18.-数列中存在性问题的研究(2)

专题：数列中存在性问题的研究（2）一、问题提出二、思考探究探究1：已知数列{an}中，a2＝a(a为非零常数)，其前n项和Sn满足：Sn＝n(an－a1)2(nN*).（1）求数列{an}的通项公式；（2）若a＝2，且21114mnaS，求m、n的值；（3）是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列{an}中满足nabp的最大项恰为第3p－2项?若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)证明:由已知，得a1=S1=1(a1－a1)2=0，Sn=nan2，则有Sn+1=(n+1)an+12，2(Sn+1－Sn)=(n+1)an+1－nan，即(n－1)an+1=nannN*，nan+2=(n+1)an+1，两式相减得，2an+1=an+2+annN*，即an+1－an+1=an+1－annN*，故数列{an}是等差数列，又a1=0，a2=a，an=(n－1)a.(2)法一：由21114mnaS，得n2n+11=(m1)2，显然11n且12m是方程的一组解当11n时，2211nnn，此时比2n小的平方数中最大的一项则是2(1)n，所以2(1)m2(1)n，即2211(1)nnn，得100n无解当11n时，2211nnn，此时比2n大的平方数中最小的一项则是2(1)n，所以2(1)m2(1)n，即2211(1)nnn，得3100n，整数3,2,1n逐项检验，m无整数解；法二：由21114mnaS，得n2n+11=(m1)2，即4(m1)2－(2n1)2=43，(2m+2n3)(2m－2n1)=43.∵43是质数,2m+2n32m－2n1,2m+2n30,2m－2n－1=12m+2n－3=43,解得m=12,n=11.（3）由an+bp，得a(n－1)+bp．若a0，则np－ba+1，不合题意，舍去；若a0，则np－ba+1．∵不等式an+bp成立的最大正整数解为3p－2，3p－2p－ba+13p－1，即2a－b(3a－1)p3a－b对任意正整数p都成立．3a－1=0，解得a=13，此时，23－b01－b，解得23b1．故存在实数a、b满足条件，a与b的取值范围是a=13，23b1．探究2：已知函数2211()1fxxxxx(0)x，数列数列{na}满足：1a=1，1()nnafa，（*nN），22212...nnSaaa，22212111...nnTaaa．（1）求证：11()2()()fxxfxx；(2)求nnST；（3）在数列{}nnST中是否存在不同的三项，使得此三项能成为某一三角形的三条边长？若能，请求出这三项；若不能请说明理由．【解析】（1）证明：2211()1fxxxxx，∴222211111()111xxfxxxxxxx，∴11()2()()fxxfxx．·····························································3分（2）∵1()nnafa，由（1）知11()2()()fxxfxx，∴11112()nnnnaaaa，设1nnnbaa，∵()0fx，∴0nb，∴数列{}nb是等比数列，公比为2，首项12b，数列2{}nb是等比数列，公比为4，首项214b，又22211()2nnnnaaaa，∴222122nnnSTbbbn=4(14)42(41)2143nnnn．·········8分（3）设nnncST，假设在数列{}nnST中存在三项,,kstccc（kst，*,,kstN），使得此三项能成为某一三角形的三条边长，∵2112110nnnnccaa，∴数列4(41)23nncn是递增数列，∴kstccc，∴要使,,kstccc能成为某一三角形的三条边长，需且只需kstccc，依题意1st，2kt，且3t由于kstccc12tttccc12444[(41)2(1)][(41)2(2)][(41)2]333tttttt11426012tt所以kstccc恒成立，所以在数列{}nnST中不存在不同的三项，使得此三项能成为某一三角形的三条边长．探究3：已知数列na是由正数组成的等比数列，nS是其前n项和.（1）当首项12a，公比12q时，对任意的正整数k都有12(02)kkSccSc成立，求c的取值范围；（2）判断2*21nnnSSSnN的符号，并加以证明；（3）是否存在正常数m及自然数n，使21lg()lg()2lg()nnnSmSmSm成立？若存在，请求出相应的,mn；若不存在，说明理由.