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等差数列前n项和性质(1)一.知识点回顾1(1)2nnndSna1()2nnnaaS1.等差数列的前n项和公式:142.2011a94=1,+=0,k=___nkaaa变式(.广东高考)等差数列的前项和等于前项和,若则n9456789774an,0++++=0,5a=0,=0,a+=0,=10nkSSaaaaaaak解:设等差数列的前项和为S则,即即故而故等差数列前n项和的性质(1)11?,1,2nnSnSSnnnnnn已知等差数列的前n项和S,如何求a利用S与a的关系:a=nnSn2变式:设数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Snn)(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上.求数列{an}的通项公式;解:(1)依题意得,Snn=3n-2,即Sn=3n2-2n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;当n=1时,a1=S1=3×12-2×1=6×1-5适合,所以an=6n-5(n∈N*).返回3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且lg(Sn+1)=n+1,求通项公式.解:因为lg(Sn+1)=n+1,所以Sn+1=10n+1.即Sn=10n+1-1.当n=1时,a1=S1=102-1=99,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(10n+1-1)-(10n-1)=9×10n,从而,数列{an}的通项公式为:an=99n=19×10nn≥2.等差数列前n项和的性质(2)k2kk3k2k2等差数列的之和也成等差数列。即S,S-S,S-S,......也成等差数列。(公差为k连续k项d)22111221112213222112(21)(1)2[]22(42)2(1)3(31)[3222(21)93422]32222622()2kkkkkkkdkkdkakakkkkkadkkdkkdkakakkdkkkkSSkkkkkakadkkkkadSSSa1证明:设首项为a,公差为d,又21222211332(3)2(3)()2kkkkkdkkkadkakkkakkdSSSSSd而=2()结2()论成立。1{}na102030例:在等差数列中,S=10,S=40,求S40240901020103020303030解:由等差数列前n项和性质知S,S-S,S-S也成等差数列,即10,30,S-成等差数列,3010(S-)解得S2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27B1.等差数列中,已知na462,24,2SSS求答案:30例2.在等差数列{an}中,S10=100,S100=10.求S110.[解]法一:(基本量法)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则10a1+1010-12d=100,100a1+100100-12d=10.解得a1=1099100,d=-1150.∴S110=110a1+110110-12d=110×1099100+110×1092×(-1150)=-110.法二:(设而不求整体代换法)∵S10=100,S100=10,∴S100-S10=a11+a12+…+a100=90a11+a1002=-90.∴a11+a100=-2.又∵a1+a110=a11+a100=-2,∴S110=110a1+a1102=-110.例2.在等差数列{an}中,S10=100,S100=10.求S110.法三:(新数列法)∵S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100,…成等差数列,∴设该数列公差为d,则其前10项和为10×100+10×92d=10,解得d=-22.∴前11项和为11×100+10×112d=11×100+10×112×(-22)=-110.例2.在等差数列{an}中,S10=100,S100=10.求S110.等差数列前n项和的性质(3)1(2)2.()(2)1nnnnSSSSaSSdSaSnSSanaSn奇偶所有偶偶奇奇奇奇偶偶关于奇数项与偶数项和的关系的几个:1.当项数为(偶数)时:(1)当项数为2n-1(奇数)时:(1)是中间项结论2n1(2)nnSaSSdnSa偶偶奇奇1.当项数为(偶数2n)时:(1)221242121132111111()(2)...22()(2)...22(1)()(2)nnnnnnnnnnnnnnnnSnaSnanaanaaaanaanaaaanananSSndSaSaaanana偶奇偶奇偶奇证明:2.(,)(2)1nSnSSaaSn奇奇偶中偶当项数为2n-1(奇数)时:(1)中间项即22224221211321(1)(1)1(1)():...2(1)(2)2()(2)...22(1)(1)(2)(1)nnnnnnnnnnnnnnaaaaananaanaaaananananSnanaSnanaSSaaSnSna偶中奇中奇偶中奇偶证明例1.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90A变式:一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为.58525602525215050-奇偶奇偶解析:SSdndSS[例2]一等差数列共有偶数项,且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30,最后一项与第一项之差为10.5,求此数列的首项、公差、项数.解:设此数列的首项为a1,公差为d,项数为2k(k∈N*).由题意知S偶-S奇=6,a2k-a1=212,所以kd=6,2k-1d=212,解得k=4,d=32,代入S奇=k2(a1+a2k-1)=24,可得a1=32.所以首项为32,公差为32,项数为8.3{}290,261.na奇偶例:已知等差数列中,共有2n-1项,S=S=求项数与中间项。:21,290261,29290,1012611210119nSSaaaSnnnSnn奇偶中中中奇偶解该等差数列的项数为项即又即解得项数为返回2.项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,首项为1,求这个数列的中间项及项数.解:设等差数列{an}共有(2n+1)项,则奇数项有(n+1)个,偶数项有n个,中间项是第(n+1)项,即an+1.∴S奇S偶=12a1+a2n+1×n+112a2+a2n×n=n+1an+1nan+1返回=n+1n=4433=43,得n=3.又∵S奇=(n+1)·an+1=44,∴an+1=11.故这个数列中间项为11,项数共有2n+1=7项.变式2.项数为2n+1的等差数列,奇数项之和为51,偶数项之和为42.5,首项为1,求这个数列的项数及通项公式.
本文标题:等差数列前n项和性质
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