圆压轴八大模型题(2)-切割线互垂

圆压轴题八大模型题（二）泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型2切割线互垂在Rt△ABC中，点E是斜边AB上一点，以EB为直径的⊙O与AC相切于点D，与BC相交于点F.【分析】(1)在Rt△ADO中，(10+r)2=r2+202,得r=15.(2)由DO∥BC,得DOAOBCAB,∴402440rr得：r=15.(3)在Rt△ADO中，AD=22(10)rr，DO=r，AO=10+r，由DO∥BC，ADAOACAB得，r=15.(4)连结DO,DO=BO,∠ODB=∠OBD;由DO∥BC得∠CBD=∠ODB,∴∠ABD=∠CBD.(5)由Rt△BCD∽Rt△BDE得BD2=BCBE.(6)由△ADE∽△ABD得AD2=AEAB.(1)AD=20,AE=10,求r;(2)AB=40,BC=24,求r.OFEDCBA(3)AC=32，AE=10，求r.(4)∠ABD=∠CBD.(5)DB2=BCBE;(6)AD2=AEAB.ABCDEFOOFEDCBA(7)△DCF≌△DGE;(8)DF2=CFBE;(9)AG:AC=1:2,BD=10.求r.GOFEDCBA(10)DC=12,CF=6,求r和BF.OFEDCBA(11)DC=12,CF=6,求CO上任意线段的长.图(1)图(2)图(3)图(4)图(5)图(6)ABCGEOFD【分析】(7)由∠EBD=∠FBD得DE=DF,∴DE=DF,又∠DFC=∠DEG,∠C=∠DGE=90°得△DCF≌△DGE.(8)由△CDF∽△DBE得CFDEDFBE,且DE=DF,∴DF2=CFBE.(9)由△ADG∽△ABC得AG:AC=DG:BC=1:2,设DG=k,则DC=DG=k,BC=2k,DB=5k=10,∴k=25,∴BG=BC=2k=45,由Rt△DBG∽Rt△EBD得DB2=GBEB,∴102=45EB,∴EB=55,r=552.(10)∠C=∠CFG=∠CDG=90°得矩形DGFC,∴DG=CF=6,DC=GF=GE=12,∴在Rt△GEO中，GO2+EG2=EO2,∴(r-6)2+122=r2.∴r=15.GO=15-6=9，由中位线定理得BF=2GO=18.(11)如图，在Rt△DCO中，CO=221215=341，GO=15-6=9,由D0∥CB得,6293CFCPGOOP,∴PO=35CO=9415.同理可得图中CO上其它线段的长度.【典例】（2018·四川成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x,y的代数式表示线段AD的长；（3）若BE＝8，sinB＝513，求DG的长.【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；（2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF＝sinB，进而求出DG的长即可．解：（1）证明：如图，连接OD，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，（图2-1）AOGFEDCB图bPABCGEOFD图a∴BC为圆O的切线；（2）连接DF，由（1）知BC为⊙O的切线，∴∠FDC＝∠DAF，∴∠CDA＝∠CFD，∴∠AFD＝∠ADB，∵∠BAD＝∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴ABADADAF，即，AD2＝AB·AF＝xy，则AD＝xy（3）连接EF，在Rt△BOD中，sinB＝513ODOB，设圆的半径为r，可得5813rr，解得：r＝5，∴AE＝10，AB＝18，∵AE是直径，∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∴sin∠AEF＝513AFAE，∴AF＝AE•sin∠AEF＝10×5501313，∵AF∥OD，∴501013513AGAFDGOD，即DG＝1323AD，∵AD＝503013181313ABAF，则DG＝1330133013231323.【点拨】利用直角三角形、相似三角形的边与边之间的和差倍分关系，勾股定理的关系，比例线段的关系等设元建方程求线段的长度；因此善于分解图形，由线与角之间关系，构建基本图形模型，如母子型相似，共边角相似，8字型相似，A字型相似等。当出现求线段的一部分，还要考虑用局部占总体的比例来求解。【变式运用】1.（2018泸州）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF．（1）求证：CO2＝OF•OP；（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH的长．解：（1）证明：∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∵AB是直径，EF＝FD，∴AB⊥ED，∴∠OFD＝∠OCP＝90°，∵∠FOD＝∠COP，∴△OFD∽△OCP，∴＝，∵OD＝OC，∴OC2＝OF•OP．（2）解：如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC＝OB＝r．在Rt△POC中，∵PC2＋OC2＝PO2，∴（4）2＋r2＝（r＋4）2，∴r＝2，∵CM＝＝，∵DC是直径，∴∠CEF＝∠EFM＝∠CMF＝90°，∴四边形EFMC是矩形，∴EF＝CM＝，在Rt△OEF中，OF＝＝，∴EC＝2OF＝，∵EC∥OB，∴＝＝，∵GH∥CM，∴＝＝，∴GH＝．2.（2018·云南昆明）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半径．解：（1）证明：连接OC，如图，∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵OA＝OC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OC∥AD，∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥DE，图c（图2-2）（图2-3）∴AD⊥ED；（2）解：OC交BF于H，如图，∵AB为直径，∴∠AFB＝90°，易得四边形CDFH为矩形，∴FH＝CD＝4，∠CHF＝90°，∴OH⊥BF，∴BH＝FH＝4，∴BF＝8，在Rt△ABF中，AB＝＝＝2，∴⊙O的半径为．3.（2018·江苏苏州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC．（1）求证：CD＝CE；（2）若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．证明：（1）连接AC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴∠DCO＝∠D＝90°，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO，∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°，在△CDA和△CEA中，∵，∴△CDA≌△CEA（AAS），∴CD＝CE；（2）证法一：连接BC，∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA＝∠ECA，∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG，∴∠ECA＝∠ECG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG，∵∠D＝90°，∴∠DCF＋∠F＝90°，∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°，（图2-4）图e图d∴∠AOC＝2∠F＝45°，∴△CEO是等腰直角三角形；证法二：设∠F＝x，则∠AOC＝2∠F＝2x，∵AD∥OC，∴∠OAF＝∠AOC＝2x，∴∠CGA＝∠OAF＋∠F＝3x，∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG，∴∠EAC＝∠CGA，∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG，∴∠EAC＝∠CGA，∴∠DAC＝∠EAC＝∠CGA＝3x，∵∠DAC＋∠EAC＋∠OAF＝180°，∴3x＋3x＋2x＝180，x＝22.5°，∴∠AOC＝2x＝45°，∴△CEO是等腰直角三角形．