第4章 三铰拱和悬索结构的受力分析

第4章三铰拱和悬索结构的受力分析●本章教学基本要求：了解三铰拱的受力特点，掌握三铰拱支座反力及指定截面内力的计算方法；了解三铰拱压力线的概念，了解三铰拱在几种常见荷载作用下的合理拱轴方程；了解悬索结构的受力特点和单根悬索的计算方法。●本章教学内容的重点：三铰拱支座反力和内力的计算方法。●本章教学内容的难点：三铰拱的压力线和合理拱轴。●本章内容简介:4.1拱结构的形式和特性4.2三铰拱的内力计算4.3三铰拱的压力线和合理拱轴*4.4悬索结构4.1拱结构的形式和特性一、拱结构在竖向荷载作用下，支座会产生向内的水平反力(推力)的曲线形结构，称为拱结构。FPFPFPFPFHAFHBFVAFVBFVAFVBFHA=0a)拱结构b)曲梁二、拱结构的形式1、基本形式般有三铰拱、两铰拱和无铰拱三种基本形式拱趾拱趾跨度l拱高f拱顶起拱线拱身三铰拱二铰拱无铰拱2、带拉杆的拱结构三、拱结构的力学特性拱结构截面内一般有弯矩、剪力和轴力，但在竖向荷载作用下，由于有水平推力的存在，使得其弯矩和剪力都要比同跨度、同荷载的梁小得多，而其轴力则将增大。因此，拱结构主要承受压力。拉杆拉杆拉杆4.2三铰拱的内力计算一、支座反力的计算1、竖向支座反力0BM0VVAAFF0AM0VVBBFF拱的竖向反力与相当简支梁的竖向反力相同FP1FP1FP2FP2l/2l/2l/2l/2ll0VAF0VBF00HAFa1a2AABBCCKKFHAFHBFVAFVBxyf0CM2、水平支座反力FHA=FHB=FH由三铰拱整体平衡条件，可得0xF取铰C左边隔离体，由，可得0CM022H11PVfFalFlFA0H0fFMCfMFC0HFP1FP1FP2FP2l/2l/2l/2l/2ll0VAF0VBF00HAFa1a2AABBCCKKFHAFHBFVAFVBxyf0CM小结(1)三铰拱支座反力计算公式为fMFFFFFCBBAA0H0VV0VV(2)支座反力与l和f（亦即三个铰的位置）以及荷载情况有关，而与拱轴线形式无关。(3)推力FH与拱高成反比。拱愈低，推力愈大；如果f→0，则f→∞，这时，三铰在一直线上，成为几何可变体系。二、内力的计算试求指定截面K的内力。约定弯矩以拱内侧受拉为正。(1)由∑MK=0，得yFMMH0(2)由∑FR=0，得sincosH0QQFFF(3)由∑FS=0，得cossinH0QNFFFl/2l/2l/2l/2llFP1FP1FP1FP2FP2FP1xxyyFHAFHAAAABBFVAFVAFVBFHBCCKKKa2a10VAF0VBF0CM00VAFK0QF0M0QFRSsin0QFcos0QFsinHFcosHFFHM小结(1)三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）cossinsincosH0QNH0QQH0FFFFFFyFMM(2)由于推力的存在（注意前两个计算式右边的第二项），拱与相当简支梁相比较，其截面上的弯矩和剪力将减小。弯矩的降低，使拱能更充分地发挥材料的作用。(3)在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的截面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为正、压力为负）。(4)内力与拱轴线形式(y,j)有关。(5)关于φ值的正负号：左半跨φ取正号；右半跨φ取负号，即式(4-2)中，cos(-φ)=cosφ，sin(-φ)=-sinφ。三、内力图的绘制一般可将拱沿跨长分为若干等分（如8、12、20…等分），应用式（4-2）分别计算其内力值（注意：各截面的x、y和φ均不相同，可列表计算，见例4-1），然后逐点描迹，连成曲线。弯矩绘在受拉侧，剪力图和轴力图须注明正负号。小结【例4-1】已知拱轴线方程，试作图示三铰拱的内力图。)