04功和能习题解答

第四章功和能一选择题1.如图所示，A、B两颗卫星在同一圆形轨道上运行，其质量分别为mA=100kg,mB=200kg,A的速度为vA=7.0103ms–1，则A和B的动能之比为：（）A.2:1B.2:1C.1:2D.1:2解：答案是D。简要提示：RmRGMmRmRGMmBBBAAA2222vv，所以vA=vB，动能之比即为质量之比mAmB=1:2。2.如图所示，足够长的木条A置于光滑水平面上，另一木块B在A的粗糙平面上滑动，则A、B组成的系统的总动能：（）A.不变B.增加到一定值C.减少到零D.减小到一定值后不变解：答案是D。简要提示：B在A的粗糙平面上滑动，摩擦力最终使B相对于A静止下来，摩擦力是非保守内力，根据功能原理，它做的功使系统的总动能减少。当B相对于A不动时，摩擦力就不再做功。3.一辆汽车从静止出发，在平直公路上加速前进时，若发动机功率恒定，则正确的结论为：（）A.加速度不变B.加速度随时间减小C.加速度与速度成正比D.速度与路径成正比解：答案是B。简要提示：在平直公路上，汽车所受阻力恒定，设为f。发动机功率恒定，则P=Fv，其中F为牵引力。由牛顿运动定律得vmfF，即：fP/m-vv。所以，汽车从静止开始加速，速度增加，加速度减小。4.一条长为L米的均质细链条，如图所示，一半平直放在光滑的桌面上，AB选择题2图地AB选择题1图另一半沿桌边自由下垂，开始时是静止的，当此链条末端滑到桌边时（桌高大于链条的长度），其速率应为：（）A．gLB．gL2C．gL3D．gL321解：答案是D。简要提示：运动过程中机械能守恒，则以桌面为零势能点，初始时机械能为MgL81，其中M为链条的质量；链条末端滑到桌边时机械能为MgLM21212v。两者相等，得：gL321v5.人造卫星绕地球作圆周运动，由于受到稀薄空气的摩擦阻力，人造卫星的速度和轨道半径的变化趋势应为：（）A.速度减小，半径增大B.速度减小，半径减小C.速度增大，半径增大D.速度增大，半径减小解：答案是D。简要提示：由于阻力做负功，根据功能原理可知系统的机械能将减少。功能原理可写成rrGMmmrGMmmEEEdd)21(d)(ddd22pkvvvrf圆周运动动力学方程为22rGMmrmv，即rGMmm2v。对此式两边求微分得到rrGMmmdd22vv利用上式，可将功能原理表示成rrGMmrrGMmrrGMmd2dd2d222rf还可将功能原理表示成vvvvvvdd2ddmmmrf因为0drf，所以dr0，dv0。即人造卫星的速度和轨道半径的变化趋势应为速度增大、半径减小。6.一颗卫星沿椭圆轨道绕地球旋转，若卫星在远地点A和近地点B的角动量与动能分别为LA、EkA和LB、EkB，则有：（）选择题4图地球BA选择题6图A.LBLA，EkBEkAB.LBLA，EkB=EkAC.LB=LA，EkBEkAD.LB=LA，EkB=EkA解：答案是C。简要提示：由角动量守恒，得vBvA二填空题1.一摆长为L，摆球质量为m的单摆，在重力作用下摆动，摆动过程中，假设可忽略空气阻力，起初最大摆角为0，当单摆摆经竖直位置的瞬时，摆长缩短为l，则缩短后的单摆的最大摆角等于__________。解：答案是)]cos1(1arccos[033lL简要提示：当摆球从最大摆角处摆到竖直位置的过程中，机械能守恒，设摆球刚到达竖直位置的速率为v，则有)cos1(2102mgLmv在竖直位置摆长由L缩短为l的瞬时，摆球所受到的重力和摆线的拉力均沿竖直方向，因此摆球在此瞬间对悬挂点的角动量守恒，设摆长缩短为l时的速率为v，则有vvmlmL当摆球以l为摆长摆动的过程中，机械能也是守恒的，即)cos1(212mglmv利用前二式，可将第三式写成)cos1(cos1033lL解出最大摆角)]cos1(1arccos[033lL2.