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第1页共6页◎第2页共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………绝密★启用前2014年高考全国2卷理科数学试题(含解析)注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题(题型注释)1.设复数1z,2z在复平面内的对应点关于虚轴对称,12zi,则12zz()A.-5B.5C.-4+iD.-4-i2.设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则ab=()A.1B.2C.3D.53.钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=()A.5B.5C.2D.14.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.455.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.1727B.59C.1027D.136.执行右图程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S=()A.4B.5C.6D.77.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.38.设F为抛物线C:23yx的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.949.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为()A.110B.25C.3010D.2210.设函数3sinxfxm.若存在fx的极值点0x满足22200xfxm,则m的取值范围是()A.,66,B.,44,C.,22,D.,11,第3页共6页◎第4页共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………订…………○…………线…………○…………第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题(题型注释)11.10xa的展开式中,7x的系数为15,则a=________.(用数字填写答案)12.函数sin22sincosfxxx的最大值为_________.13.已知偶函数fx在0,单调递减,20f.若10fx,则x的取值范围是__________.14.设点M(0x,1),若在圆O:221xy上存在点N,使得∠OMN=45°,则0x的取值范围是________.评卷人得分三、解答题(题型注释)15.已知数列na满足1a=1,131nnaa.(1)证明12na是等比数列,并求na的通项公式;(2)证明:1231112naaa…+.16.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积.17.某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:121niiiniittyybtt,ˆˆaybt18.设1F,2F分别是椭圆222210yxabab的左右焦点,M是C上一点且2MF与x轴垂直,直线1MF与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且15MNFN,求a,b.19.已知函数fx=2xxeex.(1)讨论fx的单调性;(2)设24gxfxbfx,当0x时,0gx,求b的最大值;(3)已知1.414221.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001)20.如图,P是eO外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与eO相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交eO于点E。证明:(1)BE=EC;(2)ADDE=22PB21.在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为2cos,第5页共6页◎第6页共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………0,2.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线:32lyx垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.22.设函数fx=1(0)xxaaa(1)证明:fx≥2;(2)若35f,求a的取值范围.本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。答案第1页,总9页参考答案1.A【解析】由题意知:22zi,所以12zz-5,故选A。考点:本小题主要考查复数的乘法,复数的几何意义,复数是高考的重点,年年必考,常常以选择或填空题的形式出现,难度不大,熟练基础知识是关键。2.A【解析】因为22||()ababrurrr222ababrrrr=10,22||()ababrurrr2226ababrrrr,两式相加得:228abrr,所以1abrr,故选A.考点:本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识,熟练基础知识与基本题型是解答好本类题目的关键。3.B【解析】由面积公式得:112sin22B,解得2sin2B,所以45Bo或135Bo,当45Bo时,由余弦定理得:21222cos45ACo=1,所以1AC,又因为AB=1,BC=2,所以此时ABC为等腰直角三角形,不合题意,舍去;所以135Bo,由余弦定理得:21222cos135ACo=5,所以5AC,故选B.考点:本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式,考查解三角形的基础知识.4.A【解析】设A=“某一天的空气质量为优良”,B=“随后一天的空气质量为优良”,则()0.6(|)0.8()0.75PABPBAPA,故选A.考点:本小题主要考查条件概率的求法,熟练概率的基础知识是解答好本类题目的关键.5.C【解析】因为加工前的零件半径为3,高为6,所以体积154V,又因为加工后的零件,左半部为小圆柱,半径为2,高4,右半部为大圆柱,半径为3,高为2,所以体积2161834V,所以削掉部分的体积与原体积之比为5434105427,故选C.考点:本小题主要考查立体几何中的三视图,考查同学们的空间想象能力.6.D【解析】由题意知:当1k时,2M,5S;当2k时,2M,7S;当3k时,输出S=7,故选D。考点:本小题主要考查程序框图的基础知识,程序框图是新课标新增内容,是高考的重点,年年必考,主要以客观题的形式出现,经常也数列、不等式、函数等知识相结合,在知识的本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。答案第2页,总9页交汇处出题,应熟练这部分的基础知识.7.B【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知区域为三角形,平移直线2zxy,可知当经过两条直线310xy与70xy的交点A(5,2)时,取得最大值8,故选B.考点:本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题,正确画图与平移直线是解答这类问题的关键.8.D【解析】由题意可知:直线AB的方程为33()34yx,代入抛物线的方程可得:2412390yy,设A11(,)xy、B22(,)xy,则所求三角形的面积为121213()424yyyy=94,故选D.考点:本小题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查两点间距离公式等基础知识,考查同学们分析问题与解决问题的能力.9.C【解析】以C为原点,直线CA为x轴,直线CB为y轴,直线1CC为z轴,则设CA=CB=1,则(0,1,0)B,11(,,1)22M,A(1,0,0),1(,0,1)2N,故11(,,1)22BM,1(,0,1)2AN,所以cos,||||BMANBMANBMAN3465223010,故选C.考点:本小题主要考查利用空间向量求线线角,考查空间向量的基本运算,考查空间想象能力等数学基本能力,考查分析问题与解决问题的能力.10.C【解析】由题意知:fx的极值为3,所以203fx,因为'00()3cos0xfxmm,所以0,2xkkzm,所以01,2xkkzm即011||||22xkm,所以0||||2mx,即2200[()]xfx24m3,而已知22200xfxm,所以224mm3,故2334m,解得2m或2m,故选C.考点:本小题主要考查利用导数研究的极值,考查三角函数,考查一元二次不等式的解法,本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。答案第3页,总9页考查分析问题与解决问题的能力.11.12【解析】因为10110rrrrTCxa,所以令107r,解得3r,所以373410TCxa=157x,解得12a.考点:本小题主要考查二项式定理的通项公式,求特定项的系数,题目难度不大,属于中低档.12.1【解析】由题意知:sin22sincosfxxx=sin[]2sincosxx=sincosxcossinx2sincosx=cossinxsincosx=sin[]x=sinx,即()sinfxx,因为xR,所以()fx的最大值为1.考点:本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解,熟练公式是解答好本类题目的关键.13.(1,3)【解析】因为()fx是偶函数,所以不等式(1)0(|1|)(2)fxfxf,又因为()fx在[0,)上单调递减,所以|1|2x,解得13x.考点:本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性,考查绝对值不等式的解法,熟练基础知识是关键.14.[1,1]【解析】由题意知:直线MN与圆O有公共点即可,即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可,如图,过OA⊥MN,垂足为A,在RtOMA中,因为∠OMN=45,所以||||sin45OAOMo=本卷由
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