大学物理学(清华C5版)分章配套精品题目及答案(第四章)

第四章功和能【例题精讲】例4-1一个质点同时在几个力作用下的位移为：kjir654(SI)，其中一个力为恒力kjiF953(SI)，则此力在该位移过程中所作的功为A.-67JB.17JC.67JD.91J[C]例4-2质量为m的汽车，在水平面上沿x轴正方向运动，初始位置x0＝0，从静止开始加速，在其发动机的功率P维持不变、且不计阻力的条件下，证明：在时刻t其速度表达式为：mPt/2v。【证明】由P＝Fv及F＝ma，P＝mav代入taddvP=tmddvv由此得Pdt＝mvdv，两边积分，则有ttmtP00ddvv∴221vmPt∴mPt/2v例4-3质量m＝1kg的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为F＝3＋2x(SI)，那么，物体在开始运动的3m内，合力所作的功W＝；且x＝3m时，其速率v＝。18J6m/s例4-4一质量为m的质点在Oxy平面上运动，其位置矢量为jirtbtasincos(SI)式中a、b、是正值常量，且a＞b。(1)求质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的动能；(2)求质点所受的合外力F以及当质点从A点运动到B点的过程中F的分力xF作的功。解：(1)位矢jirtbtasincos(SI)taxcostbysintatxxsinddv，tbtycosddyv在A点(a，0)，1cost，0sintEKA=2222212121mbmmyxvv在B点(0，b)，0cost，1sintEKB=2222212121mammyxvv(2)jiFyxmama=jitmbtmasincos22由A→B020dcosdaaxxxtamxFW=022221damaxxm例4-5已知地球的半径为R，质量为M，现有一质量为m的物体，在离地面高度为2R处。以地球和物体为系统，若取地面为势能零点，则系统的引力势能为；若取无穷远处为势能零点，则系统的引力势能为。（G为万有引力常量）RGmM32RGmM3例4-6如图所示，小球沿固定的光滑的1/4圆弧从A点由静止开始下滑，圆弧半径为R，则小球在A点处的切向加速度at=，小球在B点处的法向加速度an=。g2g例4-7对于一个物体系来说，在下列的哪种情况下系统的机械能守恒？A.合外力为0B.合外力不作功C.外力和非保守内力都不作功D.外力和保守内力都不作功[C]例4-8一物体与斜面间的摩擦系数=0.20，斜面固定，倾角=45°。现给予物体以初速率v0=10m/s，使它沿斜面向上滑，如图所示。求：物体能够上升的最大高度h；该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v。【解】(1)根据功能原理，有mghmfs2021vsincossinmghNhfsmghmmgh2021ctgv)ctg1(220ghv=4.5m(2)根据功能原理有fsmmgh221vctg212mghmghmv21)ctg1(2ghv=8.16m/s例4-9如图所示，在与水平面成角的光滑斜面上放一质量为m的物体，此物体系于一劲度系数为k的轻弹簧的一端，弹簧的另一端固定．设物体最初静止．今使物体获得一沿斜面向下的速度，设起始动能为EK0，试求物体在弹簧的伸长达到x时的动能。【解】如图所示，设l为弹簧的原长，O处为弹性势能零点；x0为挂上物体后的伸长量，O＇为物体的平衡位置；取弹簧伸长时物体所达到的O处为重力势能的零点．由题意得物体在O＇处的机械能为：sin)(2102001xxmgkxEEK在O处，其机械能为：2222121kxmEv由于只有保守力做功，系统机械能守恒，即：2202002121sin)(21kxmxxmgkxEKv在平衡位置有：mgsin=kx0∴kmgxsin0OOx0xOl例4-9图(b)mk例4-9图(a)h0v例4-8图ABR例4-6图代入上式整理得：kmgkxmgxEmK2)sin(21sin212202v例4-10假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的(A)角动量守恒，动能也守恒．(B)角动量守恒，动能不守恒．(C)角动量不守恒，动能守恒．(D)角动量守恒，动量也守恒．[A]例4-11如图所示，质量M=2.0kg的笼子，用轻弹簧悬挂起来，静止在平衡位置，弹簧伸长x0=0.10m，今有m=2.0kg的油灰由距离笼底高h=0.30m处自由落到笼底上，求笼子向下移动的最大距离。【解】油灰与笼底碰前的速度gh2v0/xMgk碰撞后油灰与笼共同运动的速度为V，应用动量守恒定律VMmm)(v①油灰与笼一起向下运动，机械能守恒，下移最大距离x，则xgmMkxVmMxxk)(21)(21)(2120220②联立解得：3.0)(20222020mMMhxmMxmxMmxmh例4-11图【习题精练】4-1质量为10kg的质点在力F＝(7＋5x)i(SI)的作用下沿x轴从静止开始作直线运动，从x＝0到x＝10m的过程中，力F所做的功为，质点末态的速度为。320J8m/s4-2质量m＝2kg的质点在力itF12(SI)的作用下，从静止出发沿x轴正向作直线运动，前三秒内该力作用的冲量大小为；前三秒内该力所作的功为。54N·s729J4-3当重物减速下降时，合外力对它做的功A.为正值B.为负值C.为零D.先为正值，后为负值[B]4-4速度为v的子弹，打穿一块不动的木板后速度变为零，设木板对子弹的阻力是恒定的。