函数一致连续性的判定及应用论文

数学建模论文（设计）题目函数一致连续性的判定及应用学院专业年级学号姓名xx指导教师xx成绩2007年4月19日第1页共23页函数一致连续性的判定及应用摘要：本文从函数连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。关键词：函数；连续；一致连续函数DecisionsofuniformlycontinuousfunctionandapplicationTANGYongTheSchoolofMathmaticsandStatistics,SouthwestUniversity,Chongqing400715,ChinaAbstract:Fromtheconceptandtherelationofcontinuityanduniformlycontinuityofthefunction,weresearchthemethodsofdecisionsofuniformlycontinuousfunctionindifferentkindsofintervals.Moreover,weextendsomeoftheresultstofunctionwithmanyvariablesindifferentregion.Keywords:function;continuity;uniformlycontinuity1.引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。函数()fx在某区间内连续，是指函数()fx在该区间内每一点都连续，它反映函数()fx在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数()fx在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数()fx的变化趋势及性质。因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，作为教材内容的适当扩展和补充，本文做了以下几点讨论：2.函数连续与一致连续的关系2.1函数连续与一致连续的区别2.1.1函数连续的局部性第2页共23页定义1函数()fx在某0x内有定义，则函数()fx在点0x连续是指，0，0，使得当0xx时，有0()()fxfx。（2-1）那么，函数()fx在点0x处连续，是否意味着()fx在0x的邻域内连续呢？或者说其图象在此邻域上连绵不断呢？回答是否定的。如函数()yxDx只在0x连续；函数(1)(2)()yxxDx仅在12xx，两点连续；又如函数2sin0()00xxyfxxx，，，，（2-2）容易证明这个函数在任意点是连续的，但是我们却不能一笔画出函数在0x的任意小邻域内的图形。上述例子表明“连续”仅仅是一个局部概念，不能仅从字面去理解()fx在0x连续。当且仅当()fx在0x的邻域0(,)x内每一点都连续，才能说()fx在0x的邻域内连续。函数在点0x处连续的定义不能完全反映“连续”二字的本意，这确实是个遗憾，但是，如果在连续点0x的函数值0()0fx，那么上述例外情形就不会发生了，有如下命题命题设()fx在0x连续，且0()0fx，则一定存在0x的某个邻域，使()fx在此邻域内连续。证明:因()fx在点0x连续，即00,0,(;)xx使得，都有0()()2fxfx。（2-3）现对0(;)xx，由（2-3）显然有0()()2fxfx，（2-4）又0()0fx，当充分小时，由局部保号性有0()()0fxfx，（2-5）即()0fx，从而有第3页共23页00()()()()()()fxfxfxfxfxfx。（2-6）可见()fx在x连续，由x的任意性，知()fx在0x的邻域内连续。因此，函数的连续性是一种按点而言的连续性，它仅仅反映了函数在区间上一点附近的局部性质。2.1.2函数一致连续的整体性连续函数以它具有一系列良好的性质而成为数学分析研究的主要对象，然而在连续函数中，又以一致连续的函数最为重要。因此，判定一个函数在其定义域内是否一致连续，是数学分析的一个重要内容之一。定义2设函数()fx在区间I上有定义，若对0，()0，,xxI，只要xx，就有()()fxfx，（2-7）则称函数()fx在区间I上一致连续。定义中的“一致”指的是什么呢？只要与函数()fx在区间I上连续的定义进行比较，不难发现，连续定义中的，不仅仅依赖于，还依赖于点0x在区间I中的位置，即0(;)x；而()fx在I上一致连续是指，存在这样的，它只与有关而与0x在区间I中的位置无关，即()。也就是说，如果函数()fx在区间I上连续，则对任意给定的正数，对于I上的每一点0x，都能分别找到相应的正数，使得对I上的任意一点x，只要0xx，就有0()()fxfx，其中0(;)x。对于同一个而言，当0x在I上变动时，的大小一般也随着改变，即依赖于0x。如图1，在曲线比较平坦的部分所需的远比在曲线比较陡峭的部分所需的大得多。如果的大小只与给定的有关，而与点0x在I上的位置无关，那么这时()fx就在I上一致连续。可见“一致”指的就是存在适合于I上所有点x的公共，即()。直观地说，()fx在I上一致连续意味着：不论两点x与x在I中处于什么位置，只要它们的距离小于，就可以使()()fxfx。第4页共23页这里可能会产生这样的疑问：既然对I中每一个点0x都能找出相应的0;x，那么取这些0;x的最小者或者是下确界作为正数，不就能使其与点0x无关了吗？