第三章三角函数第三节三角函数的性质

第三章三角函数第三节三角函数的性质第三章三角函数1．周期函数及最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有____________，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)第三章三角函数函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域________R_________值域_____________________________奇偶性____________________奇函数最小正周期_______2π______R{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}[－1,1][－1,1]奇函数偶函数2ππR第三章三角函数单调性增区间：________________________减区间：_________________________增区间：_____________减区间：______________________增区间：______________最值__________，ymin＝－1ymax＝1，_____________无最值[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)ymax＝1ymin＝－1第三章三角函数第三章三角函数第三章三角函数1．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ为何值时，该函数为奇函数？当φ为何值时，该函数为偶函数？【提示】当φ＝kπ(k∈Z)时，y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时，y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．第三章三角函数2．(1)函数y＝sinx在第一象限内是增函数吗？(2)如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调增区间呢？【提示】(1)y＝sinx在第一象限不是增函数；(2)由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)，求得x的取值范围，从而得到函数的单调增区间．第三章三角函数三角函数的定义域第三章三角函数第三章三角函数第三章三角函数第三章三角函数第三章三角函数三角函数的周期性与奇偶性第三章三角函数三角函数的周期性与奇偶性(2012·广州模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是()A.π2B.3π8C.π4D.π8【思路点拨】(1)由周期性，求ω；(2)平移后函数图象关于y轴对称，因此函数为偶函数，可求φ.第三章三角函数【尝试解答】∵2πω＝π，∴ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋π4)．将它向左平移|φ|个单位长度，得g(x)＝sin[2(x＋|φ|)＋π4]．∵g(x)的图象关于y轴对称，∴2(0＋|φ|)＋π4＝π2＋kπ，k∈Z，∴|φ|＝π8＋kπ2，k∈Z，∴φ的一个值为π8.【答案】D第三章三角函数1．求三角函数的周期主要有三种方法：(1)周期定义；(2)利用正(余)弦型函数周期公式；(3)借助函数的图象．2．(1)由题设g(x)为偶函数，必有g(x)＝±cos2x，利用诱导公式求φ值；(2)判断函数的奇偶性应首先判断函数的定义域是否关于原点对称．第三章三角函数第三章三角函数第三章三角函数三角函数的单调性第三章三角函数三角函数的单调性已知函数f(x)＝2sinx4cosx4－23sin2x4＋3，且g(x)＝f(x＋π3)．(1)判断g(x)的奇偶性；(2)求g(x)的单调递增区间．第三章三角函数【尝试解答】∵f(x)＝sinx2＋3(1－2sin2x4)＝sinx2＋3cosx2＝2sin(x2＋π3)∴g(x)＝2sin[12(x＋π3)＋π3]＝2sin(x2＋π2)＝2cosx2.(1)∵g(－x)＝2cos(－x2)＝2cosx2＝g(x)，∴函数g(x)是偶函数．(2)当2kπ－π≤x2≤2kπ(k∈Z)时，g(x)为增函数，∴g(x)的单调递增区间为[4kπ－2π，4kπ](k∈Z)．第三章三角函数1．求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正，防止把单调性弄错．第三章三角函数三角函数的最值第三章三角函数三角函数的最值(2011·北京高考)已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋π6)－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．【思路点拨】利用两角和公式、倍角公式将f(x)化为Asin(ωx＋φ)的形式，然后由三角函数的性质求周期和函数的最值．第三章三角函数【尝试解答】(1)因为f(x)＝4cosxsin(x＋π6)－1＝4cosx(32sinx＋12cosx)－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.所以f(x)在[－π6，π4]最大、最小值分别是2与－1.第三章三角函数1．本题出现的错误主要表现在：(1)用错用混变换公式，难以将f(x)化简为f(x)＝2sin(2x＋π6)．(2)误认为f(x)在[－π6，π4]上单调，错求最大值为f(π4)＝3.2．求三角函数最值(值域)常用方法：(1)化为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式；(2)把sinx(或cosx)看作整体，借助二次函数的性质．但一定要注意sinx(或cosx)的制约作用．第三章三角函数三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，该知识点的命题常与三角变换交汇，在考查三角函数性质的同时，注重考查三角变换的技能，以及函数与方程、转化与化归等数学思想方法．第三章三角函数易错辨析之八忽视条件对三角函数性质的影响致误(2011·安徽高考改编)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，且f(π2)＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是________．第三章三角函数【错解】由于f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，∴f(π6)是函数的最大值，∴f(π6)＝sin(π3＋φ)＝1，∴φ＝2kπ＋π6，k∈Z.因此f(x)＝sin(2x＋π6)，由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，得kπ－π3≤π≤kπ＋π6，k∈Z.∴f(x)的递增区间是[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)．【答案】[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)第三章三角函数错因分析：(1)忽视绝对值符号，遗漏f(π6)可能取最小值－1；(2)对条件f(π2)＞f(π)忽视或不会使用该条件，导致挖掘不出隐含条件sinφ＜0，造成φ＝2kπ＋π6(k∈Z)的错解；(3)函数的单调区间掌握不牢，错求区间．第三章三角函数防范措施：(1)把f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，转化为sin(2x＋φ)≤|sin(π3＋φ)|对x∈R恒成立，从而得到sin(π3＋φ)＝±1，准确利用函数的对应法则和正弦函数的性质，透彻理解绝对值的定义是正确求解的关键．(2)将f(π2)＞f(π)翻译成sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，利用诱导公式便可推出sinφ＜0，化抽象为具体是挖掘隐含条件，避免错误的有效手段．第三章三角函数【正解】因为当x∈R时，f(x)≤|f(π6)|恒成立，所以f(π6)＝sin(π3＋φ)＝±1，因此φ＝2kπ＋π6或φ＝2kπ－56π.k∈Z.∵f(π2)＞f(π)，∴sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，则sinφ＜0.∴取φ＝2kπ－56π.k∈Z，f(x)＝sin(2x－56π)由2kπ－π2≤2x－56π≤2kπ＋π2，得kπ＋π6≤x≤kπ＋23π.k∈Z.∴函数f(x)的单调增区间是[kπ＋π6，kπ＋23π](k∈Z)．【答案】[kπ＋π6，kπ＋23π](k∈Z)第三章三角函数1．(2011·天津高考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数第三章三角函数【解析】∵T＝6π，∴ω＝2πT＝2π6π＝13，∴13×π2＋φ＝2kπ＋π2，∴φ＝2kπ＋π3(k∈Z)．∵－π＜φ≤π，∴令k＝0得φ＝π3.∴f(x)＝2sin(x3＋π3)．令2kπ－π2≤x3＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，则6kπ－5π2≤x≤6kπ＋π2，k∈Z.易知f(x)在区间[－2π，0]上是增函数．【答案】A第三章三角函数2．(2012·东莞质检)已知函数f(x)＝cos(π3＋x)·cos(π3－x)，g(x)＝12sin2x－14.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．【解】(1)f(x)＝(12cosx－32sinx)(12cosx＋32sinx)＝14cos2x－34sin2x＝18(1＋cos2x)－38(1－cos2x)＝12cos2x－14∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.第三章三角函数(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12cos2x－12sin2x＝22cos(2x＋π4)，∴h(x)的最大值为22，此时2x＋π4＝2kπ，即x＝kπ－π8，k∈Z.∴使h(x)取得最大值的x的集合为{x|x＝kπ－π8，k∈Z}．