证明不等式的基本方法

第二讲:证明不等式的基本方法方法1：作差比较，作差——变形——定符号根据a－b0ab，欲证ab只需证a－b0.证明1：∵3322()()ababab=22()()aabbab=22()()abab=2()()abab∵,ab是正数，且ab,∴0ab,2()ab0∴3322()()ababab0,∴3322ababab注：比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法,另外，有时还可作商比较.例1：已知ab,是正数，且ab，求证：ababab3322一.比较法:3332222()()()()abcabcbcacab+a,b,cR,:求证:已知求证练习2：已知,,abc是正数,求证:222abcbcacababcabc≥比商法,常用有幂式比大小练习1.已知a,b是正数,求证,当且仅当时,等号成立.abbabababalog(1)axlog(1)ax01,01aax且练习.比较与的大小.）.书P25页2（2）书P23页4一.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：①比差法：要证ab，只须证a-b0。②比商法：要证ab且b0，只须证1ba说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。证明2：∵0,0,abab且∴要证3322ababab,只要证22()()()abaabbabab,只要证22aabbab,只要证2220aabb.∵0ab,∴2()0ab即2220aabb得证.分析法：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止.其逻辑关系是：12nBBBBA.注意格式。贵在变形。例1：已知ab,是正数，且ab，求证：ababab3322二.分析法:练习：求证：6372附课本例3.已知,ab是正数，且ab，求证：abbaabab证明：∵,ab是正数，且ab，∴要证abbaabab,只要证lg()lg()abbaabab,只要证lglglglgaabbbaab.(lglg)(lglg)aabbbaab=()(lglg)abab∵ab与lglgab同号，∴()(lglg)abab0(lglg)(lglg)0lglglglg,aabbbaabaabbbaab∴abbaabab证明3：∵0,0,abab且∴3232222aabaabab,3232222bbabbaab,∴32322222aabbbaabab,∴3322ababab注：综合法的思维特点是：执因索果.就是由已知的不等式及题设条件出发产生联想,大胆尝试,巧用已知不等式及不等式性质做适当变形，推导出要求证明的不等式.其逻辑关系是：12nABBBB.尝试时贵在联想.例1：已知ab,是正数，且ab，求证：ababab3322三.综合法:例2.如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则糖的质量分数为a/b.若在上述溶液中再添加mkg白糖,此时糖的质量分数增加到(a+m)/(b+m).将这个试试抽象为数学问题,并给出证明.证一：看书P22页证二：分析法例3：已知ab,,c都是正数，且不全相等，求证：abcbacacbcba6)()()(222222例4：已知1,,,,2121nnaaaRaaa且，求证：nnaaa2)1()1)(1(21例5.已知,,0,abc求证:222222abbccaabcabc≥.练习：书P25页：2（1）a,b,c0,求证：（ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc三.综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。在用基本不等式证明时要注意一正二定三相等的条件。222,,1122ababRababab定理2:23223,,,11133abcabcRacbabccab定理3:1。调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数2。等号当且仅当a=b=c时成立3。一正二定三相等22如果a，b∈R，那么a+b≥2ab，当且仅当a=b时等定理1：号成立。结论：如果abcR、、，那么333a+b+c≥3abc12,,,naaaR推广:12221212212111nnnnnaaanaaaanaaaaan12naaa当且仅当时取等号3333()33abcabcabcabc定理（绝对值三角形不等式）如果,ab是实数，则ababab≤≤注：当ab、为复数或向量时结论也成立.推论1（运用数学归纳法可得）：1212nnaaaaaa≤.推论2：如果abc、、是实数,那么acabbc≤,当且仅当()()0abbc≥时,等号成立.a,b同号右左边取“=”，a,b异号左右边取“=”当且仅当a1,a2,…,an≥0或a1,a2,…,an≤0取“=”假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫反证法.(正难则反)四.反证法:例、已知，求证：中至少有一个不小于。qpxxxf2)(|)3(||,)2(||,)1(|fff21如、求证:119sincos,sincos2为锐角五.