2012年高考一轮复习方案圆锥曲线方程第四节_直线与圆锥曲线的位置关系_课件

考点串串讲1．直线与圆锥曲线位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(也可以消x)得一个关于变量x的一元方程ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，则有Δ＞0，l与C相交；Δ＝0，l与C相切；Δ＜0，l与C相离．(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴．应当注意的是，当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交．2．联立方程，韦达定理法直线和圆锥曲线相交于两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1、x2是一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0的两根，则由韦达定理得x1＋x2＝－BA，x1x2＝CA.我们在处理直线和圆锥曲线的问题时，只要所处理的问题为一对称结构，最后化为的结果中含有x1＋x2、x1x2，则联想到韦达定理，我们把这种思路称为八个字“联立方程，韦达定理”．比如OA→·OB→＝x1x2＋y1y2.设斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(k≠0)．3．中点弦问题这类问题共有4种情形：①以定点为中点的弦所在直线方程；②平行弦的中点轨迹；③过定点的动弦的中点轨迹；④弦长为定值的弦的中点轨迹，解决这类问题主要方法有：(1)韦达定理法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解．(2)“平方差”法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般地首先设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立了中点坐标和斜率的关系．(3)平方差法的具体操作过程为：设圆锥曲线的弦的两端点为A(x1、y1)、B(x2、y2)(x1≠x2)，AB的中点为(x0，y0)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，将A、B两点的坐标代入圆锥曲线方程后两式作差可得如下结论：对于椭圆x2a2＋y2b2＝1有kAB＝y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·x0y0；对于双曲线x2a2－y2b2＝1，有kAB＝y1－y2x1－x2＝b2a2·x1＋x2y1＋y2＝b2a2·x0y0；对于抛物线y2＝2px，有kAB＝y1－y2x1－x2＝2py1＋y2＝py0.4．对称问题对于圆锥曲线C上存在两点A、B关于直线l对称的问题，一般从以下几个方面考虑：(1)A、B在圆锥曲线上；(2)AB的中点在l上；(3)l⊥AB；(4)由AB的中点M在椭圆或抛物线内部(双曲线除外)，或由直线AB与曲线C的联立方程组消元后的方程Δ＞0，或由非负数的性质构造不等式．5．解最值题常见的两种题型及解法(1)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可通过建立目标函数y＝f(x)，(x∈A)再利用以下几种常用方法求出这个函数的最值．①配方法(求二次函数给定区间上的最值)；②判别式法；③换元法；④均值不等式法；⑤函数单调性法等．在利用代数法求解最值题时一定要注意：(ⅰ)目标函数的建立要简单明确、注意消元技巧．(ⅱ)确定出自变量的取值范围．(2)几何法：若题目的条件和结论明显地体现出一定的几何特征及意义，则可通过相应的几何性质，利用数形结合思想求出其最值．利用几何法求解最值题要注意：①熟记而灵活运用下列解析式的几何意义．(ⅰ)k＝y－bx－a几何意义：曲线C上的动点P(x，y)与定点M(a，b)连线的斜率．(ⅱ)d＝x－a2＋y－b2几何意义：曲线C上的动点P(x，y)到定点M(a，b)的距离．②圆锥曲线的统一定义是利用几何法求解最值题的常用工具．特别是：已知圆锥曲线C，曲线内一定点为A(a，b)，F为曲线C的焦点，在圆锥曲线C上求一点P(x0，y0)，使|PA|＋1e|PF|(e为圆锥曲线C的离心率)取最小值．可利用圆锥曲线的统一定义，将其转化为|PA|＋|PD|，|PD|为动点P到准线的距离，然后给出问题的答案．6．定点与定值问题在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的．这类问题有两种处理方法：(1)从特殊入手，求含变量定点(定值)，再证明这个点(值)与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点(定值)．7．求参数的取值范围与圆锥曲线有关的参数范围问题的讨论常用的两种方法：(1)不等式(组)求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围．(2)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围.典例对对碰题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，讨论直线与双曲线公共点个数．分析将直线l的方程与双曲线方程联立消元后转化为关于x(或y)的一元二次方程，利用“Δ”求解．解析联立方程组y＝kx－1x2－y2＝4.消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)①当1－k2＝0时，即k＝±1，方程(*)化为2x＝5，方程组有一解．故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行．②当1－k2≠0时，即k≠±1，由Δ＝4(4－3k2)＞0得，－233＜k＜233，且k≠±1时，方程(*)有两解，方程组有两解．故直线与双曲线有两交点．③当1－k2≠0时，由Δ＝4(4－3k2)＝0得，k＝±233时，方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切．④当1－k2≠0时，由Δ＝4(4－3k2)＜0得k＜－233，或k＞233时，方程组无解，故直线与双曲线无交点．综上所述，当k＝±1，或k＝±233时，直线与双曲线有一个公共点；当－233＜k＜－1，或－1＜k＜1，或1＜k＜233时，直线与双曲线有两个公共点；当k＜－233，或k＞233时，直线与双曲线无公共点．