任意角的三角函数导学案

课题：3.2.1任意角的三角函数（第一课时）一教学目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2.理解任意角的三角函数不同的定义方法；3.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.二教学重难点：重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义。难点:任意角的三角函数不同的定义方法；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.三复习回顾：复习1：用弧度制写出终边在下列位置的角的集合.（1）坐标轴上；（2）第二、四象限.复习2：锐角的三角函数如何定义？在初中，我们如果要求一个锐角的三角函数值，经常把这个角放到一个直角三角形中求其比值，从而得到锐角三角函数的值。那么，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标更方便的去求一个锐角的三角函数值吗？我们可以采用以下方法：如图，设锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点(,)Pab，它与原点的距离220rab.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a，线段MP的长度为b.可得：sinMPbOPr；cos=，tanMPOM=.四、新课学习：知识点1：三角函数的定义认真阅读教材P11-P12，领会下面的内容：由相似三角形的知识，对于确定的角，这三个比值不会随点P在的终边上的位置的改变而改变，因此我们可以将点P取在使线段OP的长为r=1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示的锐角三角函数的值为：sinMPOP_____；cosOMOP_____；tanMPOM___问题：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么，角的概念推广以后，我们应该如何得到任意角的三角函数呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角三角函数求值的方法得到该角的三角函数值.注：单位圆：在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.上述的点P就是的终边与单位圆的交点，这样锐角三角函数就可以用单位圆上的点的坐标表示。那么我们可以用同样的方法得到任意角的三角函数值。如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)Pxy，那么：（1）y叫做的正弦(sine)，记做sin；（2）x叫做的余弦(cossine)，记做cos；（3）yx叫做的正切(tangent)，记做tan.即：siny，cosx，tan(0)yxx.αMP(a,b)oxyM'P'(a',b')αMP(a,b)oxy练习：角34与单位圆的交点坐标为，则sin34=，cos34=，tan34=.注：1)当()2kkZ时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以xytan无意义.2)三角函数的定义域：函数定义域xysinRxycosRxytan},2ππ|{Zkkxx确定三角函数的定义域时，要抓住分母不为0这一关键，当角的终边在坐标上时，点P的坐标中必有一个为0.3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，因而三角函数可以看成是自变量为实数的函数,正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数，我们将它们统称为三角函数。探究：如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?根据相似三角形的性质，在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)xy，它与原点的距离为2222(||||0)rrxyxy，则：sinyr；cos=rx；tan=xy.注意：①一个角的三角函数值只与这个角的终边的位置有关，而与点的选取无关。②为计算方便，我们把半径为1的圆（单位圆）与角的终边的交点选为点的理想位置。典型例题：例:求43角的正弦、余弦和正切值．变式练习1求56角的正弦、余弦和正切值小结：作角终边→求角终边与单位圆的交点→利用三角函数定义来求,或在角的终边上找一个容易找到的点，利用sinyr，cos=rx，tan=xy求三角函数值.2、求35角的正弦、余弦和正切值例:已知角的终边经过点P(4,－3)，求sin、cos、tan的值；练习：已知角的终边经过点P(-4,－2)，求sin、cos、tan的值；方法总结：首先判断角的终边是否在单位圆上，再确定做题的方法。例：已知角的终边经过点P(4a,－3a)(a≠0)，求2sin+cos的值；例：已知角的终边在直线y=-3x上，求sin,cos,tan的值。.cos,sin,1010cos)0)(3,(求，且终边上一点练习：已知角xxP的定义域。例：求xxxytancossin的定义域。练习：求函数xysincosx当堂检测1.tan()4（）.A.1B.1C.22D.222.7sin6（）.A.12B.12C.32D.323.如果角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴重合，终边在函数5(0)yxx的图象上，那么tan的值为（）.A.5B.－5C.15D.154.cos(30).5.已知点(3,4)Paa(0)a在角α的终边上，则tan=.课后作业：（一）选择题1、已知角α的终边过点P（－1,2）,cosα的值为（）A．－55B．－5C．552D．252、α是第二象限角，P（x,5）为其终边上一点，且cosα=42x，则sinα的值为（）A．410B．46C．42D．－410二．填空题3、角α的终边上有一点P（m，5），且)0(,13cosmm，则sinα+cosα=______．