泰勒公式在证明不等式中的几个应用

1泰勒公式在证明不等式中的几个应用摘要：泰勒公式作为一种重要的数学工具，无论对科研还是在证明、计算等方面，它都起着很重要的作用。特别在高等数学范畴内，灵活运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩等是解决不等式证明问题的常用方法与思想。本文主要通过对各类典型不等式证明问题的分析处理，归纳了用泰勒公式来证明有关定积分不等式问题、含有初等函数与幂函数的不等式和一般不等式问题，以及泰勒公式在一元函数、二元函数不等式中的推广、证明与应用.关键词：泰勒公式；偏导数；不等式引言泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n次多项式()npx,去逼近一个已知的函数fx，而且这种逼近有很好的性质：()npx与fx在x点具有相同的直到阶n的导数]31[.所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.文献[3-6]介绍了运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法.1泰勒公式知识的回顾：定理1[1]设函数fx在点0x处的某邻域内具有1n阶导数，则对该邻域内异于0x的任意点x，在0x与x之间至少存在一点，使得：fx=0fx+0'fx0(x-x)+0f''x2!02(x-x)++0nfxn!0n(x-x)+nRx，其中nRx(1)(1)!nfn称为余项，上式称为n阶泰勒公式；若0x0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，即fx=0f+0'fx+02!f''2x++0!nfnnx+0()nx.2泰勒公式在证明不等式中的应用不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系即他们之间的大小关系。不等式的内容也极其丰富，证明方法很多，而泰勒公式在证明不等式问题中起着举足轻重的作用。2.1泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用2对于被积函数具有二阶或二阶以上连续可导，且又知最高阶数符号的命题.通过作辅助函数Fxxtaftd，将Fx在所需点处（一般根据右边表达式确定展开点）进行泰勒展开或直接写出fx的泰勒展式，然后根据题意对展开式（余项）作适当处理（一般是利用介值定理或放缩技巧）。例1[2]设fx在,ab上单调增加，且f''x＞0，证明：bafxdx＜ba2fafb.题设条件告知fx二阶可导且f''x＞0，由于高阶导数的存在，提示我们尝试使用泰勒公式.因为不等式左边被积函数是fx，右边有fa、fb，我们不妨对t,ab，将ft在点x处展开为泰勒公式，再令,tatb，进而找出fx与fa、fb的关系.证明对t,ab,ft在点x处的一阶泰勒展开式为：ft=fx+'fx-tx+2!f''2-tx，其中在t与x之间，∵f''＞0,∴ft＞fx+'fx-tx1将,tatb，分别代入〈1〉并相加，得fafb＞2fx+ab'fx－2x'fx2对〈2〉的两边在,ab上积分，则fafbba＞2bafxdx+abbafxdx－2b'axfxdxfafbba＞2bafxdx+abfxba—2bbaaxfxfxdx2fafbba＞4bafxdx故bafxdx＜ba2fafb.在证明有关定积分不等式问题时，有时还需构造函数，然后通过泰勒公式与介值定理的结合使用，可以在不等式证明问题中达到事半功倍结果明朗化的效果.3例2[3]设fx在,ab上二阶连续可微，其中a＜0＜b，则在该区间上存在一个，使得：bafxdx=()bfb—()afa—12![2b'fb—2'afa]+13!33(b-a)f''.题设条件告知fx二阶可微，且题中含有f''，提示可用泰勒公式证明.又因为含有f''，可构造函数Fxxtaftd展开为二阶泰勒公式，注意证明过程中与介值定理的结合使用.证明令Fxxtaftd，将Fx在xt(a≤t≤b)处展成二阶泰勒公式：Fx()Ft+'()Ftxt+12!''()Ft2xt+13!'''()F3xt,在x与t之间，即Fx()Ft+ftxt+12!'ft2xt+13!''f3xt〈3〉令0x,ta则有〈3〉可得：(0)F()Fa+fa（-a）+12!'fa2a+13!1''f3a〈4〉〈3〉－〈4〉得Fb—Fabfb—afa—221''2!bfbafa-21331''''3!bfaf令minm｛1''f,2''f｝,maxM｛1''f,2''f｝,并且3a＞00a则有33mba≤2133''''bfaf≤M(33ba),因为''fx在,ab上连续，由介值定理知存在，使得213333''''bfafba''f所以bafxdx=()bfb—()afa—12![2b'fb—2'afa]+13!33(b-a)f''.泰勒公式不但在证明连续函数的不等式问题中起重要作用，同样在证明某一定点的不等式问题中也发挥着很大作用.例3[4]设其中函数()fx在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件()fx≤a，''()fx≤b，其中a，b都是非负数，c是（0，1）上任意一点，试证明：'()fc≤22ba.4由于()fx在[0，1]具有二阶导数，可考虑利用()fx在xc的一阶泰勒公式.