事实上，这不一定能办得到。因为区间I中有无穷多个点，从而一般地也对应着无穷多个正数0;x，这无穷多个正数却未必有最小的正数或取下确界为零。所以，()fx在区间I上一致连续，反映出()fx在I上各点“连续”程度是否步调“一致”这样一个整体性质。2.2函数连续性与一致连续性的联系函数()fx在区间I上连续与一致连续是两个不同的概念，但它们之间也有联系。有如下结论（1）函数()fx在区间I上一致连续，则()fx在I上连续。这个命题的证明是显然的，我们只须将其中的一个点（x或x）固定即可，但这个命题的逆命题却不一定成立。例1证明函数1yx在(0,1)内不一致连续（尽管它在(0,1)内每一点都连续）。证明:取01，对0（充分小且不妨设12），取,2xx，则虽然有2xx，（2-8）但1111xx。（2-9）所以函数1yx在(0,1)内不一致连续。那么应具备什么条件，在I上连续的函数()fx才在I上才一致连续呢？（2）在闭区间,ab上连续的函数()fx在,ab上一致连续。这是著名的G.康托定理。闭区间上连续函数的这一性质对研究函数的一致连续性十分重要，由它我们可以推出许多重要的结论。注1对函数的一致连续性概念的掌握，应注意以下三个方面：（1）函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系。（2）函数一致连续的实质，是区间上任意两个彼此充分靠近的点的函数值的差的第5页共23页绝对值可以任意小，即对,xxI，当xx时，就有()()fxfx。（2-10）（3）函数一致连续的否定叙述：设函数()fx在区间I上有定义，若00，使0，总,xxI，虽然有xx，（2-11）但是0()()fxfx，（2-12）则称函数()fx在区间I上非一致连续。总的来说，我们可以在一点处讨论函数的连续性，却不能在一点处讨论函数的一致连续性。函数的连续性反映的是函数的局部性质，而函数的一致连续性则反映的是在整个区间上的整体性质。3.一元函数一致连续性的判定及应用3.1一元函数在有限区间上的一致连续性由于用函数一致连续的定义判定函数()fx是否一致连续，往往比较困难。于是，产生了一些以G.康托定理为基础的较简单的判别法。定理1（Contor定理）若函数()fx在,ab上连续，则()fx在,ab上一致连续[4]。这个定理的证明方法很多，在华东师大版数学分析上册中，运用了有限覆盖定理和致密性定理来分别证明，本文选用闭区间套定理来证明。分析：由函数一致连续的实质知，要证()fx在,ab上一致连续，即是要证对0，可以分区间,ab成有限多个小区间，使得()fx在每一小区间上任意两点的函数值之差都小于。证明：若上述事实不成立，则至少存在一个00，使得区间,ab不能按上述要求分成有限多个小区间。将,ab二等分为0,ac、0,cb则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小区间，记为11,ab；再将11,ab二等分为11,ac、11,cb依同样的方法取定其一，记为22,ab；......如此继续下去，就得到一个闭区间套,nnab，n=1，第6页共23页2，…，由闭区间套定理知，存在唯一一点c满足limlimnnxxcab（2-13）且属于所有这些闭区间，所以,cab，从而()fx在点xc连续，于是0，当xc(,)xab时,就有0()()2fxfc。（2-14）又由（2-13）式，于是我们可取充分大的k，使,kkacbc,从而对于,kkab上任意点x，都有xc。因此，对于,kkab上的任意两点,xx，由（2-14）都有000()()()()()()22fxfxfxfcfcfx。（2-15）这表明,kkab能按要求那样分为有限多个小区间，这和区间,kkab的取法矛盾，从而得证。注2定理1对开区间不成立。例如函数1()fxx在0,1内每一个点都连续，但在该区间并不一致连续。G.康托定理告诉我们：函数()fx在闭区间,ab上一致连续的充要条件是()fx在,ab上连续，所以在闭区间,ab上连续的函数必定一致连续，然而对于有限开区间和无限区间，则结论不一定成立。阻碍由区间连续性转变为区间一致连续性有两种情况：（1）对于有限开区间，这时端点可能成为破坏一致连续性的点。（2）对于无限区间，这时函数在无穷远处也可能破坏一致连续性。虽然如此，我们对于破坏一致连续性的有限开区间的端点或无穷远点附加一定的限制条件，G.康托定理也可以推广到有限开区间和无限区间。定理2函数()fx在,ab内一致连续()fx在,ab连续，且lim()xafx与lim()xbfx都存在。证明：若()fx在,ab内一致连续，则对120,0,,,xxab，当12xx时，有12()()fxfx，（2-16）第7页共23页于是当12,(,)xxaa时，有12()()fxfx。（2-17）根据柯西收敛准则，极限lim()xafx存在，同理可证极限lim()xbfx也存在，从而()fx在,ab连续，lim()xafx与lim()xbfx都存在。若()fx在,ab连续，且lim()xafx和lim()xbfx都存在，则令(0),,()(),,,(0),,faxaFxfxxabfbxb（2-18）于是有()Fx在闭区间,ab上连续，由Contor定理，()Fx在,ab上一致连续，从而()fx在,ab内一致连续。根据定理2容易得以下推论：推论1函数