§18.1--隐函数--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、隐函数概念二、隐函数存在性条件分析三、隐函数定理隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.§1隐函数数学分析第十八章隐函数定理及其应用*点击以上标题可直接前往对应内容四、隐函数求导举例数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社隐函数概念3221sinyx,zxy.显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数．例如：2/32/32/333330xya,xyzxy.方程式所确定的函数,通常称为隐函数．例如：隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析后退前进目录退出数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社则成立恒等式.,0))(,(IxxfxFR,,IJxI若存在、使得对任一有惟一确定的yJ使得(,),xyE且满足方程(1),(1)确定了一个定义在I,值域含于J的隐函数.,,,)(JyIxxfy把此隐函数记为(,)0.(1)Fxy2R,:R.EFE设§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析如果对于方程则称由方程数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社注2不是任一方程都能确定隐函数,0),(yxF例如显然不能确定任何隐函数．0122yx注1隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要)(xfy化为显函数．上面把隐函数仍记为，这与它能否用显函数表示无关．例如由方程可确定如下两122yx取值范围．个函数：注3隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的.]0,1[,]1,1[,)1()(;]1,0[,]1,1[,)1()(2221yxxxfyyxxxfy§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社在§2还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.注4类似地可定义多元隐函数．例如:由方程0),,(zyxF,),(yxfz确定的隐函数0),,,(uzyxF,),,(zyxfu确定的隐函数等等.§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析由方程数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社隐函数存在性条件分析条件时,由方程(1)能确定隐函数,并使)(xfy),(yxF要讨论的问题是：当函数满足怎样一些该隐函数具有连续、可微等良好性质?)(xfy),(yxFz(a)把上述看作曲面与坐标0z平面的交线，),(000yxP.)(,0),(0000xfyyxF，满足连续是合理的．0P)(xfy0x),(yxF(b)为使在连续，故要求在点§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析故至少要求该交集非空，即数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社点存在切线，而此切线是曲面在点),(yxFz0P的切平面与的交线，0P0z)(xfy0x)(xfy(c)为使在可导，即曲线在0P.)0,0()),(,),((0000yxFyxFyx点可微，且0),(00yxFy由此可见，是一个重要条件．000000d(,())(,)(,)()0,dxxxyFxfxFxyFxyfxx(d)在以上条件下，通过复合求导数,由(1)得到00000(,)()(,)xyFxyfx.Fxy§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析),(yxF故应要求在数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社定理18.1（隐函数存在的唯一性定理）隐函数定理设方程(1)中的函数满足以下四个条件：),(yxF),(000yxP2RD(i)在以为内点的某区域上连续；(ii)(初始条件)；0),(00yxFD),(yxFy(iii)在内存在连续的偏导数；00(,)0.yFxy(iv)则有如下结论成立：§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社定理18.1（隐函数存在的唯一性定理）在上连续．)(2xf),(00xx证首先证明隐函数的存在与唯一性．证明过程归结起来有以下四个步骤(见图18－1)：00(),(,),yfxxxx;0))(,(,)())(,(0xfxFPUxfx唯一地确定了一个隐函数它满足：00()fxy),(00xxx,且当时,使得DPU)(0)(0PU存在某邻域，在上1(,)0Fxy§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社(c)同号两边伸＋＋＋＋－－－－x0xy0yO0x0x0y0y(d)利用介值性＋＋＋＋－－－－x0xy0yO0x0x0()UP0y0y()yfx(b)正、负上下分＋＋＋___+_0xyO0x0x0x0y0y0y(a)一点正,一片正++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++x0x0x0x0y0y0yyO图18－1§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社(a)“一点正,一片正”00(,)0.yFxy由条件(iv),不妨设0000[,][,]SxxyyD.