简谐振动的能量

§14-3简谐振动的能量222211sin()22KEmvmAt22211cos()22PEkxkAt动能势能以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。系统总的机械能：2222211sin()cos()22KPEEEmAtkAtPKEEE～表明简谐振动的机械能守恒。2221122EmAkA2km能量平均值20022241d)(sin211kAttAmTETK2002241d)(cos211kAttkATETP2EEEPK～对任一谐振系统均成立。谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:tAxcostxO221kAEPEkEtOE简谐振动的机械能守恒简谐振动的总能量与振幅的平方成正比例1：一质量为m的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。解:船静止时，浮力与重力平衡mghSgOyPPy船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直向下的坐标轴为y轴，船的位移用y表示。船的位移为y时船所受合力为：SgymgSgyhf)(船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为:mSggSmT22∵,ShmghT2∴§15-5同方向的简谐振动的合成一、同方向同频率的两个简谐振动的合成设：一质点同时参与沿同一方向(x轴)的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：111cos()xAt222cos()xAt合位移：12cos()xxxAt221212212cos()AAAAA11221122sinsintgcoscosAAAA合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。1A12x21AAAA矢量沿X轴之投影表征了合运动的规律。旋转矢量图示法XO2A21xx(1)当相位差21()2k同相迭加，合振幅最大。21AAA反相迭加，合振幅最小。当A1=A2时，A=0。(3)通常情况下，合振幅介于和之间。21AA21AA讨论：1A2AXO1A2AXO(0,1,2,........)k21AAA(2)当相位差21()(21)k(0,1,2,........)k求：它们的合振动的振幅和初相。解:采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示：二、多个同方向同频率简谐振动的合成设：N个同方向、同频率的简谐振动，其振幅相等，且依次间位相差恒为，N个振动表达式可写成11cosxAt22cos()xAt......cos{(1)}NNxAtNOX1A2A3A4A5APAQ因各个振动的振幅相同且相差依次恒为，上图中各个矢量的起点和终点都在以P为圆心的圆周上，根据简单的几何关系，可得OPQNOPBBR...POPBPQR120......NAAAA)cos(tAx在三角形OPQ中,OQ的长度就是和振动位移矢量的位移,角度就是和振动的初相，得:QOX2sin()2NAR02sin()2AR0sin()sin()22NAAQOBPOBPOQ111()()222NN当时(同相合成)，有00,ANA0。三、两个同方向不同频率简谐振动的合成拍11112222cos(),cos()xAtxAt设：两个简谐振动的频率和很接近，且1212212112cos()cos()22Att两个简谐振动合成得：12AA12xxx120212112cos2cos222xAtt21122因,~21112或,2有在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时间作缓慢变化,第二项是角频率近于的简谐函数。合振动可视为是角频率为、振幅为的简谐振动。1或22)(212)(cos212tA合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动出现时强时弱的拍现象。拍频:单位时间内强弱变化的次数。21212t1xt2xtx四、相互垂直的同频率的简谐振动的合成两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式消时间参数，得11cos()xAt22221212212122cos()sin()xyxyAAAA22cos()yAt～椭圆方程～椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋)在A1、A2确定之后,主要决定于。21xAAy12xAAy12几种特殊情况：(1),两个分振动同相位，得210(2),两个分振动反相位，得211222212AyAx1222212AyAx～这是坐标轴为主轴的椭圆，质点的轨迹是顺时针旋转。与(3)相同，只是质点的轨迹沿逆时针旋转。(3)，得212(4)，得2132～右旋椭圆运动～左旋椭圆运动对应不同相位差的合运动轨迹210214234543274五、两个相互垂直的不同频宰的简谐运动的合成合运动具有稳定封闭的轨迹李萨如图形讨论：相互垂直、频率成简单整数比作业：习题P3914-2214-27