区间已知标准差i)1(时＝未知，但标准差21i)2(时未知，但标准差21i)3(已知标准差i)1()1,0(~)(yy2221212121Nnnu样本统计量1))(yy(222212121212unnuP所以，1)yyyy(22212122121222121221nnunnuP＋变形得到，)yyyy(122212122122212122121nnunnu＋，置信区间为－的所以)11(2)1()1()yy(,)11(2)1()1()yy(12121222211221212122221122121nnnnsnsntnnnnsnsnt置信区间为－的－得到利用和上面类似的推导22121222211212121~)11(2)1()1()(yynntnnnnsnsn样本统计量时＝未知，但标准差21i)2(自由度为n1＋n2－2的t分布))yy(,)yy((22212/2122212/2121nsstnsstnnn时，上式可简化为＝当22212122122212122121)yy(,)yy(1nsnstnsnst置信区间为－的－得到利用和上面类似的推导分布，其中的服从自由度为样本统计量)(yy2221212121tdfnsns时未知，但标准差21i)3(2221211212212,1)1(11nsnsnsknknkdf例4对两批黄连中小檗碱的含量进行比较，分别随机抽取出4个150g的样品，在同样条件下测定含量为：（1）（原来的问题）试检验这两批黄连小檗碱含量的总体方差是否有显著差异？样本1数据（Y1）样本2数据（Y2）8.908.918.968.858.988.828.968.90（2）试求两批黄连小檗碱含量差值µ1－µ2的95％的置信区间，并回答两批黄连小檗碱含量是否有显著差异？（提示：利用求得的置信区间进行假设检验）62,40018.0,87.8y,0012.0,95.8y2121222211nnnnnss自由度＝且，求得解：首先根据样本数据013.040018.00012.0447.287.895.8yy22212/21nsst所以，147.040018.00012.0447.287.895.8yy22212/21nsst），％置信区间为（的－因此，147.0013.095210:,0:21210AHH设检验现利用置信区间进行假含量存在显著差异。认为两批黄连的小檗碱所以我们否定，中的不包含的置信区间（－因为,0)147.0,013.00021HH5.配对数据的置信区间的标准差。为的平均值，为分布，其中的它服从自由度为为研究配对数据的统计量ididdsddtnnsd1,/),2/2/21nstdnstdddd（的置信区间为配对数据所以，的置信区间和标准差比方差比212221.6分布。的－和－它服从自由度为，样本统计量比较两样本方差时使用Fnnss11//21222221211)1,1(//)1,1(212/22222121212/1nnFssnnFP因此，1)1,1(1)1,1(1212/122212221212/2221nnFssnnFssP即，1)1,1()1,1(1122/22212221212/2221nnFssnnFssP即，))1,1(,)1,1(1(1122/2221212/22212221nnFssnnFss的置信区间为－的所以))1,1(,)1,1((12122/1212/2121snnFsnnFss的置信区间为－的相应地，的置信区间？％的碱含量的方差比为例，求两批黄连小檗，以本节例例9545222144.15)3,3()1,1(025.0212/FnnF解：44.15)3,3()1,1(025.0122/FnnF0432.044.1510018.00012.0)1,1(1212/2221nnFss293.1044.150018.00012.0)1,1(122/2221nnFss）％的置信区间为（的所以，293.10,0432.0952221参数估计与假设检验的关系统计的置信区间不同：区间估计通常求的是以样本估计值为中心的双侧置信区间；而假设检验不仅有双侧检验也常常采用单侧检验，视检验的具体问题而定。统计的方法不同：区间估计立足于大概率，通常以较大的把握程度（置信度）去估计总体参数的置信区间；而假设检验立足于小概率，通常是给定很小的显著性水平去检验对总体参数的原假设是否成立。在假设检验中，人们更重视拒绝域。统计的基本原理相同：根据样本信息对总体参数进行推断；以抽样分布为理论依据；建立在概率的基础上的推断；推断结果具有一定的可信程度和风险。