2-1-一维随机变量及其分布-(3)

下回停第一节一维随机变量及其分布(3)五、连续型随机变量六、典型的连续型随机变量及其分布五、连续型随机变量定义对于随机变量X，若存在非负可积函数xyypxFd)()(则称X为连续型随机变量,且称p(x)为密度函数,或概率密度.注此定义中涉及三个名词:连续型随机变量,1.连续型随机变量及其密度函数p(x)(xR),使得X的分布函数密度函数,分布函数.)(xpy)(xFxxyo设X为连续型随机变量,p(x)为X的密度函数,(1);,0)(Rxxp(2);1d)(xxp(3);d)()()(}{xxpaFbFbXaPba(4).0}{cXPF(x)为X的分布函数,则2.密度函数的性质(规范性)(非负性)上连续；在分布函数),()()5(xF(6)).()()(xpxFxxp处连续，则在点若0},{}{cXccX.0xxpccd)(lim0}{}{0cXcPcXP而}{lim0cXcP.0}{cXP前3个性质显然成立,下面给出第4个性质的证明证1º性质4说明对于任意可能值c,连续型随机2º为连续型随机变量，则若X}{bXaP}{bXaP连续型随机变量的概率与区间的开闭无关0)(AP1)(APA=A=3º}{}{bXaPbXaP注变量取c的概率等于零.对连续性随机变量，一定是连续的，但是未必连续，在的连续点处，有Fx()px()px()Fxpx()()4º？改变连续型随机变量X的概率密度平p(x)在个别点x=x0的值是否影响随机变量的概率分布？答：不影响。因为随机变量的概率分布完全由分布函数来刻画。对于连续型随机变量X,分布函数xyypxFd)()(改变p(x)在个别点x=x0的值不影响随分布函数F(x)的取值。例如，若X，Y的概率密度分别为Xaxbpxba1,,()0,.其它Yaxbpyba1,,()0,.其它我们可以认为它们具有相同的概率分布.即，X~U(a,b)}.{)(;)(;)(.,,,,,)(2713210432230XPXkxxxkxxpX求的分布函数求确定常数其它具有概率密度随机变量设解,1d)()1(xxp由例1,1d0d)22(dd0430430xxxxkxx得.61k解之得的概率密度为知由Xk61.,0,43,22,30,)(其它xxxkxxp.,0,43,22,30,6)(其它xxxxxp,0,0)(xxF得由xxxpxFd)()()2(.,0,43,22,30,6)(其它xxxxxp,30x,d60xxx,43x,d)22(d6330xxxxx4.x,1.4,1,43,423,30,12,0,0)(22xxxxxxxxF即}271{)3(XP)1()27(FF.4841pxdx721()xxdxdx73213(2)62六、典型的连续型随机变量的分布1.均匀分布（规则分布）Uniformdistribution(1)定义具有概率密度：设连续型随机变量X.,0,,1)(其它bxaabxp,],[上服从均匀分布在区间则称baX].,[~baUX记为概率密度函数图形aob()px1ba.,1,,,,0)(bxbxaabaxaxxF分布函数为:(2)均匀分布的性质则如果],,[~baUX;0}{}{1bXPaXP.}{2abcddXcPbdca时，有当xo)(xFab1(3)均匀分布的意义,],[Xba变量上服从均匀分布的随机在区间.],[性是相同的内的可能中任意等长度的子区间落在区间ba)(xpablplxoabab1l背景：几何概型设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现X的分布密度函数为.,0,52,31)(其它xxp设A表示“对X的观测值大于3”,解即A={X3}.例2对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.}3{)(XPAP,32d3153x}2{YP.2720因而有设Y表示对X进行3次独立观测中,观测值大于则).32,3(~BY)321()32(223C0333)321()32(C}3{)(XPAP由于,32d3153x3的次数,的密度函数为若随机变量X(1)定义xpxexπ22()221()2服从正态分布，为常数，则称与其中X,0).,(~2NX记为2.正态分布(高斯分布)Normaldistribution正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国数学家和天文学家棣莫弗(DeMoivre)于1733年在推导二项分布的极限分布时首次发现提出.但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究(误差密度函数为正态分布)，故正态分布又叫高斯分布。高斯这项工作对后世的影响极大,这直接导致正态分布同时也被冠名为“高斯分布”.高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。现今德国10马克的钞票上印有高斯头像，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种观点：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。正态分布的历史=3602888498032077023&checked=true从1989年直到2001年年底，他的肖像和他所写的正态分布曲线与一些在哥廷根突出的建筑物，一起被放入德国10马克的钞票中。