4.1 随机变量的数学期望

概率论与数理统计概率论与数理统计§4.1数学期望的定义及性质第四章概率论与数理统计概率论与数理统计主要内容二、几种常用分布的期望一、数学期望的概念三、随机变量函数的数学期望四、数学期望的性质概率论与数理统计一、数学期望的概念我们知道离散型随机变量的分布列全面地描述了这个随机变量的统计规律，但在许多实际问题中，这样的“全面描述”有时并不使人感到方便，举例来说，一个班级的学习成绩是一个随机变量，如果要比较不同班级的学习成绩，通常只要比较两个班级的平均成绩就可以了。平均值大就意味着这个班级的学习成绩较好，这时如果不去比较它的平均值，而只看它的分布列，虽然“全面”，却使人不得要领，既难以掌握，又难以迅速作出判断，这样的例子可以举出很多。1.、离散型随机变量的数学期望概率论与数理统计他们的射击技术分别为乙两个射手甲,,试问哪个射手技术较好?例1谁的技术比较好?乙射手击中环数频率10982.05.03.0甲射手击中环数频率10983.01.06.0解1()80.390.1100.69.3,E2()80.290.5100.39.1,E故甲射手的技术比较好.设甲乙射手击中的环数分别为概率论与数理统计设离散r.v.的可能取值为，其分布列为ipiiiapiiipa.iiiEap,则当时，并且数学期望为称存在数学期望（均值），而当时，称的数学期望（均值）不存在。定义),,(21i),,(21iai概率论与数理统计(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.(1)E()是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量取可能值的真正平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.关于定义的几点说明概率论与数理统计例2设一个盒中有5个球，其中有3个黄球，2个白球，从中任取两个球，问平均取到的白球数是多少？解设为任取两个球中的白球数，的分布列为ip0120.30.60.100.310.620.10.8.E则故平均取到的白球数是0.8个。概率论与数理统计数学期望的本质—加权平均它是一个数不再是r.v.绝对收敛,则称此积分为的数学期望，记作E(),即设连续r.v.的d.f.为(),px若广义积分()dxpxx()()dExpxx2.、连续型随机变量的数学期望定义概率论与数理统计二、几种常用分布的期望1、退化分布设的分布列为，则1)(cP.Ec2、两点分布设的分布列为，则.Ep~(1,)Bp事实上，1.iiiEapcc0(1)1.iiiEapppp事实上，概率论与数理统计{}(1),(0,1,2,,),knknPkppknk01.p则有0(){}nkEkPk0(1)nknkknkppk事实上，3、二项分布设的分布列为，则.Enp~(,)Bnp0!(1)!()!nknkkknppknk概率论与数理统计1[(1)]nnppp1(1)(1)1(1)!(1)(1)![(1)(1)]!nknkknnpppknk则两点分布b(1,p)的数学期望为p.=np1(1)(1)1(1)!(1)(1)![(1)(1)]!nknkknpnppknk概率论与数理统计{},0,1,2,,0.!kPkekk则有0()!kkEkek11(1)!kkekee.4、Poisson分布设的分布列为，则.E事实上，~()P概率论与数理统计1(),1;1,2,;01kPkqpqpkp则有1111()kkkkEkqppkq1()kkpq1()kkpq21()1(11.)qppqpq1.Ep4、几何分布设的分布列为，则事实上，~()Gp概率论与数理统计6.均匀分布则有()()dExpxx1dbaxxba).(21ba1,,()0,.axbpxba其它~(,),Uab设其概率密度为).(21ba结论均匀分布的数学期望位于区间的中点.概率论与数理统计7.指数分布,,0,()0.0,0.xexpxx设随机变量服从指数分布其概率密度为其中则有()()dExpxx0dxxex.1xexexxd00概率论与数理统计8.正态分布2~(,),Nμσ设其概率密度为则有()()dExpxx22()21d2xμσxexσxμtσ令,xμσt.,,)()(xσeσxpσμx021222.μ22221dd22ttσμettet22()21()d2xμσExexσ所以221()d2tμσtetμ正是它的数学期望。