浙大概率论与数理统计课件 第八章假设检验

第八章、假设检验第一节：假设检验第二节：正态总体均值的假设检验第三节：正态总体方差的假设检验第一节假设检验基本概念基本思想基本步骤两类错误假设检验参数假设检验非参数假设检验这类问题称作假设检验问题.总体分布已知，检验关于未知参数的某个假设总体分布未知时的假设检验问题在本节中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题.这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确.一、基本概念引例：已知某班《概率统计》的期末考试成绩服从正态分布。根据平时的学习情况及试卷的难易程度，估估计平均成绩为75分，考试后随机抽样5位同学的试卷，得平均成绩为72分，试问所估计的75分是否正确？“全班平均成绩是75分”，这就是一个假设根据样本均值为72分，和已有的定理结论，对EX=75是否正确作出判断，这就是检验，对总体均值的检验。判断结果：接受原假设，或拒绝原假设。表达：原假设：H0：EX=75；备择假设：H1：EX≠75二、基本思想参数的假设检验：已知总体的分布类型，对分布函数或密度函数中的某些参数提出假设，并检验。基本原则——小概率事件在一次试验中是不可能发生的。思想：如果原假设成立，那么某个分布已知的统计量在某个区域内取值的概率应该较小，如果样本的观测数值落在这个小概率区域内，则原假设不正确，所以，拒绝原假设；否则，接受原假设。拒绝域检验水平（或显著性水平）引例问题原假设H0：EX=75；H1：EX≠75假定原假设正确，则X~N（75，2），于是T统计量75~(1)XTtnSn可得275XPtSn如果样本的观测值275xtSn则拒绝H0检验水平临界值拒绝域三、基本步骤1、提出原假设H0，确定备择假设H1；2、构造分布已知的合适的统计量；3、由给定的检验水平，求出在H0成立的条件下的临界值（上侧分位数，或双侧分位数）；4、计算统计量的样本观测值，如果落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则，接受原假设。假设检验会不会犯错误呢？由于作出结论的依据是下述小概率原理小概率事件在一次试验中基本上不会发生.不是一定不发生四、两类错误第一类错误（弃真错误）——原假设H0为真，而检验结果为拒绝H0；记其概率为，即P{拒绝H0|H0为真}=第二类错误（受伪错误）——原假设H0不符合实际，而检验结果为接受H0；记其概率为，即P{接受H0|H0为假}=希望：犯两类错误的概率越小越好，但样本容量一定的前提下，不可能同时降低和。原则：保护原假设，即限制的前提下，使尽可能的小。注意：“接受H0”，并不意味着H0一定为真；“拒绝H0”也不意味着H0一定不真。检验水平H0为真实际情况决定拒绝H0接受H0H0不真第一类错误正确正确第二类错误犯两类错误的概率:显著性水平为犯第一类错误的概率.P{拒绝H0|H0为真}=P{接受H0|H0为假}=第二节正态总体均值的假设检验单个正态总体的均值检验两个正态总体的均值检验一、单个正态总体的均值检验问题：总体X~N（，2），2已知假设H0：=0；H1：≠0构造U统计量0XUn~(0,1)N由02XPunU检验法双边检验如果统计量的观测值02xUun则拒绝原假设；否则接受原假设确定拒绝域2UuH0为真的前提下1、方差已知例1由经验知某零件的重量X~N（，2），=15，=0.05；技术革新后，抽出6个零件，测得重量为（单位：克）14.715.114.815.015.214.6，已知方差不变，试统计推断，平均重量是否仍为15克？（=0.05）解由题意可知：零件重量X~N（，2），且技术革新前后的方差不变2=0.052，要求对均值进行检验，采用U检验法。假设H0：=15；H1：≠15构造U统计量，得U的0.05双侧分位数为96.1025.0u例1由经验知某零件的重量X~N（，2），=15，=0.05；技术革新后，抽出6个零件，测得重量为（单位：克）14.715.114.815.015.214.6，已知方差不变，试统计推断，平均重量是否仍为15克？（=0.05）解因为4.91.96，即观测值落在拒绝域内所以拒绝原假设。而样本均值为154.90.056xU故U统计量的观测值为14.9xH0：0；H1：0H0：0；H1：0或0XPun0XPun单边检验拒绝域为Uu拒绝域为Uu2、方差未知问题：总体X~N（，2），2未知假设H0：=0；H1：≠0构造T统计量0XTSn~(1)tn由02(1)XPtnSnt检验双边检验如果统计量的观测值02(1)xTtnSn则拒绝原假设；否则接受原假设确定拒绝域2(1)Ttn例2化工厂用自动包装机包装化肥，每包重量服从正态分布，额定重量为100公斤。某日开工后，为了确定包装机这天的工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得平均重量为99.978，均方差为1.212，能否认为这天的包装机工作正常？（=0.1）解由题意可知：化肥重量X~N（，2），0=100方差未知，要求对均值进行检验，采用T检验法。假设H0：=100；H1：≠100构造T统计量，得T的0.1双侧分位数为86.1)8(05.0t解因为0.05451.86，即观测值落在接受域内所以接受原假设，即可认为这天的包装机工作正常。而样本均值、均方差为99.9781000.05451.2129xTSn故T统计量的观测值为99.978,1.212xS例2化工厂用自动包装机包装化肥，每包重量服从正态分布，额定重量为100公斤。