背面：高斯发明的六分仪（用于航海、大地测量）正态分布之所以重要,原因很多,我们给出三个主要的原因:首先是正态分布在分析上较易处理。其次是正态分布的密度函数的图形为钟形曲线(bell-shapedcurve),再加上对称性,使得很适合当作不少总体的机率模式。当然下面我们会看到钟形且具对称的分布也有不少,但通常不像正态分布,在分析上如此容易驾驭。第三个原因是由于在中心极限定理(CentralLimitTheorem),使得在不太强的条件下,正态分布可当做不少大样本的近似分布。正态分布之所以重要,原因很多,三个主要原因:首先是正态分布在分析上较易处理。其次是正态分布的密度函数的图形为钟形曲线(bell-shapedcurve),再加上对称性,使得很适合当作不少总体的机率模式。当然也有很多其它钟形且具对称的分布,但不像正态分布,在分析上如此容易驾驭。由于中心极限定理(CentralLimitTheorem),使得在不太强的条件下,正态分布可当做不少大样本的近似分布。正态分布的应用正态分布的应用非常广泛,例如测量误差,随机噪声,学生成绩,产品的尺寸等大量的随机现象可以用正态分布描述.;)1对称曲线关于μxxμpxσ22),()1;2π当时取得最大值xpx3),()0.当时;)4处有拐点曲线在σμxx;即曲线以轴为渐近线(2)正态概率密度函数的性质xyOx=212π)(xpyσμσμμσ6),,当固定改变的大小时越大，图形越高越瘦，越小而形状在改变σσ,..图形越矮越胖σμpx5),,()当固定改变的大小时图形的形状;,轴作平移只是沿着不变xxyOx=)(xpy图形的对称轴不变，)(xpx=)(xpy212π212π正态分布的分布函数tμxσFxetσ22()221()d2服从标准正态分布，时，称，特别当X10)(x相应的分布函数记为txxtdeπ21)(22xxx22eπ21)(),(),1,0(~xNX相应的密度函数记为记为标准正态分布的图形标准正态分布的特殊性质:1)为偶函数；)(x),(1)(xx；5.0)0(2)1deπ21d)(22xxxx由可得.π222dxex3)}.21{),1,0(~XPNX求若)1()2(}21{FFXP解136.03841.03977.0}21{XP则知，查附表,3841.0)1(,3977.0)2(2)1()2(例3正态分布与标准正态分布的关系:).1,0(~,),,(~2NYXYNX那么如果明：证的分布函数的表达式可以求由YY}{}{)(yXPyYPyFY}{yXPyuduπ2221()exp{}22则令,utttyFyYd}2exp{π21)(2).1,0(~NY所以则设),,(~2NX}{}{bXaPbXaP解本例说明随机变量X服从正态分布时，如果我们)()(}{abbXaP)()(ab例4要计算关于它的概率问题,则可以转化为标准正态分布进行计算.}.33{),,(~2XPNX求若可得由)1,0(~NXY解例5}33{}33{XPXP的值则由本例可以看出，如果XNX),,(~2)3()3(}33{YP则,65998.0)3(1)3(2}33{XP3997.0165998.02，这就之外的概率为落在0027.0)3,3(.6原理是质量管理上所谓的的概率密度为设连续型随机变量X.0,0,0,e1)(xxxFx相应的分布函数为).(~,ExpX记作分布的指数服从参数为则称为常数其中X,0.0,0,0,e)(xxxpx3.指数分布Exponentialdistribution定义指数分布也是常用分布之一,常用它来描述各种“寿命”问题,如电子元器件的寿命,生物的寿命.指数分布应用广泛，在日本的工业标准和美国军用标准中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。此外，指数分布还用来描述大型复杂系统（如计算机）的平均故障间隔时间MTBF的失效分布。即对于性”的特点指数分布具有“无记忆.}{}|{tXPsXtsXP因此tstsee/e)(}{/}{}|{sXPtsXPsXtsXP则若任意的),(~,0,0ExpXts设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为.0,0,0,e1)(20001xxxFxX的分布函数为解=1/2000的指数分布(单位:小时)(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.例6}1000{)1(XP}1000{1XP)1000(1F.607.0e21}10002000{)2(XXP}1000{}1000,2000{XPXXP}1000{}2000{XPXP.0,0,0,e1)(20001xxxFx}1000{1}2000{1XPXP)1000(1)2000(1FF.607.0e21正是由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性．因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”,是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后,仍然如同新的产品一样,不影响以后的工作寿命值，或者说，经过一段时间t0的工作之后，该产品的寿命分布与原来还未工作时的寿命分布相同，显然，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