信号分析与处理第5章-1

1■第5章离散时间信号处理基础5.1线性时不变离散系统时域模型——差分方程5.1.1线性时不变离散系统的数学模型和基本运算单元5.1.2差分方程的建立5.1.3差分方程的时域经典解法5.1.4用z变换求解差分方程5.2卷积和5.2.1零输入响应和零状态响应5.2.2离散系统的单位脉冲响应5.2.3卷积和5.2.4用卷积和计算系统的零状态响应5.3离散系统的系统函数5.3.1系统函数的定义5.3.2系统的稳定性和因果性5.3.3系统的频率特性第5章离散时间信号处理基础信号分析与处理2■5.1线性时不变离散系统时域模型——差分方程输入x(n)，经过离散时间系统，输出y(n)，记为：y(n)=T[x(n)]5.1.1线性时不变离散系统的数学模型和基本运算单元差分方程：描述在输入序列x(n)激励下线性时不变离散系统的输出响应y(n)直接的关系。01201()(1)(2)()()(1)()NMaynaynaynaynNbxnbxnbxnM第5章离散时间信号处理基础3■5.1.3差分方程的时域经典解法与微分方程的经典解相类似，差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。()()()hpynynyn5.1线性时不变离散系统时域模型——差分方程一、齐次解01()(1)()0(0),(1),(1)NaynaynaynNyyyN式中y(1)，y(2)，…，y(N-1)为初始条件。根据特征方程的根的形式确定齐次解的形式4■1()NnhiiiynC式中常数Ci(i=1,2,…,N)由初始条件确定。例5-3已知差分方程和系统的初始条件()5(1)6(2)0(0)3,(1)1ynynynyy，试求齐次解。解：该齐次差分方程的特征方程为0652，可求得其解为2132它们都是单根，由式（5-9）得该方程的齐次解应为12()(2)(3)nnhynCC代入初始条件12(0)(0)3hyyCC12(1)(1)231hyyCC（1）特征根均为单根如果N个特征根12210,,,,,NN5.1线性时不变离散系统时域模型——差分方程5.1.3差分方程的时域经典解法一、齐次解110C27C所以：于是方程的齐次解为()[10(2)7(3)]()nnhynn5■（2）特征根有重根λ1是r重根，1()rrinhiiynCn式中常数Ci由初始条件确定。例5-4已知差分方程()6(1)9(2)0ynynyn和初始条件(0)3y(1)3y，试求它的齐次解。解：方程的特征方程为：0962一、齐次解解得321可得其齐次解为21()()3nhynCCn代入初始条件2(0)(0)3hyyC21(1)(1)[]33hyyCC可得122,3CC方程的齐次解为()(32)3()nhynnn5.1线性时不变离散系统时域模型——差分方程5.1.3差分方程的时域经典解法6■（3）特征方程有复根一般共轭复根既可当单根处理，最后整理成实序列，当特征方程有共轭复根时，齐次解的形式可以是增幅、等幅或衰减形式的正弦或余弦序列。二、特解差分方程特解的形式也与激励函数的形式有关。选定特解后，把它代入到原差分方程，求出其待定系数，就得出方程的特解。表5-1列出各种输入信号对应的特解，供大家参考。一、齐次解5.1线性时不变离散系统时域模型——差分方程5.1.3差分方程的时域经典解法三．完全解(1)写出与该方程相对应的特征方程；求出特征根，并写出其齐次解通式;(2)根据原方程的激励函数的形式，写出其特解的通式；(3)将特解通式代入原方程求出待定系数，确定特解形式；(4)写出原方程的通解的一般形式(即齐次解+特解)；(5)把初始条件代入，求出齐次解的待定系数值。7■例5-5解差分方程()4(1)4(2)()ynynynxn，其中()2()nxnn(0)0y(1)1y解：先求方程()4(1)4(2)0ynynyn特征方程为0442，。5.1线性时不变离散系统时域模型——差分方程5.1.3差分方程的时域经典解法可解特征根221因此12()22nnhynCCn根据表5-1得出其特解形式：()2npynC带入原方程：12242422nnnnCCC解出14C特解为1()(2)4npyn的齐次解，差分方程的全解为121()22(2)4nnnynCCn将已知的初始条件带入上式，有21C114Cnnn11()(2)(2)(2)44ynn强迫响应自由响应8■5.1.3用Z变换求解差分方程线性时不变离散系统差分方程的一般形式为00()()NMkkkkaynkbxnk设x(n)为因果信号，对上式两边取Z变换，并利用移位性质，得(1)(2)0[()(1)(2)()]NkkkkkazYzyzyzyk)(0zXzbkMkk解出Y(z)后再取逆变换可得输出序列y(n)。例5-6已知差分方程5.1线性时不变离散系统时域模型——差分方程第5章离散时间信号处理基础()0.3(1)()ynynxn(1)5y()(0.6)()nxnn，，求响应y(n)。解对方程两边分别取Z变换，并利用移位性质，有1()0.3[()(1)]0.6zYzzYzyz9■)3.0)(6.0()9.05.2()(zzzzzY用部分分式法得3.05.06.02)(zzzzY3.05.06.02)(zzzzzY取逆变换，得()2(0.6)0.5(0.3)nnyn5.1.3用Z变换求解差分方程5.1线性时不变离散系统时域模型——差分方程10■5.2卷积和5.2.1零输入响应和零状态响应线性时不变离散系统的完全响应还可以分为零输入响应和零状态响应。