质量分别为m和M的两个粒子开始处于静止状态，且彼此相距无限远，在以后任一时刻，当它们相距为d时，则该时刻彼此接近的相对速率为。解：答案是dmMG)(2简要提示：设质量为m和M的两个粒子当它们相距为d时的速率分别为v1和v2，显然速度的方向相反。在它们运动过程中只受到相互间的万有引力作用，因此系统的机械能和动量均守恒。根据题意，相距无限远时系统的总能量为零。因此有021212221dGMmMmvv21vvMm从以上两式解出)(221mMdGMv因此两个粒子彼此接近的相对速率为dmMGmMdGMMmMMmMMm)(2)(2211121vvvvv3.如图所示，一质量为m1的托盘挂在一劲度系数为k的轻弹簧下端，一质量为m2的粘土块从离盘底高h处自由落下，假定落在盘底不回跳，则托盘离开其平衡位置的最大距离为。解：答案是])(211[22gmmkhkgm简要提示：托盘在平衡位置时轻弹簧伸长：kgmx11粘土块落到盘底时的速率为：gh20v设托盘和粘土块在平衡位置的速率为v，vv)(2102mmm设托盘离开平衡位置的最大距离为x2，则由机械能守恒定律22121221221)(2121)()(21xxkkxgxmmmmv由以上各式联立求解，得到最大距离])(211[222gmmkhkgmx填空题3图km2m1h4.如图所示，一质量为m的物体位于质量可以忽略的直立弹簧上方高度为h处，该物体从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k，若不考虑空气阻力，则物体可能获得的最大动能为。解：答案是kgmmghE222kmax简要提示：以弹簧的平衡位置为原点，选该点为重力势能能点，则物体初始的机械能为mgh。物体与弹簧接触后，弹簧被压缩，物体的机械能守恒：mghEkymgyk221由0ddkyE，得：kmgy；kgmmghE222kmax5.一质量为2kg的物体与另一原来静止的物体发生弹性碰撞后仍沿原方向继续运动，但速率仅为原来的四分之一，则被碰撞物体的质量为。解：答案是1.2kg简要提示：由弹性碰撞的速度公式：21202102112)(mmmmmvvv得：kg2.15312mm6.逃逸速率大于真空中光速的天体称为黑洞，设黑洞的质量等于太阳的质量，为2.0×1030kg，引力常数为G=6.67×10–11Nm2kg–1，真空光速c=3.0×108ms–1，则按经典理论该黑洞可能的最大半径为m。解：答案是2.96×103m简要提示：由第二宇宙速度公式，物体要脱离太阳引力所需的速度为：RGM22v，其中M为太阳的质量。令v2等于光速c，得到：m1096.2/232cGMR7.横截面积为S的理想流体以水平流速v射向竖直挡板，设流体在挡板上并不反跳，则流体对挡板的正压力为。解：答案是v2S简要提示：由流体的反作用力公式(4.6.4)，流体对竖直挡板的正压力为：mh填空题4图oySSQF2)0()0(vvvv三计算题1.质量为2kg的物体由静止出发沿直线运动，作用在物体上的力F随时间t变化的规律是F=4tN，方向始终不变。试求在最初2s内，力F所作的功。解：利用牛顿第二定律F=ma，积分1200000sm4d240ddtttmFtattvvvt根据动能定理，力F所作的功(J)16422121212122202ttmmmWvvv2.用铁锤把钉子敲入木板，设钉子受到的阻力与钉子打入的深度成正比。第一次打击，能把钉子打入木板1cm，如第二次打击时，保持第一次打击钉子时的速度，求第二次钉子打入的深度。解：阻力与深度成正比，有F=kx，两次敲击钉子的条件相同，钉子获得的动能也相同，所以阻力对钉子作的功相同：xxkxxkx01.001.00dd得：0.41cmm0041.0x3.