那么，当子弹射入木板的深度等于其厚度的一半时，子弹的速度是A.v41B.v31C.v21D.v21[D]4-5对功的概念以下几种说法中正确的是（1）保守力作正功时，系统内相应的势能增加（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零（3）作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零A.（1）、（2）是正确的B.（2）、（3）是正确的C.只有（2）是正确的D.只有（3）是正确的[C]4-6劲度系数为k的弹簧，上端固定，下端悬挂重物，当弹簧伸长x0，重物在O处达到平衡，取重物在O处时各种势能均为零，则当弹簧长度为原长时，系统的重力势能为；系统的弹性势能为。（答案用k和x0表示）20kx2021kx4-7一人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近地点为A，远地点为B，A、B两点距地心分别为r1、r2，设卫星质量为m，地球质量为M，万有引力常量为G，则卫星在A、B两点处的万有引力势能之差EPBEPA=；卫星在A、B两点的动能之差EPB－EPA＝。2112rrrrGMm2121rrrrGMm4-8有人把一物体由静止开始举高h时，物体获得速度v，在此过程中，若人对物体作功为W，则有mghmW2/2v，这可以理解为“合外力对物体所作的功等于物体动能的增量与势能的增量之和”吗？为什么？【答】W并不是合外力所作的功。因为物体所受的力除了人的作用力F外，还有重力P＝mg，根据动能定理，合外力所作的功等于物体动能的增量，则可写为221vmmghFh即021)(2vmhPF所以mghmFhW221vW是人对物体所作的功，而不是物体所受合外力所作的功。ABr1r2地心习题3-5图4-9假设在最好的刹车情况下，汽车轮子不在路面上滚动，而仅有滑动，试从功、能的观点出发，证明质量为m的汽车以速率v沿着水平道路运动时，刹车后，要它停下来所需要的最短距离为gSk22v（μk为车轮与路面之间的滑动摩擦系数）【证明】由动能定理2210vmSfr而mgfkr221vmmgSkgSk22v4-10如图所示，劲度系数为k的弹簧，一端固定于墙上，另一端与一质量为m1的木块A相接，A又与质量为m2的木块B用不可伸长的轻绳相连，整个系统放在光滑水平面上．现在以不变的力F向右拉m2，使m2自平衡位置由静止开始运动，求木块A、B系统所受合外力为零时的速度，以及此过程中绳的拉力T对m2所作的功。【解】设弹簧伸长x1时，木块A、B所受合外力为零，即有Fkx1=0x1=F/k设绳的拉力T对m2所作的功为WT2，恒力F对m2所作的功为为WF，木块A、B系统所受合外力为零时的速度为v，弹簧在此过程中所作的功为WK。对m1、m2系统，由动能定理有WF＋WK＝221)(21vmm①对m2有WF＋WT2＝2221vm②而WK＝kFkx221221，WF＝Fx1＝kF2代入①式可求得)(21mmkFv由②式可得FTWW22221vm])(21[2122mmmkF)(2)2(21212mmkmmF4-11人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A和B．用L和EK分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有(A)LALB，EKAEkB(B)LA=LB，EKAEKB(C)LA=LB，EKAEKB(D)LALB，EKAEKB[C]4-12质量m的小球，以水平速度v0与光滑桌面上质量为M的静止斜劈作完全弹性碰撞后竖直弹起，则碰后斜劈的运动速度值v=_____________；小球上升的高度h=_____________。0vMm20v2MgmMmMm0v习题4-12图m1m2AFkxTB习题4-10图4-13如图所示，光滑斜面与水平面的夹角为=30°，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M=1.0kg的木块，则木块沿斜面向下滑动。当木块向下滑x=30cm时，恰好有一质量m=0.01kg的子弹，沿水平方向以速度v=200m/s射中木块并陷在其中．设弹簧的劲度系数为k=25N/m．求子弹打入木块后它们的共同速度。【解】(1)木块下滑过程中，以木块、弹簧、地球为系统机械能守恒．选弹簧原长处为弹性势能和重力势能的零点，以v1表示木块下滑x距离时的速度，则0sin2121212MgxMkxv求得Mkxgx21sin2v0.83m/s方向沿斜面向下．(2)以子弹和木块为系统，在子弹射入木块过程中外力沿斜面方向的分力可略去不计，沿斜面方向可应用动量守恒定律．以v2表示子弹射入木块后的共同速度，则有：21)(cosvvvmMmM解出89.0)(cos12mMmMvvvm/s负号表示此速度的方向沿斜面向上．4-14质量为M的很短的试管，用长度为L、质量可忽略的硬直杆悬挂如图，试管内盛有乙醚液滴，管口用质量为m的软木塞封闭．当加热试管时软木塞在乙醚蒸汽的压力下飞出．要使试管绕悬点O在竖直平面内作一完整的圆运动，那么软木塞飞出的最小速度为多少？若将硬直杆换成细绳，结果如何？【解】设v1为软木塞飞出的最小速率，软木塞和试管系统水平方向动量守恒，试管速度的大小为v2,则012vvmMmM/21vv(1)当用硬直杆悬挂时，M到达最高点时速度须略大于零，由机械能守恒LMgM22122vgL42vmgLM/21v(2)若悬线为轻绳，则试管到达最高点的速度v须满足LMMg/22v即gLv由机械能守恒MgLMLMgM252122122vv2应有gL52v故mgLM/51vxkm习题4-13图MmOL习题4-14图