圆压轴八大模型题

圆压轴题八大模型题（一）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型1弧中点的运用在⊙O中，点C是⌒AD的中点，CE⊥AB于点E.（1）在图1中，你会发现这些结论吗？①AP＝CP＝FP；②CH＝AD；②AC2＝AP·AD＝CF·CB＝AE·AB.（2）在图2中，你能找出所有与△ABC相似的三角形吗？【分析】(1)①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：∠CAD＝∠B＝∠ACE;∠PCF＝∠PFC,所以AP＝CP＝FP.(1)②由垂径定理和弧中点的性质得，⌒DC＝⌒AC＝⌒AH,再由弧叠加得：⌒CH＝⌒AD,所以CH＝AD.(1)③由共边角相似易证：△ACE∽△ABC,△ACP∽△ADC,△ACF∽△BCA,进而得AC2＝AEAB;AC2＝APAD;AC2＝CFCB;(2)垂径定理的推论得：C0⊥AD,易证：Rt△ABC∽Rt△ACE∽Rt△CBE∽Rt△ACF∽Rt△BDF∽Rt△ACG∽Rt△CGF.此外还有Rt△APE∽Rt△AOG∽Rt△ABD∽Rt△CPG.运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.建议：将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。【典例】（2018·湖南永州）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．（图1）（图2）【分析】（1）延长CD与圆相交，由垂径定理得到＝，再由＝得到＝＝，等弧所对的角相等，等角对等边。（2）由垂径定理的推论得OC⊥BE，再由锐角三角函数得到边BH、OH的长度，由对应边成比例得BE∥CM，由∠MCO＝∠BHO＝90°证得结论。证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图，∵CD⊥AB，∴＝，∵＝，∴＝，∴∠CBE＝∠GCB，∴CF＝BF；（2）连接OC交BE于H，如图，∵＝，∴OC⊥BE，在Rt△OBH中，cos∠OBH＝＝，∴BH＝×6＝，OH＝＝，∵＝＝，＝＝，∴＝，而∠HOB＝∠COM，∴△OHB∽△OCM，∴∠OCM＝∠OHB＝90°，∴OC⊥CM，∴直线CM是⊙O的切线．【点拔】弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键，要善于分解图形。（图1-1）（图4）【变式运用】1.（2018·四川宜宾）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若＝，则＝．（）2.（2010·泸州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC。(1)求证：AE⊥DE；(2)设以AD为直径的半圆交AB于F，连接DF交AE于G，已知CD＝5，AE＝8，求FGAF值。3.（2012·泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是AD的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。(1)求证：P是线段AQ的中点；(2)若⊙O的半径为5，AQ＝，求弦CE的长。4．（2014•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA．（1）求证：BC＝CD；（图1-2）（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长．5．（2015•泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AE＝6，CD＝5，求OF的长．6.如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上的两点，AB＝13，AC＝5.(1)如图①，若P是弧AB的中点，求PA的长；(2)如图②，若P是弧BC的中点，求PA的长.7.如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．圆压轴题八大模型题（二）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型2切割线互垂在Rt△ABC中，点E是斜边AB上一点，以EB为直径的⊙O与AC相切于点D，与BC相交于点F.【分析】(1)在Rt△ADO中，(10+r)2=r2+202,得r=15.(2)由DO∥BC,得DOAOBCAB,∴402440rr得：r=15.(3)在Rt△ADO中，AD=22(10)rr，DO=r，AO=10+r，由DO∥BC，ADAOACAB得，r=15.(4)连结DO,DO=BO,∠ODB=∠OBD;由DO∥BC得∠CBD=∠ODB,∴∠ABD=∠CBD.(5)由Rt△BCD∽Rt△BDE得BD2=BCBE.(6)由△ADE∽△ABD得AD2=AEAB.【分析】(7)由∠EBD=∠FBD得DE=DF,∴DE=DF,又∠DFC=∠DEG,∠C=∠DGE=90°得△DCF≌△DGE.