解：（1）14(1)22kkS，122kkScSc即12kkcSS，代入计算得642kc，因为对任意的k恒成立，所以01c（1）符号为负证明：当1q时，222211111(2)[(1)]0nnnSSSnananaa当1q时，na是由正数组成的数列0q，则0q且1q221211121(1)(1)(1)111nnnnnnaqaqaqSSSqqq221212(1)(1)(1)(1)nnnaqqqq22112(2)(1)nnnaqqqq210naq综上，2*21nnnSSSnN为负（2）假设存在一个正常数m满足题意，则有12221000()()()nnnnnnSmSmSmSmSmSm22121(2)nnnnnnSSSmSSS(*)21212()()2()nnnnnnSSSSmSmSm212()()2()0nnnSmSmSm…2120nnnSSS21(2)0nnnmSSS由（1）得2210nnnSSS(*)式不成立故不存在正常数m使结论成立三、真题链接四、反思提升五、反馈检测1.已知数列na的前三项分别为51a，62a，83a，且数列na的前n项和nS满足222)()(21mnSSSmnmn，其中m，n为任意正整数.（1）求数列na的通项公式及前n项和nS；（2）求满足223323kaSnn的所有正整数k，n.【解答】（1）略an＝5，n＝1，2n＋2，n≥2.Sn＝n2＋3n＋1，n∈N*．(2)记S2n－32an＋33＝k2(*)．n＝1时，无正整数k满足等式(*)．n≥2时，等式(*)即为(n2＋3n＋1)2－3(n－10)＝k2.①当n＝10时，k＝131．②当n＞10时，则k＜n2＋3n＋1，又k2－(n2＋3n)2＝2n2＋3n＋31＞0，所以k＞n2＋3n.，从而n2＋3n＜k＜n2＋3n＋1.又n，k∈N*，所以k不存在，从而无正整数k满足等式(*)．③当n＜10时，则k＞n2＋3n＋1，因为k∈N*，所以k≥n2＋3n＋2.从而(n2＋3n＋1)2－3(n－10)≥(n2＋3n＋2)2.即2n2＋9n－27≤0.因为n∈N*，所以n＝1或2.n＝1时，k2＝52，无正整数解；n＝2时，k2＝145，无正整数解．综上所述，满足等式(*)的n，k分别为n＝10，k＝131.【反思】利用整数平方数的特征，用夹逼策略缩小范围，从而得到整数解．2.设数列na是各项均为正数的等比数列，其前n项和为nS，若1564aa，5348SS.（1）求数列na的通项公式；（2）对于正整数,,kml（kml），求证：“1mk且3lk”是“5,,kmlaaa这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列nb满足：对任意的正整数n，都有121321nnnnabababab13246nn，且集合*|,nnbMnnNa中有且仅有3个元素，试求的取值范围.解：（1）数列na是各项均为正数的等比数列，215364aaa，38a，又5348SS，2458848aaqq，2q，3822nnna；（2）（ⅰ）必要性：设5,,kmlaaa这三项经适当排序后能构成等差数列，①若25kmlaaa，则10222kml，1022mklk，11522mklk，1121,24mklk13mklk.②若25mklaaa，则22522mkl，1225mklk，左边为偶数，等式不成立，③若25lkmaaa，同理也不成立，综合①②③，得1,3mklk，所以必要性成立.（ⅱ）充分性：设1mk，3lk，则5,,kmlaaa这三项为135,,kkkaaa，即5,2,8kkkaaa，调整顺序后易知2,5,8kkkaaa成等差数列，所以充分性也成立.综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立.（3）因为11213213246nnnnnababababn，即123112122223246nnnnnbbbbn，（*）当2n时，1231123122223242nnnnnbbbbn，（**）则（**）式两边同乘以2，得2341123122223284nnnnnbbbbn，（***）（*）－（***），得242nbn，即21(2)nbnn，又当1n时，21232102b，即11b，适合21(2)nbnn，21nbn.212nnnbna，111212352222nnnnnnnbbnnnaa，2n时，110nnnnbbaa，即2121bbaa；3n时，110nnnnbbaa，此时nnba单调递减，又1112ba，2234ba，3358ba，44716ba，71162.………16分