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织金育才学校22sincos1sintancos称为平方关系同角三角函数的基本关系称为商数关系必须是同角!讨论交流:各自的特点公式tancossin,1cossin22移项变形:2222cos1sinsin1cos{常用于正弦、余弦函数的相互转化,相互求解。注:在开方时,由角所在的象限来确定开方后的符号。即在一、二象限时,当在三、四象限时,当22cos1cos1{sin是一、四象限时当是二、三象限时,当,sin1sin122{cos1cossin公式22201-sin80例1.化简000280cos80cos80cos解:原式解题思路:公式变形练习.化简其中,1sin1tan2是第二象限角.数学应用:化简解题思路:通分数学应用:化简22.sincos11tan1cos(2)1sin例2化简()(α为第四象限角).1cos1cos1cos1cos(3)分析:一个角,三种三角函数,分式。规律归纳化简三角函数式的一般要求:①函数种类最少;②项数最少;③函数次数最低;④能求值的求出值;⑤尽量使分母不含三角函数;⑥尽量使分母不含根式.数学应用:化简22sin211cos2)4(22cossin1换为222222222cos12cos(sincos)12sin(sincos)2sin解:2222sincossincos1化简技巧:22cossin1)1(换为cossintan)2(切化弦:2)cos(sincossin21)3(xxxxxxxx22cossin1)sin1)(sin1()4(的特点tancossin公式变形:tansincos由正弦正切,求余弦tancossin由余弦正切,求正弦tancossin由正弦、余弦,求正切注:所得三角函数值的符号是由另外两个三角函数值的符号确定的。应用示例cossincossin)1(求下面各式的值。,2tan、已知1例2cossintan1解:方法cos2sin3coscos3coscos2coscos2原式cos0cos2原式分子分母同除以方法coscoscossincoscoscossin原式1tan1tan12123化简方向:切化弦22cossincossin)2(22coscos4coscos2cos2sin:1代入原式将方法22cos3cos232222222coscoscossincoscossincos:2原式分子分母同除以方法1tantan21-22232,求下面各式的值。2tan、已知1例cossin)4(22coscos4coscos2cos2sin1代入原式将方法22cos5cos252222222coscoscossincoscossincos2原式分子分母同除以方法1tantan2122252,求下面各式的值。2tan、已知1例cossin1)3(拓展延伸.cossin7-cossincossin1的值,求、已知数学应用:求值.cossin2121tan2的值,求、已知解析:两边平方,1的代换。解析:1的代换。公式:(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα的应用。aaaaaa知一求二cossin)3(;cossin)2(;cossin)1(例1、α是三角形的内角,且sinα+cosα=15.(1)求tanα的值;[解](1)法一:联立方程sinα+cosα=15,①sin2α+cos2α=1,②由①得cosα=15-sinα,将其代入②,整理得25sin2α-5sinα-12=0.∵α是三角形内角,∴sinα=45,cosα=-35,∴tanα=-43.(2)把1cos2α-sin2α用tanα表示出来,并求其值.法二:∵sinα+cosα=15,∴(sinα+cosα)2=152,即1+2sinαcosα=125,∴2sinαcosα=-2425,∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+2425=4925.∵sinαcosα=-12250且0απ,∴sinα0,cosα0,∴sinα-cosα0.∴sinα-cosα=75.例1、已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=15.(1)求tanα的值;(2)把1cos2α-sin2α用tanα表示出来,并求其值.由sinα+cosα=15,sinα-cosα=75,得sinα=45,cosα=-35,∴tanα=-43.(2)1cos2α-sin2α=sin2α+cos2αcos2α-sin2α=sin2α+cos2αcos2αcos2α-sin2αcos2α=tan2α+11-tan2α.∵tanα=-43,∴1cos2α-sin2α=tan2α+11-tan2α=-432+11--432=-257.例1、已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=15.(1)求tanα的值;(2)把1cos2α-sin2α用tanα表示出来,并求其值.数学应用:证明cossin1sin1cos.7证明例cossin1sin1cos.7证明例证明:cossin1sin1coscos)sin1()sin1(cos220cos)sin1(coscos22因此cossin1sin1cos作差法证法二:2sin1)sin1)(sin1(因为2coscoscos因此cossin1sin1cos由题意知:0cos,0sin1恒等变形的条件cossin1sin1cos.7证明例证法三:由题意知:0cos则1sin原式左边=)sin1)(sin1()sin1(cos2sin1)sin1(cos2cos)sin1(coscossin1=右边因此cossin1sin1cos恒等变形的条件cossin1sin1cos.7证明例证明三角恒等式的基本思路:由繁到简一般方法:(1)左边右边(2)右边左边(3)左边中间式右边(4)转化①A=BA–B=0②③AAB1(B0)BACADBCBD数学应用:证明2244cossincossin分析:由左往右证44cossin证明:左边)cos)(sincos(sin22221cossin2222cossin右边原式成立例8求证:恒等式证明常用方法?例9.求证:4222(1)sinsincoscos1.1cossin22分析:xxcossin21xxxxcossin2cossin22xx22sincos)sin)(cossin(cosxxxx2(sincos)xx2212sincos1tan(2)cossin1tanxxxxxx数学应用:证明2222sintansintan分析:1.两面夹2.切化弦22sintan证明:左边222sincossin2222coscossinsin222cos)cos1(sin222cossinsin24cossin22sintan右边22sincossin24cossin右边左边原式成立数学应用:证明(3)1.证明方法(1)由左往右证(2)由右往左证由复杂的一端向简单的一端化简(3)两面夹2.技巧22cossin1)1(换为cossintan)2(切化弦:2)cos(sincossin21)3(xxxxxxxx22cossin1)sin1)(sin1()4(概括:(一)同角三角函数的基本关系式:平方关系:商数关系:(二)公式的应用:知一求二:由一个角的某一三角函数值求出其它的两个三角函数值;(三)数学思想方法:①分类讨论;②方程(组)的思想.22sincos1sintancos小结:作业:达标训练
本文标题:同角三角函数的基本关系(2)
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