材料力学弯曲内力

第四章弯曲内力§4–1平面弯曲的概念§4–2梁的剪力和弯矩§4–3剪力图和弯矩图§4–4剪力、弯矩与荷载集度间的关系§4–5按叠加原理作弯矩图§4–1平面弯曲的概念一、弯曲的概念1.弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2.梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。3.工程实例纵向对称面MF1F2q二、平面弯曲杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯曲后轴线弯成一条平面曲线，称为平面弯曲。在后几章中，将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。三、简单静定梁悬臂梁简支梁外伸梁火车轮轴简化梁的载荷与支座车削工件吊车大梁简化受均布载荷§4–2梁的剪力和弯矩FABalFABFAxFAyFB;0xF0AxF;0Am,0FalFBlFaFB;0yF,0FFFBAylalFFAy)(荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。PABal将梁从Ⅰ－Ⅰ位置截开，取左侧。ⅠⅠxAFAyⅠⅠFsMx因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，用Fs表示之；该力偶的力偶矩称为截面的弯矩，用M表示之。⑴剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；⑵弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的弯矩为正，反之为负。⊕FsFs○－FsFs⊕○－MMMM剪力正负的规定弯矩正负的规定内力通过平衡方程计算。AFAyⅠⅠFsMx,0;0sAyyFFFAysFF,0;01xFMmAyxFMAy计算梁内力的步骤：⒈取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；⒉将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象；⒊画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画；⒋列平衡方程Fx=0，求剪力FS；m=0，求弯矩。例1求图示梁1、2、3、4截面的内力。ABCD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344解：取整体，FAFB;0Bm01224qFFAkNFA51－1截面FA11Fs1M1A;0yF;01m01sAFFkNFs5101M由1－1截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，紧挨杆端截面的弯矩M=0。CP=12kN2－2截面FA22Fs2M2A;0yF;02m02sAFFkNFs52022AFMmkNM.102FA33Fs3M3A3－3截面;0yF;03m03PFFsAkNFs73023AFMmkNM.103ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFBD2233PFs3M3Fs2M2由2、3截面的内力计算可得如下结论：⑴集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；右左MM⑵集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，左右截面剪力之差等于集中力（集中力以向下为正）。PFFss右左ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFBC44M4Fs44－4截面;0yF;04m04sF04M由4－4截面的内力计算可得如下结论：⑴自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0；⑵自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB例2求图示梁1、2、3截面的内力。ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m解：取整体，;0m0421mmFAkNFFBA31－1截面;0yF;01m01sAFFkNFs31011mMFA11Fs1AM1m1mkNM.21FA22Fs2M2A33Fs3M3Bm12－2截面;0yF;02m02sAFFkNFs320212AFmMmkNM.823－3截面;0yF;03m03BsFFkNFs33023BFMmkNM.63FBABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m由2、3截面的内力计算可得如下结论：⑴集中力偶两侧截面的的剪力相等；右左ssFF⑵集中力偶两侧截面的的弯矩不等，左右截面弯矩之差等于集中力偶矩（集中力偶矩以逆时针转为正）。mMM右左C2233Fs3M3FS2M2m2ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m例3求图示梁1、2、3截面的内力。ABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m33112FAFB23m解：取整体;0Bm02461qmFAkNFA6;0yF04qFFBAkNFB181－1截面;0yF;01m,01sAFFkNFs61,021AFMmkNM.121FA11Fs1M1ABFA22Fs2M2Am2－2截面;0yF;02m02sAFFkNFs62022mFMAmkNM.24233Fs3M3FBq3－3截面;0Y;03m033qFFsB03sF023333qFMBmkNM.273BABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m33112FAFB23m§4–3剪力图和弯矩图qxql-xlFs(x)M(x)图示梁任一截面的内力。;0yF;0xm0)()(xlqxFs)()(xlqxFs0)(2)(2xlqxM2)(2)(xlqxM截面剪力是截面坐标的函数，称为剪力方程。截面弯矩也是截面坐标的函数，称为弯矩方程。qxl剪力方程的函数图象称为剪力图。正的剪力画在基线上侧，负的画在下侧。)()(xlqxFs剪力图,)0(qlFs0)(lFsqlxFs⊕弯矩方程的函数图象称为弯矩图。