其中,),(,0),(SyxyxFy),(yxFy因为连续，所以根据保号性，使得0,(a)一点正,一片正++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++x0x0x0x0y0y0yySO§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社(b)正、负上下分＋＋＋___+_0xyO0x0x0x0y0y0y(b)“正、负上下分”,),(,0),(SyxyxFy,],[00xxx因故格增，且连续(据条件(i))．00(,)0,Fxy0(,),Fxy特别对于函数由条00(,)0Fxy件可知00(,)0.Fxy§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析把看作的函数时,它在上严y),(yxF],[00yy数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社(c)同号两边伸＋＋＋＋－－－－x0xy0yO0x0x0y0y(c)“同号两边伸”因为关于连续，),(,),(00yxFyxFx(b)的结论，根据保号性，使得,)0(0(,)0,Fxy0(,)0,Fxy00(,).xxx§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析故由数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社.0)ˆ,ˆ(yxF,)(0JIPU1若记则定理结论得证．(d)利用介值性＋＋＋＋－－－－x0xy0yO0x0x0()UP0y0y()yfx就证得存在惟一的隐函数:由的任意性,这ˆx0000(,),(,).xIxxyJyy(),yfx§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析(d)“利用介值性”,),(ˆ00xxx),ˆ(yxFy因关于连续,且严格增，故由(c)的结论，依据介值性定理,存在惟满足00ˆ(,),yyy一的数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社(,)0,(,)0.FxyFxy(,)0,Fxy由对严格增，而),(yxFy推知..xxOyxxyyy0y0y＋＋＋＋－－－－0P..图18－200,yyyy().yfx其中足够小，使得,0如图18－2所示,取§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析下面再来证明上述隐函数的连续性:00(,),xxx即欲证上述在连续.)(xfx数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社.0),(,0),(yxFyxF),(xxx且当时，有,),(,)(xxxyxfy在上处处连续．),(00xx因此在连续.x)(xf类似于前面(d)，由于隐函数惟一，故有§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析)(xf由的任意性,便证得x类似于前面(c)，使得,),(),(00xxxx数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社注1定理18.1的条件(i)～(iv)仅是充分条件,如：①在点虽,0)0,0(,0),(33yFxyyxF)0,0(.xy不满足条件(iv)，但仍能确定唯一的隐函数xyO11图18－3②(双纽线),在0)(),(22222yxyxyxF点同样不满足)0,0(条件(iv);所示,么小的邻域内,确实不能确定唯一的隐函数.§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析如图18－3在该点无论多数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，的作用．二则是在后面的定理18.2中它们还将起到实质性注2条件(iii)、(iv)在证明中只是用来保证在邻)(0PU域内关于为严格单调．),(yxFy注3读者必须注意,定理18.1是一个局部性的隐函数存在定理．)0,1(,)0,1(,)0,0(三点以外,曲线上其余各点处都存在局部隐函数)(xfy以检验，见后面第四段的例１)．§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析之所以采例如从以上双纽线图形看出:除了(这不难用定理18.1加数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社注4在方程中,0),(yxFxy与的地位是平等的..)(ygx时，将存在局部的连续隐函数),(yxFx0),(00yxFx连续,且“”§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析当条件(iii)、(iv)改为数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社定理18.2（隐函数可微性定理）),(yxF设函数满足定理18.1中的条件(i)～(iv),D在内还存在连续.),(yxFx且所确定的隐函数在I内有连续的导函数，)(xfy(,)()(,).(2)(,)xyFxyfx,xyIJFxy(注:其中00(,)Jyy与),(00xxI示于定理18.1的证明(d)).§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析则由方程0),(yxF数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社()()yfx,yyfxxJ.,,Ixxx证设则.0),(,0),(yyxxFyxF由条件易知F可微，并有使用微分中值定理,使得,)10(0(,)(,)FxxyyFxy(,)yFxxyyy,(,)xFxxyyx§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件分析数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社.),(),(yyxxFyyxxFxyyx显然也是连续函数．)(xf0x,0yyxFFf,,因都是连续函数,故时并有00(,)()limlim(,)xxxyFxxyyyfxxFxxyy(,),(,).(,)xyFxyxyIJFxy§1隐函数隐函数概念隐函数定理隐函数求导举例隐函数存在性条件