第2章 误差与数据处理

浙江科技学院本科课程《化工数据处理》第二章误差与数据处理浙江科技学院本科课程《化工数据处理》误差定义、来源、分类、测量精度§2.2偶然误差的正态分布频率分布、正态分布、偶然误差的区间概率….§2.1测量误差的基本理论§2.3误差传递系统误差的传递、偶然误差的传递、极值误差有效数字、数字修约规则和运算规则§2.4有效数字及运算规则内容目录:[背景问题1]:浙江科技学院本科课程《化工数据处理》§2.1测量误差的基本理论§2.1.1测量误差的定义真值测量结果测量误差:：：0XE定义：测量结果与其真值的差异真值：被测量的客观真实值理论真值：0EX理论上存在、计算推导出来如：三角形内角和180°约定真值：国际上公认的最高基准值如：基准米相对真值：利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值标准仪器的测量标准差1/3测量系统标准差定性概念，定量表示米是1／299792458秒的时间间隔内光在真空中行程的长度浙江科技学院本科课程《化工数据处理》§2.1.2测量误差的来源(1)原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差近似：如：非线性比较小时可以近似为线性假设：理论上成立、实际中不成立如：误差因素互不相关(2)装置误差：测量仪器、设备、装置导致的测量误差机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声(3)环境误差：测量环境、条件引起的测量误差空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动，(4)使用误差：理论分析与实际情况差异方法：测量方法存在错误或不足如：采样频率低、测量基准错误读数误差、违规操作、浙江科技学院本科课程《化工数据处理》§2.1.3测量误差的性质与分类(1)随机误差(randomerror)正态分布性质：原因：装置误差、环境误差、使用误差处理：统计分析、计算处理→减小对称性有界性抵偿性单峰性绝对值相等的正负误差出现的次数相等绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多偶然误差绝对值不会超过一定程度当测量次数足够多时，偶然误差算术平均值趋于0浙江科技学院本科课程《化工数据处理》§2.1.3测量误差的性质与分类(2)系统误差(systemerror)：性质：有规律，可再现，可以预测原因：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差处理：理论分析、实验验证→修正(3)过失误差(grosserror,mistake)：性质：偶然出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一起原因：装置误差、使用误差处理：判断、剔除系统误差与随机误差的比较项目系统误差随机误差产生原因固定因素，有时不存在不定因素，总是存在分类方法误差、仪器与试剂误差、主观误差环境的变化因素、主观的变化因素等性质重现性、单向性（或周期性）、可测性服从概率统计规律、不可测性影响准确度精密度消除或减小的方法校正增加测定的次数浙江科技学院本科课程《化工数据处理》§2.1.4测量精度精度：测量结果与真值吻合程度定性概念测量精度举例不精密（随机误差大）准确（系统误差小）精密（随机误差小）不准确（系统误差大）不精密（随机误差大）不准确（系统误差大）精密（随机误差小）准确（系统误差小）浙江科技学院本科课程《化工数据处理》精密度：(precision)表述：概念：重复测量时，测量结果的分散性准确度：表述：精确度：(正确度)测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响程度性质：随机误差的标准差(standarddeviation)性质：系统误差和随机误差综合影响程度平均值与真值的偏差(deviation)表述：不确定度(uncertainty)工程表示：引用误差，最大允许误差相对于仪表测量范围地百分数0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0七级minmaxmaxxxA浙江科技学院本科课程《化工数据处理》结论：1、精密度是保证准确度的前提。2、精密度高，不一定准确度就高。浙江科技学院本科课程《化工数据处理》§2.1.5误差与偏差(1)误差：测量结果与其真值的差异(2)偏差：个别测量值与多次测量均值之间的差异0EX绝对误差，测量值与真值之差，有正负之分。相对误差，绝对误差与真值之比。00100rXE%绝对偏差，测定结果与平均值之差。相对偏差，是绝对偏差与均值之比，以百分数表示。平均偏差，是绝对偏差绝对值之和的平均值。标准偏差和相对标准偏差极差，一组测量值中最大值与最小值之差，表示误差的范围，以R表示。dXX浙江科技学院本科课程《化工数据处理》§2.1.6算术平均值表述：x1,x2,…xn---测量数据原理：多次重复测量时，取全部测量数据的算术平均值为测量结果niinxnnxxxx1211剩余误差ivi偶然误差xxi真值ix性质：（1）剩余误差的代数和等于零，即算术平均值法可以滤除或减小偶然误差0v（2）剩余误差的平方和为最小最小二乘法基础min2v浙江科技学院本科课程《化工数据处理》标准偏差n][22[]1vsn用偶然误差表示:用剩余误差表示:Bessel公式样本标准偏差s相对标准偏差RSD0001000sRSDX§2.1.7标准偏差的计算[背景问题2]:浙江科技学院本科课程《化工数据处理》[提问及讨论]:1、计算测定结果的均值、方差。2、单次测量结果的偏差呈现什么态势？3、如何用数学手段表征样本的规律？浙江科技学院本科课程《化工数据处理》§2.2偶然误差的分布§2.2.1频率分布198nLgs/047.0Lgx/01.16左表为海水中卤素的测定结果。