证明由于()fx在[0，1]上具有二阶导数，()fx在xc的一阶泰勒公式:2()()()'()()()2!ffxfcfcxcxc5其中c+()xc,01，在5中令x=0,则有:21''()(0)()'()(0)(0)2!fffcfccc(01c1)在5中令x=1，则有:22''()(1)()'()(1)(1)2!fffcfccc(0c21)将上述两式相减,得22211(1)(0)'()''()(1)''()2!fffcfcfc于是22211'()(1)(0)''()(1)''()2!fcfffcfc≤221(1)(0)''()(1)2fffc211''()2fc≤22(1)2baacc，又因c(0,1)，22(1)cc≤1，故'()fc≤22ba.从上述几例可以看出，使用泰勒公式去证明关于定积分不等式问题，我们可以遵循以下几个步骤：〈1〉高阶（二阶及二阶以上）导数的存在是提示使用泰勒公式最明显的特征之一；（2）找一个函数()fx，选一个展开点0x，然后写出()fx在0x处的泰勒公式；（3）对ab(,)进行放缩或或与介值定理结合使用.2.2泰勒公式在证明关于初等函数和幂函数不等式中的应用对于欲证不等式中含有初等函数、三角函数、超越函数与幂函数结合的证明问题，要充分利用泰勒公式在00x时的麦克劳林展开式，选取适当的基本函数麦克劳林的的展开式，对题目进行分析、取材、构造利用.例4[1]证明不等式：316xx≤sinx.不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数，两边无明显的大小关系。这时我们可用sinx在00x的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者的大小关系。证明31()sin6fxxxx,(0)0f,21'()cos12fxxx,'(0)0f,''()sinfxxx,''(0)0f,'''()cos1fxx,'''()cos1f5当3n时，()fx的泰勒展式为：331()000(1cos)()3!fxxxox()fx331(1cos)()6xxox≥0(x≥0,≤x,0＜＜1)所以x≥0,，有316xx≤sinx.在含有无理函数与幂函数结合的不等式证明问题中，它们之间没有明显的大小关系。如果用常规方法（放缩法、比较法，代换法等），我们很难比较它们之间的大小关系，但这时用泰勒公式却能轻易解答.例5[1]证明不等式：2128xx＜1x，（x＞0）.对于此题，若我们对不等式两边同时平方，虽可以去掉根号，但x的次数却提高了2次，这还是难以比较他们之间的大小关系，但若用泰勒公式却可以轻易解答.证明设()1fxx，则(0)1f,121'()(1)2fxx,1'(0)2f,321''()(1)4fxx,1''(0)4f,523'''()(1)8fxx代入0x=0的二阶泰勒公式，有1x=1+2x-28x+5331(1)16xx(0＜＜1)∵x＞0,∴531(1)16x3x＞0所以2128xx＜1x（x＞0）.对于含有超越函数lnx与幂函数结合的不等式证明，由于我们接触很少，看不出它们之间的大小关系，更不知如何去分析比较，但这时泰勒公式将是对付这类题的最有效武器.例6[5]证明不等式：2-2xx＜ln1x＜x，其中x＞0.证明令fxln1x,由一阶麦克劳林公式知：ln1xln1+110x+12!221(1)x，((0,)x)所以ln1x＜x,再有二阶麦克劳林公式知：6ln1xln1+110x+12!221(10)x+13!331(1)x,其中(0,)x从而ln1x＞2-2xx，故2-2xx＜ln1x＜x，（x＞0）.在不等式的证明问题中，若题目中出现了一阶导数、二阶导数、初等函数、三角函数或超越函数等与幂函数结合时，可优先考虑泰勒公式在0x=0时的麦克劳林表达式。当然能做好此类题的前提条件是要对一些基本函数的麦克劳林表达式熟悉.2.3泰勒公式在证明一般不等式中的应用对题设条件中函数()fx具有二阶和二阶以上导数，且最高阶导数的大小或上下界可知的命题，我们一般通过以下三个步骤证明：〔1〕写出比最高阶导数低一阶的泰勒展开式；〔2〕恰当选择等式两边x与0x（不要认为展开点一定以0x为最合适，有时以x为佳）；〔3〕根据所给的最高阶导数的大小或边界对展开式进行放大或缩小.例7[8]设()fx在,ab上连续，在（a，b）内可导，且有'()fx≤M，()fa0。试证：M≥22()()bafxdxba.题目已经告知()fx连续可导，且最高阶导数有界，故可用泰勒公式证之.证明由泰勒公式及()fa0，有()fx()fx－()fa'()f()xa，（a，b）.由于'()fx≤M，可得()fx≤M()ba，于是ba()fxdx≤Mba()xadx12M2()xaba2M2()ba()bafxdx≤()bafxdx故()bafxdx≤2M2()ba，即M≥22()()bafxdxba.但有些题目却从反方向来考查泰勒公式在证明一般不等式问题时，函数所具备的最高阶导数的有界性，即不给出最高阶导数的边界，让我们通过题目条件去证明最高阶导数的边界.例8[1]证明：若函数()fx在,ab上存在二阶导数，且'()'()fafb0，则在7（a，b）内存