2)(2)(xlqxM,2)0(2lqM,0)(lM,0)()(xlqdxxdMlx-ql2/2弯矩图xM○－8/2qlq悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：任选一截面x，写出剪力和弯矩方程xlxqxxFS0＝lxqxxM02/2＝依方程画出剪力图和弯矩图FSxMxql2/2qll由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为qlFS＝max2/2maxqlM＝4例题5qxxMxFSBAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力00＝，＝BAMMFAy＝Fb/lFBy＝Fa/l2．写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1ACaxlFbxFS110/＝axlFbxxM1110/＝CBlxalFaxFS22/＝lxalxlFaxM222/＝3.依方程画出剪力图和弯矩图。CFab例题6BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力00＝，＝BAMMFAy＝M/lFBy＝-M/l2．写出剪力和弯矩方程x2lMa/x1ACaxlMxFS110/＝axlMxxM1110/＝3.依方程画出剪力图和弯矩图。lM/lMb/CMab例题722()/sFxMlaxl222()()/MxMlxlaxl32/32ql32/32qlBAlFAYqFBY简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力00＝，＝BAMMFAy＝FBy＝ql/22．写出剪力和弯矩方程yxCxlxqxqlxFS02/＝lxqxqlxxM02/2/2＝3.依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx2/ql2/ql8/2ql例题8§4–4剪力、弯矩与荷载集度间的关系ABdxxq(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)M(x)dxo取微段dx，受力如图。0)(d)(d)()(;0xFxFxxqxFYsss)(dd)(sxFxxq)(d)(dsxqxxFABdxx0;)(ioFm)(d)(dxFxxMs0)](d)([)())(d()d(xMxMxMxxqxxFs221略去高阶微量得：)()(d)(sd22xqdxxMdxxFq(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)dxo⑴当q=0，Fs=常数，Fs图为平直线；M为一次函数，M图为斜直线；⑵当q=常数，Fs为一次函数，Fs图为斜直线；M为二次函数，M图为抛物线；当M图为抛物线时，画M图需确定抛物线顶点的位置和顶点的弯矩值。由：0)()(xFdxxdMs可知弯矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置。•1、在集中力作用处剪力发生突变，弯矩的斜率发生变化，成为一个转折点。•2、在集中力偶处弯矩发生变化，变化的数值等于力偶矩数值。•3、的绝对值可能发生在剪力等于0处，也可能发生在集中力作用处，还有集中力偶处。maxM根据M、Fs与q之间的关系，可不必列剪力方程和弯矩方程，即可画出剪力图和弯矩图。另外：根据M、Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下：⒈取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；⒉将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点，分布荷载两端，支座处都应取作分段点；⒊用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩，由Fs=0确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的弯矩值；⒋用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、弯矩连起来。并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值和弯矩值，以及弯矩抛物线顶点所对应的截面位置。例9画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FAFB34m11解：取整体;0Bm0246qmFAkNFA6;0yF04qFFBAkNFB18Fs图M图FsM1234==00BAC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kNFB=18kN34m11Fs图M图FsM12345==00FA22Fs2M2A;0yF;02m02sAFFkNFs62022AFMmkNM.12266612BFs图M图FsM1234==00;03m023mFMAmkNM.24366-1812FA33Fs3M3Am24B44M4Fs4FB;0yF04BsFFkNFs1846FB=18kNAC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kN34m11BAC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kNFB=18kN34m11Fs图M图FsM12345==0066-181224B66kN18kN⊕○－⊕3m5555Fs5M5FBq;05m023335qFMBmkNM.27502712kN.m24kN.m27kN.mB例10画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mF=6kNq=3kN/m66223FAFB32m11解：取整体;0Am05226qFFBkNFB7;0Y04qFFFBAkNFA5Fs图M图FsM12345==002mB4455D6===AC2mF=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs图M图FsM12345==002mB4455D6===5-75;03m023AFMmkNM.103FA33Fs3M3AF;0yF03sAFFFkNFs13-1-1-11010⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.mAC2mF=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs图M图FsM12345==002mB4455D6===5-75;04m0244FFMAmkNM.84RA44Fs4M4AP-1-1-11010⊕○－5kN1kN7kN