(42xlxlfy解：(1)计算支座反力（推力））（）（kN604440850kN501612404810kN7016128104400H0VV0VVfMFFFFFCBBAAq=10kN/mFP=40kNAABCDEf=4mxyyEFH=60kNFH=60kNE4m4m4m4ml=16mFVA=70kNFVB=50kNBCDEq=10kN/mFP=40kN0VAF0VBF16m(2)计算各截面几何参数（y和φ）)(42xlxlfy1)求y将l和f代入拱轴线方程得162xxy2)求φ81tanxy代入各x值，即可查得相应的φ值。为绘内力图将拱沿跨度分为8个等分，计有9个控制截面，求出各截面的y、φ等值，列于表中。q=10kN/mFP=40kNAABCDEf=4mxyyEFH=60kNFH=60kNE4m4m4m4ml=16mFVA=70kNFVB=50kNBCDEq=10kN/mFP=40kN0VAF0VBF16m(3)计算内力以截面E为例，计算其内力值。将x=12m代入y和式中，得yE=3m，=-0.5，查得φE=-26º34′。因此，有yEEyytansinφE=-0.447cosφE=0.894将上述截面E的各相关值代入公式，即可得各内力值1）弯矩计算mkN20360200H0EEEyFMMq=10kN/mFP=40kNABCDEf=4mEyExyFH=60kNFH=60kNFVA=70kNFVB=50kN4m4m4m4ml=16mkN88.17)447.0)(60()894.0)(05(sincoskN88.17)447.0)(60()894.0)(10(sincosH0右右QH0左左QEEQEEEEQEEFFFFFF2）剪力计算3）轴力计算kN99.75)894.0)(60()447.0)(05(cossinkN11.58)894.0)(60()447.0)(10(cossinH0右N右NH0左N左NEEEEEEEEFFFFFF用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算，如表4-1所示。(4)作内力图M图(kN·m)1515205520AAAABBBBCCCCDDDDEEEEFQ图(kN)7.144.9104.917.917.947FN图(kN)91.9786760.66060.67877.87658.1q=10kN/mFP=40kNf=4mFH=60kNFH=60kNFVA=70kNFVB=50kN4m4m4m4ml=16mxyyEEq【讨论】对于如图4-5a所示的二次抛物线三铰拱：(1)当仅在左半跨或右半跨作用均布荷载q时，其M图都是反对称的，如图所示；而FQ图都是对称的。仅在左半跨作用均布荷载时的M图仅在右半跨作用均布荷载时的M图仅在左半跨作用均布荷载时的FQ图仅在右半跨作用均布荷载时的FQ图(2)显见，当全跨同时作用均布荷载q时，M图将为零，FQ图也将为零(只须将相应内力图相叠加，即可得到验证)，拱仅受轴向压力FN作用。仅在左半跨作用均布荷载时的M图仅在右半跨作用均布荷载时的M图仅在左半跨作用均布荷载时的FQ图仅在右半跨作用均布荷载时的FQ图(3)这种在给定荷载作用下，拱处于无弯矩状态的拱轴线，是最合理的拱轴线。四、带拉杆的三铰拱和三铰拱式屋架的计算【例4-2】试求图示有水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用下的支座反力和内力。解：该三铰拱由拉杆AB来阻止支座的水平位移，因此，拱的一个支座改为可动铰支座。相当简支梁如图4-8b所示IFP1FP1FP2FP2FP3FP3AABBCCDDEEFFFHFVAFVBIIl/2l/2l/2l/2ll拉杆flCF0VAF0VBFfMFCS0(1)计算支座反力由整体平衡条件∑Fy=0、∑MB=0和∑MA=0，可分别求得0VV0VVH,,0BBAAFFFFFFH=0是其计算特点之一(2)计算拉杆内力取截面I-I之右为隔离体。