中的可见),(,2N概率论与数理统计常见离散型随机变量的数学期望分布分布律E(0-1)分布~B(1,p)1{}(1)kkPkppk=0,1p二项分布~B(n,p){}(1)kknknPkCppk=0,1,2,…,nnp普哇松分布~()PP{=k}=ekk!k=0,1,2,…几何分布~()GpP{=k}=ppk1)1(k=1,2,…p1概率论与数理统计若为离散型r.v.，分布律为又g(x)为实变量x的单值函数，如果(即绝对收敛)，则有(),(1,2,),iiPapi三、随机变量函数的数学期望1()iiigap1()().iiiEggap定理1若，为离散型r.v.，分布律为又g(x,y)为实变量x,y的单值函数，如果则有定理2(,),iiijPabP,1,2,,ij(,),iiijijgabp11(,),.ijijijEggabp1、离散型随机变量函数的数学期望概率论与数理统计解例7设求2(35).E2020.40.30.3p222(325)0.4(305)0.3(325)0.32(35)E13.4概率论与数理统计p1234.02.04.0解12310120.10.10.10.10.10.0030.2:(),(),(),[()].EEEE求例8设的分布律为(,)的分布律为()10.420.230.42.E得概率论与数理统计()10.300.410.30.E得1012121031p1013.04.03.0p(,))1,1(2.0)0,1(1.0)1,1(1.0)1,2(1.0)1,2(1.0)0,3(3.0)1,3(1.0由于的分布律为111110.200.110.10.10.100.30.1.22315E因此，概率论与数理统计p)1,1(2.0)0,1(1.0)1,1(1.0)1,2(1.0)1,2(1.0)0,3(3.0)1,3(1.02()41091942[()]40.310.200.190.4E5.由于因此，(,)概率论与数理统计2、连续型随机变量函数的数学期望(())()()d.Effxpxx(1)若是连续型的,它的分布密度为p(x)，则()()fxpxdx这里同样要求绝对收敛.[(,)](,)(,)dd.Effxypxyxy(2),,(,)fxy设为连续随变为数则型机量二元函,(,)(,).pxy联为其中的合概率密度(,)(,)ddgxyfxyxy这里同样要求绝对收敛.概率论与数理统计1.设C是常数,则有.)(CCE证.1)()(CCCEXE2.设是一个随机变量,C是常数,则有()().ECCE证()iiiECCap().CEiiiCap例如()5,E(3)3()EE3515.四、数学期望的性质则概率论与数理统计1122iiiiiikkapkkbp1122()().kEkE3.设、是两个随机变量,则有对任意实数,有11221122()()().EkkkEkE证112212()()iiiiEkkkakbp121,kk211().nniiiiiiEkkE推广概率论与数理统计4.设、是相互独立的随机变量,则有()()().EEE证jijijijiijjippbapbaE1111EEpbpajjjiii11推广4.设是相互独立的随机变量,则有n,,,21nnEEEE2121概率论与数理统计性质4的逆命题不成立，即若不一定独立反例1pij-101-10181818181818181810p•j838382pi•838382,)(EEE概率论与数理统计P-101828284;0EE;)(0EEEE)(但8111),(P28311)()(PP概率论与数理统计解32()5,E333331111()(2)013321212E又1,333113(25)2()525.33EE故例9设求3(25).E20133121121121p~(;,),bknp(35),E(23).E例10若求：),,(~kP(35)E35E35,(23)E23EE33.np解525233EEE概率论与数理统计引入随机变量，则12,,,n10i，，12,,,n相互独立，1,2,,in，()iEp，1nii，故1()().niiEEnp第i次试验事件A发生，第i次试验事件A不发生，又而例11设的分布列为，求.E~(,)Bnp解概率论与数理统计解0,1,i1210.例12一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以表示停车的次数，求（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。引入随机变量，iE第i站没有人下车，第i站有人下车，1,2,,10.i则从而有209{0},10iP209{1}1,10iP1,2,,10.i因此有209()1,10iE1,2,,10.i故1210()()EE1210()()()EEE209101108.784().次