质量为2×103kg的子弹以500ms–1的速率水平飞出，射入质量为1kg的静止在水平面上的木块，子弹从木块穿出后的速率为100ms–1，而木块向前滑行了0.2m。求：（1）木块与平面间的摩擦因数；（2）子弹动能和动量的减少量；（3）子弹穿出瞬间木块的动能。解：（1）设子弹和木块的质量分别为m和M，根据系统动量守恒mv0=MV+mv，得木块在子弹穿出后的速率为)s(m8.01)100500(102)(130MmVvv由功能原理2k210MVEMgxfxM得163.02.08.9264.022gxV（2）子弹动能减少(J)240)100500(10221)(21223220kvvmEm子弹动量减少：)sm(kg8.0)100500(102)(130vvmp（3）子弹穿出瞬间木块的动能(J)32.08.01212122kMVE4.某封闭力学系统除受到一摩擦力外，受到的其它力均为保守力，求证：该系统在任一时刻机械能的损耗率等于该时刻摩擦力fr与速率v的乘积，即vrftEEd/)(dpk解：设系统的初始机械能为E0，在任一时刻机械能为(Ek+Ep)，摩擦力fr做的功为frs，因为封闭的力学系统能量守恒，即constEsfEEr0pk对上式求导0)(ddpksfEEtr即tsfstfsftEEtrrrdddd)(dd)(ddpk因fr与时间无关，即0ddtfr，这样就得到vrrftsfEEtdd)(ddpk5.如图所示，一质量为m的钢球，系在一长为R的绳一端，绳另一端固定，现将球由水平位置静止下摆，当球到达最低点时与质量为M，静止于水平面上的钢块发生弹性碰撞，求碰撞后m和M的速率。解：球下摆过程中机械能守恒mgR=mv2/2球速率gR2v碰撞前后动量守恒，设碰撞后m和M的速率分别为v1和v2，所以mv=mv1+Mv2因为发生弹性碰撞，所以碰撞中动能是守恒的计算题5图OmmmRM22212212121vvvMmm联之解得gRMmMmMmMm21vvgRMmmMmm2222vv6.劲度系数为360Nm–1的弹簧，右端系一质量为0.25kg的物体A，左端固定于墙上，置于光滑水平台面上，物体A右方放一质量为0.15kg的物体B，将A、B和弹簧一同压缩0.2m，然后除去外力，求：(1)A、B刚脱离时B的速度；(2)A、B脱离后，A继续向右运动的最大距离。解：(1)物体AB一起运动，机械能守恒，当两物体运动到弹簧平衡位置时，两物体分离，此时两物体的速度v为：221)(2121vBAmmkx11sm0.6)(BAmmkxv(2)物体A向右运动的最大距离x2为：2222121vAmkxm158.02kmxAv7.一质量为m的运动粒子与一质量为km的静止靶粒子作弹性对心碰撞，求靶粒子获得最大动能时的k值。解：根据动量守恒210vvvkmmm（1）根据动能守恒222120212121vvvkmmm（2）由（1）式得到v1=v0kv2，代入（2）式2222020)(vvvvkk1202kvv靶粒动能20k)12(21kkmEv要使Ek最大，则0ddkkE则有当k=1时，Ek最大。8.如图所示，两根绳上分别挂有质量相等的两个小球，两球碰撞时的恢复AB计算题6图系数e=0.5。球A由如图所示的静止状态释放，撞击球B，刚好使球B到达绳成水平的位置，试证明球A释放前的张角应满足cos=1/9。证：设球到达最低点速率为v，则有)cos1(2212lmgmv得到)cos1(4glv设碰撞后两球速率为vA、vB，则有5.0vvvABe2vvvAB由动量守恒mvB+mvA=mv由以上两式联立解得vv43BB在碰撞后的运动中机械能守恒mglmB221v即mglglm)cos1(416921解得91cos9.质量为m的