(1)AD=20,AE=10,求r;(2)AB=40,BC=24,求r.(3)AC=32，AE=10，求r.(4)∠ABD=∠CBD.(5)DB2=BCBE;(6)AD2=AEAB.(7)△DCF≌△DGE;(8)DF2=CFBE;(9)AG:AC=1:2,BD=10.求r.(10)DC=12,CF=6,求r和BF.(11)DC=12,CF=6,求CO上任意线段的长.图(1)图(2)图(3)图(4)图(5)图(6)(8)由△CDF∽△DBE得CFDEDFBE,且DE=DF,∴DF2=CFBE.(9)由△ADG∽△ABC得AG:AC=DG:BC=1:2,设DG=k,则DC=DG=k,BC=2k,DB=5k=10,∴k=25,∴BG=BC=2k=45,由Rt△DBG∽Rt△EBD得DB2=GBEB,∴102=45EB,∴EB=55,r=552.(10)∠C=∠CFG=∠CDG=90°得矩形DGFC,∴DG=CF=6,DC=GF=GE=12,∴在Rt△GEO中，GO2+EG2=EO2,∴(r-6)2+122=r2.∴r=15.GO=15-6=9，由中位线定理得BF=2GO=18.(11)如图，在Rt△DCO中，CO=221215=341，GO=15-6=9,由D0∥CB得,6293CFCPGOOP,∴PO=35CO=9415.同理可得图中CO上其它线段的长度.【典例】（2018·四川成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x,y的代数式表示线段AD的长；（3）若BE＝8，sinB＝513，求DG的长.【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；（2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF＝sinB，进而求出DG的长即可．解：（1）证明：如图，连接OD，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∴BC为圆O的切线；（图2-1）图b图a（2）连接DF，由（1）知BC为⊙O的切线，∴∠FDC＝∠DAF，∴∠CDA＝∠CFD，∴∠AFD＝∠ADB，∵∠BAD＝∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴ABADADAF，即，AD2＝AB·AF＝xy，则AD＝xy（3）连接EF，在Rt△BOD中，sinB＝513ODOB，设圆的半径为r，可得5813rr，解得：r＝5，∴AE＝10，AB＝18，∵AE是直径，∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∴sin∠AEF＝513AFAE，∴AF＝AE•sin∠AEF＝10×5501313，∵AF∥OD，∴501013513AGAFDGOD，即DG＝1323AD，∵AD＝503013181313ABAF，则DG＝1330133013231323.【点拨】利用直角三角形、相似三角形的边与边之间的和差倍分关系，勾股定理的关系，比例线段的关系等设元建方程求线段的长度；因此善于分解图形，由线与角之间关系，构建基本图形模型，如母子型相似，共边角相似，8字型相似，A字型相似等。当出现求线段的一部分，还要考虑用局部占总体的比例来求解。【变式运用】1.（2018泸州）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF．（1）求证：CO2＝OF•OP；（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH的长．2.（2018·云南昆明）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半径．3.（2018·江苏苏州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC．（1）求证：CD＝CE；（2）若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．圆压轴题八大模型题（三）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型3双切线组合径在直角边——直径在直角三角形的直角边上.Rt△PBC中，∠ABC＝90°，Rt△PBC的直角边PB上有一点A，以线段AB为直径的⊙O与斜边相切于点D.【分析】(1)由PC=226810,△POD∽△PCB得DOPOBCPC，∴8610rr，∴r=3.(2)设BC=CD=x，在Rt△PBC中，82+x2=(4+x)2,得BC=x=6.(3)在Rt△PDO中，42+r2=(2+r)2,解得r=3.(4)由△PDA∽△PBD得：PD2=PAPB.(5)由△PDA∽△PBD得1tan2PDPAADPBPDDB，PB=8,∴PD=4,PA=2,AB=6.设AD=x,DB=2x,在Rt△ADB中，x2+(2x)2=62,∴AD=x=655.(6)由∠DEC=∠ADB=90°得OC∥AD.(7)由AB=2,则OB=1,又BC=2OC=2