由∑MC=0，得flFlFFCFBS/)2(3PVFP1FP1FP2FP2FP3FP3AABBCCDDEEFFFHFVAFVBIIl/2l/2l/2l/2ll拉杆flCF0VAF0VBFFP3FVBl/2BCFIIFSFCxFCy(3)计算拱身内力在无拉杆三铰拱的内力计算式中，只须用FS去取代FH，即可得出有水平拉杆拱身内力计算式为cossinsincos0QN0QQ0SSSFFFFFFyFMMFP3FVBl/2BCFIIFSFCxFCy【例4-3】试求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支座反力和内力。解：(1)计算支座反力0VV0VVH,,0BBAAFFFFF(2)计算拉杆内力fMFCS0(3)计算拱身内力须注意两个计算特点：一是要考虑偏心矩e1，二是左、右半跨屋面倾角φ为定值。于是，可参照式(4-6)写出拱身内力计算式为cossinsincos)(0QN0QQ10SSSFFFFFFeyFMMABCFHFVAFVBxyfql/2l/2le1钢拉杆（拉力FS）4.3三铰拱的压力线和合理拱轴一、压力线1、压力线的意义拱中外力对拱身横截面上作用力的合力常为压力，拱各横截面上合力作用点的连线，称为压力线，代表拱内压力经过的路线。如果三铰拱中，某截面D左边(或右边)所有外力的合力FRD已经确定，则由此合力便可分解为该截面形心上的三个内力DDDDDDDDDFFFFrFMcossinRNRQRrD为由截面形心到合力FRD的垂直距离；aD为合力FRD与D点拱轴切线之间的夹角。DMDFNDFQDrD合力FRDDD2、压力线的图解法(1)确定各截面合力的大小和方向由力多边形的射线来确定FP1FP1FP2FP2FP3FP3FRAFRBFRAFRBABCDFGHK1K2K3压力线（一种特殊的索多边形）12122323自行封闭的力多边形极点O(2)确定各截面合力的作用线三铰拱各截面合力的作用线可由索多边形中的各索线来确定,当某段内竖向力连续分布时，该段的压力线为曲线。FP1FP1FP2FP2FP3FP3FRAFRBFRAFRBABCDFGHK1K2K3压力线（一种特殊的索多边形）12122323自行封闭的力多边形极点O3、压力线的用途(1)求任一拱截面的内力(2)选择合理拱轴由上面分析可知，拱的压力线与拱轴曲线形式无关。因此，有了压力线之后，可以选择合理的拱轴曲线形式，应使拱轴线与压力线尽量接近（以减少弯矩），最好重合（此时截面弯矩为零）。对抗拉强度低的砖石拱和混凝土拱，则要求截面上合力FR作用点不超出截面核心(对于矩形截面，压力线应不超过截面对称轴上三等分的中段范围)。二、三铰拱的合理拱轴线1、合理拱轴线在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线，称为合理拱轴线。2、合理拱轴的数解法0H0yFMM由得H0FMy上式表明，在固定荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线y与相当简支梁弯矩图的竖标M0成正比。(1)满跨竖向均布荷载【例4-4】设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。解:)(20xlxqMfqlfMFCH820三铰拱在沿水平方向均匀分布的竖向荷载作用下，其合理轴线为一抛物线。在方程(4-9)中，拱高f没有确定。因此，具有不同高跨比的任一抛物线都是合理拱轴。H0FMy)(42xlxlf(4-9)qqAABBCl/2l/2lxyxql/2ql/2f(2)竖向连续分布荷载【例4-5】设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。试求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为γ，拱所受的竖向分布荷载为q=qC+γy。解：将式对x微分两次，得H0/FMy202H22dd1ddxMFxy用q(x)表示沿水平线单位长度的荷载值，则)(dd202xqxMH22)(ddFxqxy这就是在竖向荷载作用下拱的合理轴线的微分方程ABCxyfl/2l/2qC+gfqCH22)(ddFxqxy式中，规定y向上