一、零输入响应00()()0NMkrkraynkbxnr若其特征根均为单根，则其零输入响应1()nnziziiiynC式中Czi为待定系数，用初始状态确定。二、零状态响应所谓零输入响应是指激励为零时仅由初始状态所引起的响应。零状态响应是指初始状态为零时仅由输入信号所引起的响应。第5章离散时间信号处理基础11■若其特征根为单根，则零状态响应1()()nnzszsipiynCyn式中Czs为待定系数。y(n)与各种响应之间的关系是111()()()nnnnnniipziizsipiiiynCynCCyn强迫响应自由响应零输入响应零状态响应＝式中100nnnnnniiziizsiiiiCCC三、全响应线性时不变系统的全响应是零输入响应与零状态响应之和，即()()()zizsynynyn5.2卷积和5.2.1零输入响应和零状态响应12■四、举例：用Z变换求例5-6的零输入响应、零状态响应和全响应。解输入为零时，差分方程右端为零，初始值(1)(1)5ziyy。对方程两边取Z变换后有1zizi()0.3{()(1)}0YzzYzy3.05.1)(zizzzY显然，零输入响应为zi()1.5(0.3)nyn对零状态响应，初始状态为零，。对方程两边取Z变换后有6.0)(3.0)(zs1zszzzYzzY5.2卷积和5.2.1零输入响应和零状态响应13■)3.0)(6.0()(2zszzzzY把它用部分分式展开，得3.06.02)(zszzzzzY则零状态响应为zs()2(0.6)(0.3)nnyn将零输入响应与零状态响应相加，全响应为zizs()()()2(0.6)0.5(0.3)nnynynyn5.2卷积和5.2.1零输入响应和零状态响应14■h(n)=T[δ(n)]h(n)代表系统的时域特征。意义：由于任意序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和表示，根据线性系统的可加性，只要求得系统的单位脉冲响应，则多个单位脉冲序列作用于线性系统所引起的响应等于各个单位脉冲序列所引起的响应（单位脉冲响应）的线性组合。二、求取h(n):由差分方程计算系统的单位脉冲响应的方法：递推法、经典法、z变换法例5-8已知某系统的差分方程1()(1)()2ynynxn，分别用递推法、经典法和z变换法求单位脉冲响应h(n)。解：()(),()(),xnnynhn当时所以有1()(1)()2hnhnn5.2.2离散系统的单位脉冲响应一、定义：输入δ(n)产生的系统零状态响应为单位脉冲响应h(n)（单位样值响应）5.2卷积和第5章离散时间信号处理基础15■1、递推法1()(1)()2hnhnn21(0)(1)(0)1211(1)(0)2211(2)(1)()221()()()2nhhhhhhhnn递推公式为二、求取h(n):5.2.2离散系统的单位脉冲响应5.2卷积和16■2、经典法先用递推公式求得1(0)(0)(1)12hh显然，差分方程的特征根21z则n≥1时的单位脉冲响应为1()()2nhnC根据h(0)=1可确定出C=1，故1()()2nhn3、Z变换法两边取Z变换，得11()(1)12Hzz5.2.2离散系统的单位脉冲响应5.2卷积和11()11122zHzzz取Z逆变换得1()()()2nhnn17■5.2.3卷积和一、卷积的推导：由于任一离散时间信号可以表示为移位单位样值序列的加权和，即kknkxnx)()()(系统的输出为kknkxTnxTny)]()([)]([)(5.2卷积和第5章离散时间信号处理基础由系统的线性性质可得kkknTkxknkxTny)]([)()]()([)(可加性齐次性由系统的时不变性质得kkknhkxknTkxny)()()]([)()(()()xnhn二、结论：线性时不变系统对任意输入信号的响应可表示为系统的单位脉冲响应与输入信号的“卷积和”（线性卷积）18■三、卷积的性质：卷积符合交换律、分配律和结合律，即()*()()*()xnhnhnxn1212()*[()()]()*()()*()xnhnhnxnhnxnhn121221()*(()*())[()*()]*()[()*()]*()xnhnhnxnhnhnxnhnhn任一信号x(n)与延迟n0时间的单位样值信号δ(n-n0)的卷积为00()*()()xnnnxnn5.2.4用卷积和计算系统的零状态响应线性时不变系统的零状态响应()()()()*()kynxkhnkxnhn卷积和的运算有很多方法，基本上可分为解析法、列表法、图解法、竖式法和变换域法等。本节将举例对卷积和的运算进行说明，重点介绍解析法、图解法和竖式法和z域法。5.2.3卷积和5.2卷积和第5章离散时间信号处理基础19■一、解析法根据式（5-28）的卷积定义，利用离散序列的卷积性质，通过级数求和公式，可以方便地求出结果。()2nxn1()()()3nhnn()zsyn例5-10已知激励信号序列，单位脉冲响应，求零状态响应。解由卷积和定义，考虑单位阶跃序列ε(n)特性，有()()()zsynhnxn0()()khkxnk0011()22()36knknkkk5.2.4用卷积和计算系统的零状态响应5.2卷积和162(2)1516nn20■二、图解法：包括信号的反转、移位、相乘、求和等四个基本步骤。1,03,1()2,20,nnxnn其他24,0,1,2,3()()0,nnhnxn其他例5-11已知离散信号和单位脉冲响应5.2.4用卷积和