4、已知角θ的终边在直线y=33x上，则sinθ=；tan=．三解答题5、已知角终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4（且均不为零），求2sin+cos的值．知识点二：任意角的三角函数值在各象限内的符号：由于0r，所以任意角的三角函数的符号取决于点P所在的象限．当角的终边在第一象限时，点P在第一象限，0,0xy，所以sin0,cos0,tan0；当角的终边在第二象限时，点P在第二象限，0,0xy，所以sin0,cos0,tan0；当角的终边在第三象限时，点P在第三象限，0,0xy，所以sin0,cos0,tan0；当角的终边在第四象限时，点P在第四象限，0,0xy，所以sin0,cos0,tan0．任意角的三角函数符号的记忆方法：典型例题：例：判定下列各角的各三角函数符号：（1）4327（2275．47tan)445cos)36sin6cos)6230cos105sin)5分析关键是判定角所在的象限．练习：判断下列三角函数值的符号。3tan)4)672tan()3)4sin()2250cos)1例：根据条件sin0且tan0,确定是第几象限的角.练习：是第几象限角？请你判断0tan0sin练习：书第15页练习练习：请你求下列各角的三角函数值并背会：2,611,35,47,34,23,34,45,67,,65,43,32,2,3,4,6,0全正正切正余弦正正弦正xyo练习：求下列三角函数的值：)611tan()249cos)1例:求下列各式的值:(1)5cos1803sin902tan06sin270；(2)cossintan3sinsincos364344.巩固性练习1．计算：5sin902cos03tan180cos180．2．计算：213costantansincos24332．当堂检测：1、判别下列各三角函数值的符号：1）sin250°2）cos（－4）3）tan(－666°36’)4）tan1135）sin1746）cos1020°2、根据下列已知，判别θ所在象限：1）sinθ0且tanθ0、tanθ×cosθ03、求下列各角的三角函数的值（正弦、余弦、正切）.1）750°2）1743）－1164）－1020°4、求函数costancostanxxyxx的值域.变式：求sincos|tan|sincostanxxxyxxx的值域.知识点三：诱导公式一根据三角函数的定义知，角的三角函数值是由角的终边位置确定的，所以终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin)360sin(ksin)2sin(kcos)360cos(k其中Zkcos)2cos(k其中Zk。tan)360tan(ktan)2tan(k注：作用：把求任意角的三角函数值转化为求0到2（0°～360°）角的三角函数值。典型例题：例：判断下列各式的符号：)423tan(4sin)5)672tan()43tan)3)4sin()2250cos)1例：求值：)431tan()4415tan)367sin)249cos)1例：计算211cos3sin25cos0tan)2750cos450sin405tan)1qpnm当堂检测：)(),49tan()116cos()(1fxxxf则、已知2、.____________tan600o的值是D3.D3.C33.B33.A3、.________,0cossin在则若θθθB第二、四象限第一、四象限第一、三象限第一、二象限.D.C.B.A知识点四：三角函数线设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于P(,)xy，过P作x轴的垂线，垂足为M,根据三角函数的定义，我们有：cos;sinxOMyMP探究：为了去掉上述等式中的绝对值号，我们可以给线段规定一个适当的方向，使它们的取值与点的坐标一致，由于直角坐标系内的点的坐标与坐标轴的方向有关，因此一个自然的想法是以坐标轴的方向来规定线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来。当角的终边不在坐标轴上时，以O为始点，M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负，且有负值x，其中x为点P的横坐标，这样无论哪一种情况都有OM=x=cos同理，当角的终边不在坐标轴上时，以M为始点，P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负，且有负值y，其中y为点P的横坐标，这样无论哪一种情况都有MP=y=sin注：有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。探究：那么如何用有向线段来表示角的正切呢？我们可以过点(1,0)A作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与角的终边或其反向延长线交与点T.则xyATtan,我们就分别称有向线段,,MPOMAT为正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线。总结：三角函数线的作法设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P(,)xy,过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点T.由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMxMPy，于是有sin1yyyMPr，cos1xxxOMr，tanyMPATATxOMOA注：（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余oxyMTPAoxyMTPAxyoMTPAxyoMTPA（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）xyoPM（Ⅲ）AMOPTyx弦在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。（3）三条有向线