圆压轴八大模型题(4)-圆内接等边三角形

圆压轴题八大模型题（四）泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都是在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性帮助考生解决问题。类型4圆内接等边三角形如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点.(1)求证：PA＝PB＋PC；(2)设PA、BC交于点M，①若BP＝4，PC＝2，求CM的长度.②若AB＝4，PC＝2，求CM的长度.【分析】(1)证明：连结CD．在PA上截取PD=PC，证得△ACD≌△BCP，∴AD=PB，又DP=PC，因此PA=PB+PC.(2)①⊙O中△ABM∽△CPM,12PCMCABMA∴12PCMCABMA设MC=x，则AM=2x,MN=2-x，又AN=23,在Rt△AMN中，由勾股定理得CM=x=22133.(2)②过点C作CE⊥AP于E，过点A作AN⊥BC于点N.由（1）可得AP=BP+CP=4+2=6,Rt△PCE中PE=1,CE=3，则AE=5,AC=27,因此AB=AC=27,由（2）②可得CM=273.【典例】（2018·湖南常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延OPMCBA图1232-x2xx24NPMOCBAODPMCBA2727351E42OABCMPN图（1）图（2）图（3）长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD＝CF．【分析】（1）连结OA后，由∠OAC＝30°，BC∥AE得∠CAE＝∠BCA＝60°，因此∠OAE＝90°证得AE是⊙O的切线.（2）∠ADF＝∠ABC＝60°，且DF＝DA得等边△ADF，且△ABC也是等边三角形，可得△ADB≌△AFC，因此BD＝CF.【解答】证明：（1）连接OD，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵AD＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，即∠BAF＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF．【点拨】等边三角形的边等角等易构造三角形全等和相似，圆上一点与圆内接等边三角形三顶点的连线之间的关系探究，可以运用延长法与截短法；含60°角三角形，知两边求第三边；借相交弦或平行线得三角形相似，作等边三角形的高，借比例线段和勾股定理建方程求线段是关键。【变式运用】1.（2011·泸州）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．图4-1图a（1）求∠BPC的度数；（2）求证：PA＝PB＋PC；（3）设PA，BC交于点M，若AB＝4，PC＝2，求CM的长度．（1）解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形∴∠BPC＋∠BAC＝180°，∴∠BPC＝120°，（2）证明：连结CD．在PA上截取PD＝PC，∵AB＝AC＝BC，∴∠APB＝∠APC＝60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝∠ACB＝60°，CP＝CD，∴∠PCD﹣∠DCM＝∠ACB﹣∠DCM，即∠ACD＝∠BCP，在△ACD和△BCP中，ACBCACDBCPCPCD，∴△ACD≌△BCP，∴AD＝PB，∵PA＝AD＋DP，DP＝PC，∴PA＝PB＋PC；（3）解：∵△PCD和△ABC都为等边三角形，∴∠MDC＝∠ACM＝60°，CD＝PC，又∵∠DMC＝∠CMA，∴△CDM∽△ACM，AB＝4，PC＝2，∴CM：AM＝DM：MC＝DC：AC＝PC：AC＝2：4＝1：2，设DM＝x，则CM＝2x，BM＝4﹣2x，PM＝2﹣x，AM＝4x，AD＝AM﹣DM＝4x﹣x＝3x∵∠BMP＝∠CMA，∠PBM＝∠CAM，∴△BPM∽△ACM，∴BP：AC＝PM：CM，即3x：4＝（2﹣x）：2x，解得x＝1133（舍去负号），则x＝1133，∴CM＝22133．2.如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.（1）求证：FB＝FC；（2）FB2＝FA·FD；（3）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长.证明：（1）∵AD平分∠EAC，图b图4-2∴∠EAD＝∠DAC.∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC.∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.（2）∵∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，∴△FBA∽△FDB，∴FBFAFDFB∴FB2＝FA·FD.（3）解：∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝21∠EAC＝60°.∵四边形ACBF内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC＝60°，又FB＝FC，∴△BFC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BFC＝60°，∴∠D＝30°.∵BC＝6，∴AC＝23，∴AD＝2AC＝43．3.（2016·德阳）如图，点D是等边三角形ABC外接圆上一点.M是BD上一点，且满足DM＝DC，点E是AC与BD的交点.（1）求证：CM//AD；（2）如果AD＝1，CM＝2.求线段BD的长及△BCE的面积.解：（1）∵ABC是正三角形，∴⌒AB＝⌒BC,∴∠ADB＝∠BDC＝60°，又∵DM＝DC，∴CDM是等边三角形，即DM＝CM＝CD，∴∠DMC＝60°，∴∠ADB＝∠DMC＝60°，∴CM∥AD；（2）∵∠DAC＝∠DBC，∠BMC＝∠ADC＝120°，而AC＝BC，∴ADC≌BMC，∴BM＝AD＝1，∴BD＝BM＋MD＝1＋2＝3由（1）可得，ADE∽CME，而AD＝1，CM＝2，∴21MEDECEAECMAD又∵MD＝2，∴DE＝23，ME＝43，∵AECE＝12，且点E在线段AC上，∴AE＝13AC，∵∠BAC＝∠BDC＝60°，∠ABD＝∠ACD，∴ABE∽DCE，∴DCAB＝ECBE,∴341322ACAB,又∵AB＝AC，∴AB2＝7，即AB＝7＝BC,∵AD＝1,CM＝2,CM＝CD,∴AD:CD＝1:2,EDMCBA图4-3图4-4又∵∠ADE＝∠CDE＝60°，∴BD平分∠ADC，∴AE：CE＝AD：CD＝1：2，∴CE＝23AC，∴SBCE＝23×SABC＝23×34×(7)2＝763.