杨辉三角

二项式定理(a+b)n(其中：n≥0)与杨辉三角(n=0对应最上面第一行)注：(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项的数字。二项式(a+b)n的乘方展开式的系数规律(其中：n≥0)【二项式定理】杨辉三角图(n=0对应的最上面一行称为第1行)1首末两项系数均为1，第二项与倒数第二项系数均是n，第m项与倒数第m项(即n-m+1项)系数均相等（系数关于中间项系数对称）每行端点与结尾的数为1.C(n，m)=C(n，n-m)=C(n-1，m-1)+C(n-1，m)2n次方展开式中共有n+1项第n行共有n项，数字和为2n-13n次方展开式中，笫m项的系数等于n-1次方展开式中第m-1项和第m项系数和每个数等于它上一行的左右两个数字之和：第n行中，笫m项的系数等于第n-1行展开式中第m-1项和第m项系数和C(n,i)=C(n-1，i-1)+C(n-1，i)第n行的第一列数字是1第n行的第二列数字是n-1第n行中，笫3列的系数等于1+2+3+…+(n-1)-1第n行中，笫m列的系数等于第n-1,n-2,n-3,….1行的第m-1列的数字之和C(n,i)=C(n-1，i-1)+C(n-1，i)=C(n-1，i-1)+C(n-2，i-1)+C(n-2，i)=…=C(n-1，i-1)+C(n-2，i-1)+C(n-2，i)+4将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。5将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方11n-1：1=110;11=111;121=112……当n5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字1放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位......，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为25937424601=1110。6第n行的m个数可表示为C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数7(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项1.每个数等于它上方两数之和(第n行的第m个数数等于第n-1行的第m-1和第m个的两数之和。2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。3.第n行的数字有n项。4.第n行数字和为2n-1。5.第n行的m个数可表示为C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。6.第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，为组合数性质之一。7.每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。8.(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。9.将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。10.杨辉三角应用性质5和性质7是杨辉三角的基本性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。例如在杨辉三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数（性质8），第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数，即，以此类推。又因为性质5：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”[3]。杨辉三角数在杨辉三角中的出现次数由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1,2,2,2,3,2,2,2,4,2,2,2,2,4,...（OEIS:A003016）。最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2,3,6,10,120,120,3003,3003,...（OEIS:A062527）除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。120,210,1540等出现刚好六次。（OEIS:A098565）因为丢番图方程有无穷个解，所以出现至少六次的数有无穷个多。解为，其中Fn表示第n个斐波那契数（F1=F2=1）。3003是第一个出现八次的数。这也是多项式(a+b)n打开括号后的各个项的n次项系数的规律即为0(a+b)0(0nCr0)1(a+b)1(1nCr0)(1nCr1)2(a+b)2(2nCr0)(2nCr1)(2nCr2)3(a+b)3(3nCr0)(3nCr1)(3nCr2)(3nCr3)................杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。因此杨辉三角第x层第y项直接就是（ynCrx）我们也不难得到第x层的所有项的总和为2x(即(a+b)x中a,b都为1的时候)[上述yx指y的x次方;(anCrb)指组合数]nCr的数学意义是从n个元素中选r个,一共有几种选法.数学公式ynCrx=y!÷[(y-x)!×x!]!是阶乘n!=n×(n-1)×(n-2)×...×3×2×1从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。在线性写法中被写作C(n,m)。组合数的计算公式为n元集合A中不重复地抽取m个元素作成的一个组合实质上是A的一个m元子集和。如果给集A编序成为一个序集，那么A中抽取m个元素的一个组合对应于数段到序集A的一个确定的严格保序映射。组合数的常用符号还有按一定次序排列的一列数称为数列（sequenceofnumber）.数列中的每一个数都叫做这个数列的项.排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）,排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.有时候也表示成：（在旧版本里，排列数的字母写作P）组合公式的推导是由排列公式去掉重复的部分而来的，排列公式是建立一个模型，从n个不相同元素中取出m个排成一列（有序），第一个位置可以有n个选择，第二个位置可以有n-1个选择（已经有1个放在前一个位置），则同理可知第三个位置可以有n-2个选择，以此类推第m个位置可以有n-m+1个选择，则排列数为，而组合公式对应另一个模型,取出m个成为一组（无序）,由于m个元素组成的一组可以有m!种不同的排列（全排列）,组合的总数就是递推公式：c(m,n)=c(m-1,n-1)+c(m-1,n)等式左边表示从m个元素中选取n个元素，而等式右边表示这一个过程的另一种实现方法：任意选择m中的某个备选元素为特殊元素，从m中选n个元素可以由此特殊元素的被包含与否分成两类情况，即n个被选择元素包含了特殊元素和n个被选择元素不包含该特殊元素。前者相当于从m-1个元素中选出n-1个元素的组合，即c(m-1,n-1)；后者相当于从m-1个元素中选出n个元素的组合，即c(m-1,n)。