浙江科技学院本科课程《化工数据处理》海水中卤素测定值频率密度直方图频率密度直方图0.002.004.006.008.0010.0015.8315.9015.9616.0216.0916.1516.21测量值频率密度频率密度分布图0.002.004.006.008.0010.0015.815.916.016.116.216.3测量值频率密度海水中卤素测定值频率密度分布图问题:测量次数趋近于无穷大时的频率分布？测量次数少时的频率分布？某段频率分布曲线下的面积具有什么意义？数据集中与分散的趋势浙江科技学院本科课程《化工数据处理》测量值正态分布N(,2)的概率密度函数0.05.010.015.020.025.015.8015.8515.9015.9516.0016.0516.1016.1516.20概率密度1=0.0472=0.023xy概率密度x个别测量值总体平均值，表示无限次测量值集中的趋势。总体标准偏差，表示无限次测量分散的程度。x-随机误差随机误差的正态分布测量值的正态分布0x-222)(21)(xexfy§2.2.2偶然误差的正态分布024681015.8015.9016.0016.1016.20xy0.05.010.015.020.025.015.8015.9016.0016.1016.20xy总体标准偏差相同，总体平均值不同总体平均值相同，总体标准偏差不同原因：1、总体不同2、同一总体，存在系统误差原因：同一总体，精密度不同测量值和随机误差的正态分布体现了随机误差的概率统计规律1、小误差出现的概率大，大误差出现的概率小；特别大的误差出现的概率极小。2、正误差出现的概率与负误差出现的概率相等。3、x=时，y值最大，体现了测量值的集中趋势。集中的程度与有关。0.05.010.015.020.025.015.8015.9016.0016.1016.20y平均值222)(21xey结论：增加平行测量次数可有效减小随机误差。x浙江科技学院本科课程《化工数据处理》标准正态分布曲线N(0,1)令：xu正态分布函数转换成标准正态分布函数：2/2()12uyue0.000.100.200.300.40-3-2-10123y68.3%95.5%99.7%u)1udu（浙江科技学院本科课程《化工数据处理》§2.2.3偶然误差的区间概率0.000.100.200.300.40-3-2-10123uy面积（概率uudueduu02/221)|u|面积|u面积|u面积|u面积0.6740.25001.0000.34131.6450.45001.9600.47502.0000.47732.5760.49503.0000.49870.5000正态分布概率积分表（部分数值）浙江科技学院本科课程《化工数据处理》随机误差出现的区间u（以为单位）测量值出现的区间概率%（-1,+1)(-1,+1)68.3(-1.96,+1.96)(-1.96,+1.96)95.0(-2,+2)(-2,+2)95.5(-2.58,2.58)(-2.58,+2.58)99.0(-3,+3)(-3,+3)99.70.000.100.200.300.40-3-2-10123uyxu测量值与随机误差的区间概率2/2012uuedu概率浙江科技学院本科课程《化工数据处理》|u|面积|u面积|u面积|u面积0.6740.25001.0000.34131.6450.45001.9600.47502.0000.47732.5760.49503.0000.49870.50000.5000.19151.5000.43322.5000.49380.000.100.200.300.40-3-2-10123uy正态分布概率积分表（部分数值）浙江科技学院本科课程《化工数据处理》0.000.100.200.300.40-3-2-10123uy解（1）5.110.015.0xu查表：u=1.5时，概率为：20.4332=0.866=86.6%（2）5.210.075.12u查表：u2.5时，概率为：0.5–0.4938=0.0062=0.62%86.6%0.62%P½a½ap+a=1a显著水平P置信度例题：一样品，标准值为1.75%，测得=0.10,求结果落在（1）1.750.15%概率；（2）测量值大于2%的概率。[背景问题3]:浙江科技学院本科课程《化工数据处理》误差传递的方式取决于误差的性质（系统误差或随机误差），取决于分析结果与测量值之间的化学计量关系（计算方式）。§2.3误差的传递(propagationoferror)化学实验的结果一般都通过间接测量获得的，间接测量是以直接测量为基础的，直接测量值不可避免地有误差存在，显然由直接测量值根据一定的函数关系，经过运算而获得的间接测量的结果，必然也有误差存在。怎样来计算间接测量的误差呢？这实质上是要解决一个误差的传递问题，即求得估算间接测量值误差的公式，称为误差的传递公式。设间接测量量N是n个独立的直接测量量A、B、C，…H的函数，即N=f(A，B，C，…H)。HCBA,,,,A若各直接测量值A、B、C…H的不确定度分别为，它们使N值也有相应的不确定度，由于不确定度都是缩小量，相当于数学中的“增量”，因此间接测量的不确定度公式与数学中的全微分公式基本相同，利用全微分公式，则间接测量的不确定度。浙江科技学院本科课程《化工数据处理》§2.3.1系统误差的传递CkBkAkYCkBkAkkYcbacba，）（1CCBBAAYYCABmY,2）（AAnYYmAYn,3）（AAmYAmY434.0,lg4）（ki为常数BBYAAYYBAfY),,,(通式：设分析结果Y由测量值A、B、C计算获得，测量值的系统误差分别为A、B、C，标准偏差分别为sA、sB、sC。浙江科技学院本科课程《化工数据处理》22222221CcBbAaYcbasksksksCkBkAkkY，）（22222222,2CsBsAsYsCABmYCBAY）（22222,3AsnYsmAYAYn）