某日开工后，为了确定包装机这天的工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得平均重量为99.978，均方差为1.212，能否认为这天的包装机工作正常？（=0.1）H0：0；H1：0H0：0；H1：0或0(1)XPtnSn0(1)XPtnSn单边检验拒绝域为(1)Ttn拒绝域为(1)Ttn例3某种电子元件的寿命X（以小时计）服从正态分布，均未知。现测得16只元件的寿命如下：159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？2,001:225,:225.HH0.0500.66851.7531.xtsn0H0(1)xttnsn0.05(15)1.7531.t241.5,98.7259xs解：按题意需检验取。由表8.1知检验问题的拒绝域为现在n=16,又算得即得t不落在拒绝域，故接受，即认为元件的平均寿命不大于225小时。2212~0,1XYXYUNnn故对给定的检验水平得H0的拒绝域：,22212XYXYunnU双侧检验U检验法二、两个正态总体的均值检验22,XY已知，检验H0：XY1、方差已知，检验均值相等问题：2~,XXXN2~,YYYN212,,......nYYY112,,......nXXX设是X的一个样本，是Y的一个样本，则当H0由成立时解假设：01:,:XYXYHH0.02522121.51.60.491.960.2120.28xyunn因为：所以接受H0假设，即认为A、B两法的平均产量无显著差异。例4据以往资料，已知某品种小麦每4平方米产量（千克）的方差为。今在一块地上用A，B两法试验，A法设12个样本点，得平均产量；B法设8个样本点，得平均产量，试比较A、B两法的平均产量是否有显著差异。20.21.5x1.6y0.052、方差未知，但两个总体的方差相等，检验均值相等问题：2~,XXXN2~,YYYN212,,......nYYY112,,......nXXX设是X的一个样本，是Y的一个样本，未知，但知，检验H0：22,XYXY22XY1222121212()~211112XYXYXYTtnnSnSnnnnn1222121212~211112XYXYTtnnSnSnnnnn对给定的检验水平得H0的拒绝域：,T双侧检验若H0成立，则21222121212211112XYXYTtnnSnSnnnnnT检验法解假设：01:,:XYXYHH1500.8,1077.8xy2222151.3,47.0XYss0.025221500.81077.88.452.10118151.3947.0911181010t因所以拒绝H0假设，两种灯泡的平均寿命有显著差异。例5有两种灯泡，一种用A型灯丝，另一种用B型灯丝。随机抽取两种灯泡各10只做试验，测得它们的寿命（小时）为：A型：1293138016141497134016431466167713871711B型：1061106510921017102111381143109410281119设两种灯泡的寿命均服从正态分布且方差相等，试检验两种灯泡的平均寿命之间是否存在显著差异？0.05例6在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率，试验是在同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其它条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼了10炉，其得率分别为标准方法78.172.476.274.377.478.476.075.576.777.3新方法79.181.077.379.180.079.179.177.380.282.10.0521(,)N22(,)N212,,设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体和,均未知。问建议的新操作方法能否提高得率？（取）21122210,76.23,3.325,10,79.43,2.225.nxsnys012112:0,:0.HH解：需要检验假设分别求出标准方法和新方法的样本均值和样本方差如下：0H0.05(18)1.7341,111010wxytts222120.05(101)(101)2.775,(18)1.7341,10102wssst又，故拒绝域为现在由于样本观察值t＝-4.295-1.7341,所以拒绝，即认为建议的新操作方法较原来的方法为优。第三节正态总体方差的假设检验单个正态总体的方差检验两个正态总体的方差检验一、单个正态总体均值未知的方差检验问题：设总体X~N（，2），未知构造2统计量2220(1)nS2~1()n由2222122(1),(1)22PnPn如果统计量的观测值222(1)n则拒绝原假设；否则接受原假设确定临界值22122(1),(1)nn22220010:;:;HH或2212(1)n2检验假设1、双边检验例1某炼铁厂的铁水含碳量X在正常情况下服从正态分布，现对工艺进行了某些改进，从中抽取5炉铁水测得含碳量如下：4.421，4.052，4.357，4.287，4.683，据此是否可判断新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为0.1082（=0.05）？解这是一个均值未知，正态总体的方差检验，用2检验法由=0.05，得临界值假设222201:0.108;:0.108;HH220.9750.025(4)0.048,(4)11.14例1某炼铁厂的铁水含碳量X