构造函数法：构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法。证明:sincoscossincossin1cossincos1cossin1sin=cossin2cossin∵θ为锐角,∴0sicosn≤0.5又函数xxy1在（0,1）上单调递减，所以sicosn＝21时最小，即29cos1cossin1sin(),0,.1.[)xfxxx构造上增函数如六.放缩法：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得BB1，B1≤B2，…Bi≤A，再利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法。2(1)(1)2kkkkk12(1)2(1)nnnnn211111111(1)(1)1nnnnnnnnn1111112!3!!21321kkk上节已讲例11.定义数列如下：Nnaaaannn,1,2211,证明：（1）对于Nn恒有nnaa1成立。（2）当Nnn且2，有11211aaaaannn（3）11112112006212006aaa。解：（1）比差法或用数学归纳法证。)1(11nnnaaa先求和再放缩（2）由121nnnaaa得：)1(11nnnaaa)1(1112aaa……)1(111nnnaaa以上各式两边分别相乘得：)1(111211aaaaaannn，又21a11211aaaaannn（3）要证不等式11112112006212006aaa，)1(11nnnaaannnaaa111111111111nnnaaa200621111aaa)1111()1111()1111(200720063221aaaaaa111120071aa20062111aaa1，2006200612006212aaaa200620062121111aaa七.导数法：移项，让一边为0，把其中一个字母作为变量，其它当常数，通过求导求出最小值与0比较即可证。例6、设x-2,n*N比较（1+x）n与1+nx大小n=1相等；n大于等于2，当x0增，0x-2,导数小于0，为减，所以最小f(0)八。数学归纳法：格式问题呵大试卷中：对于任意大于1的正整数n，都有lnnn－11n.九.换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略.主要是三角换元和均值换元。例7(1)设。yx，yxyx值并求此时的的最大值求,,191622三角换元（2）设，且，求证：；Ryx,122yx2|2|22yxyx（1）设1|r|,cos,sin且ryrx则|sincossin2cos||2|22222ryxyx=2|)42sin(|2|2sin2cos|22rr。如、已知，求证：都属于5zyx9222zyxzyx,,]37,1[10。“Δ”法。【证明】yxz5，代入9222zyx中得：085)5(22yyxyx∵Rx，∴△≥0，即0)85(4)5(22yyy解得371y。同理可证x∈]37,1[，z∈]37,1[。变式：设且求证：1,1222cbacbacba031c因为ccabbacba212,1222所以，而2221cba所以ccab2，所以a，b为方程0)1(22ccxcx（1）的二实根，cba，故方程（1）有均大于c的二不等实根。记ccxcxxf22)1()(，则0)(,21,0cfcc解得031c。如：（1）正数x,y满足x+2y=1,则改为x+2y=5又如何？（2）._____11的最小值为yx.________cos3sin122的最小值xx11。逆代法例8。设数列na满足：11a，且当nN时，3211(1)1nnnnaaaa⑴比较na与1na的大小，并证明你的结论⑵若2211(1)nnnnabaa，Nn，证：102.nkkb例9已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n(I)证明niAim＜miAin；(2)证明(1+m)n(1+n)m．先放缩再求和1。（1）提示：比差（2）先证，即得左边不等式0nb2221112221111112111()()1(1)2()2()112()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaabaaaaaaaaaaaaaaaaa即可得右边不等式解：（Ⅰ）由于3211(1)1nnnnaaaa，则321211nnnnaaaa，∴2322122213()11240111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa，∴1nnaa（Ⅱ）由于2211(1)nnnnabaa，由（Ⅰ）1nnaa，则2211nnaa，22110nnaa，而1110nnaaa，则0nb，∴1210.nknkbbbb又2221111122221111()()2()1(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabaaaaaaaa∴112()nnnnnaabaa，1112()nnnbaa1122311111112[()()()]nkknnbaaaaaa