点评研究直线与双曲线位置关系时，应注意讨论二次项系数为0和不为0的两种情况.变式迁移1求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线的方程．解析①若直线斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0.由x＝0，y2＝2x.得x＝0，y＝0.直线x＝0与抛物线只有一个公共点．②若直线斜率存在，设为k，则过点P的直线方程为y＝kx＋1，由方程组y＝kx＋1，y2＝2x.消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.当k＝0时，则得x＝12，y＝1.即直线y＝1与抛物线只有一个公共点；当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点则Δ＝4(k－1)2－4k2＝0.∴k＝12，∴直线方程为y＝12x＋1.综上所述，所求直线方程为x＝0，或y＝1，或y＝12x＋1.题型二求弦长问题例2求直线y＝x＋32被曲线y＝12x2截得的线段的长．解析解法一：先求交点A、B，如图所示．联立方程组y＝x＋32，y＝12x2，消去y，得x2－2x－3＝0.解得x1＝－1，y1＝12；或x2＝3，y2＝92.∴A(－1，12)、B(3，92)．直线被曲线截得的线段长|AB|＝3＋12＋92－122＝42.解法二：设交点的坐标A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＝x1＋32，y2＝x2＋32.∴y1－y2＝x1－x2，联立方程组y＝x＋32y＝12x2消去y，得x2－2x－3＝0.∴x1＋x2＝2，x1x2＝－3.弦长|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝2x1－x22＝2·x1＋x22－4x1x2＝2×22－4×－3＝42.点评直线与抛物线相交，它们的方程组有两解，故有两个交点．一般地，直线被二次曲线所截得的线段，通常称为“弦”．解法一是先求出两曲线的交点坐标，再运用两点间距离公式求弦长，而解法二是设出交点坐标，运用根与系数关系和两点间距离公式求弦长，体现出“设而不求”的解题技巧．这种解法具有一般意义，特别是在交点坐标的数值较繁杂的情况下，可以避免解方程组的计算.变式迁移2若直线y＝2x与抛物线y＝－x2－2x＋m相交于不同的两点A、B，求：(1)m的取值范围；(2)|AB|；(3)线段AB的中点坐标．解析(1)由方程组y＝2x，y＝－x2－2x＋m，消去y得x2＋4x－m＝0.∵直线与抛物线有两个相异交点，∴Δ＞0，即42－4(－m)＞0.解之得m＞－4.∴m的取值范围是m∈(－4，＋∞)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程x2＋4x－m＝0的两个不等实根．∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝16＋4m.∵点A、B也在直线y＝2x上，∴|y1－y2|＝2|x1－x2|＝216＋4m，∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝16＋4m＋416＋4m＝25m＋20.(3)设线段AB的中点坐标为(x，y)，则x＝x1＋x22＝－2，y＝y1＋y22＝2x1＋x22＝－4.∴AB的中点坐标为(－2，－4).题型三中点弦问题例3点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在直线的方程．分析因为所求弦通过定点Q，所以求弦AB所在的直线方程关键是求出斜率k，又Q为弦的中点，所以可以用作“差”或韦达定理求得．解析解法一：设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝8x1，y22＝8x2，两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)．又x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，则k＝y2－y1x2－x1＝8y1＋y2＝4，∴所求直线AB的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.解法二：设弦AB所在的直线方程为y＝k(x－4)＋1，由y＝kx－4＋1，y2＝8x消去x整理，得ky2－8y－32k＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得y1＋y2＝8k.又∵Q是AB的中点，∴y1＋y22＝1，∴8k＝2，∴k＝4.∴弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.点评有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐标的问题，有时采用“平方差”法，可优化解题方法，简化运算.变式迁移3过点P(－1,1)，作直线与椭圆x24＋y22＝1交于A、B两点，若线段AB的中点恰为P点，求AB所在直线的方程和线段AB的长度．解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x21＋2y21＝4，①x22＋2y22＝4.②①－②得x21－x22＋2(y21－y22)＝0.显然x1＝x2不合题意，∴x1≠x2，∴y1＋y2y1－y2x1＋x2x1－x2＝－12.③由已知x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2，y1－y2x1－x2＝kAB，代入③式，得kAB＝12.∴所求的直线方程为y－1＝12(x＋1)．即x－2y＋3＝0.联立直线x－2y＋3＝0和椭圆方程x24＋y22＝1得，3x2＋6x＋1＝0.∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋14×243＝303.题型四曲线关于直线的对称问题例4知椭圆C的方程为x24＋y23＝1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y＝4x＋m，椭圆C上有不同的两点关于直线l对称．分析本题有两种思路：(1)利用判别式构造不等式；(2)利用两对称点的中点在椭圆内构造不等式．解析解法一：假设具有对称关系的两点所在直线l′的方程为y＝－14x＋n，代入椭圆方程得：3x2＋4(－14x＋n)2－12＝0，即13x2－8nx＋16n2－48＝0.若要椭圆上关于直线l对称的不同的两点存在，则需l′与椭圆相交，且两交点P、Q到直线l的距离相等，即线段PQ的