凝聚态物理学基础知识讲座2

三、固体中的有相互作用电子气体——集体效应1.模型：采用固体凝胶模型1221122220,022ˆˆˆ24ˆˆˆˆ2kkkqkqpqpkkpkHaameaaaaVq2.单电子近似的困难：因为晶体中电子－电子的二体库仑相互作用很强，故：I.体系会显示集体效应——出现元激发。II.体系能量有相关能部分。3.元激发I.体系的能量靠近基态的低激发态，往往可以看成是独立基本激发单元（就是元激发或准粒子）的集合。II.元激发大体分两类：a)集体激发的准粒子，例：声子，磁振子，等离子体激元。b)分别激发的准粒子，例：屏蔽电子，极化子。III.看成元激发的重要性－作用4.金属中有相互作用电子气体的一种集体效应——元激发：等离子激元（等离子体集体振荡量子）。I.电子系的电子数密度算符用来描述固体中电子气体（电子数）的密度起伏ˆˆˆrrr1ˆˆˆ,qkqkkaaV其傅立叶变换是集体激发II.的本征值方程：ˆq22200ˆˆˆˆ,,ˆˆˆˆ,,4ˆˆ......qqqqqqHHHem长波极限q式中是的本征值则有说明：①：电子系的平均密度②证实：存在电子密度起伏即等离子体振荡。振荡频率：③式中不能出现，是经典频率等离子体频率：000ˆˆˆ,q其中22004em＝2204PLem＝④元激发稳定。⑤对于良导体：⑥是纵振荡——只涉及电场的散度。⑦因为电导过程驰豫时间即，故可略去阻尼力表明：等离子体振荡是没有碰撞的情况下存在的一种集体运动。010PLeV121611010p－秒，秒1pIII.对于一般非情况，有由长波极限下每个电子的运动方程作修正：得0q222220315:PLFPLqqq即色散关系2220222220444qmxenxenxqxmenqm附：经典考虑由长波极限下每个电子的运动方程作修正：得IV.等离子体集体振荡量子的稳定激发存在于区域：V.VI.VII.因为等离子波必须只有当其波长大于电子之间的距离才能存在。20,,1,ccccqqqnm为金属中两个电子的平均距离V.作图VI.Bohm-Pines在1951-1953年提出：∆电子气体中电子－电子之间的二体库仑相互作用会引起电子之间的长程关联运动∆电子气体以电子密度集体振荡的方式来体现电子－电子之间二体库仑相互作用的长程效应。电子气体的等离子集体振荡能量量子——元激发（准粒子）称为：等离子激元(plasmon)，是玻色子。5.金属中,由相互作用电子气体的一种分别元激发——电子－空穴对。I.电子－空穴对算符，是分别激发算符，定义为：II.的本征值方程：ˆˆˆqkkqkaaˆqkˆˆˆ,qkqkqkHIII.采用固体的凝胶模型：①如果讨论的是自由电子系，其哈密顿量，则严格运算有：0ˆˆˆHHH0ˆH2222022220ˆˆˆ,2222qkqkqkkHkqmmkkqmm式中＝是自由电子系分别元激发——电子空穴对的能量②如果讨论的是有相互作用电子气体，哈密顿量，则两边求和，再消去，得ˆH202ˆˆ,4ˆˆˆqkqkqkkkqqqkqkHennVq近似＝＝kˆq22041kqkkqkqknneVq用作图法求解IV.近似：分别元激发——电子－空穴对的能量近似取为0qk20202200qkqkqkqmq：色散关系时，＝作图6.金属中，有相互作用电子气体的另一种集体效应——元激发：准电子（受屏蔽电子）I.电子系中电子－电子的二体库仑相互作用所剩的短程作用部分表现为电子被正电荷空穴屏蔽，形成准电子。II.由2202244ijrrriqrqqijqeeVerrreVq记，式中可见：电子系中电子－电子间的二体库仑势的傅立叶展开中的长波部分已用于产生等离子激元，故库仑势傅立叶展开中只剩下短波成分了，即0cqq22322202442sin21cccciqriqrqqqqrqreeeVredqqqqredqrrqreer短程III.结论：①单电子库仑势为屏蔽库仑势：其作用表现在的尺度内。②Friedel振荡：表明：任一电子电荷（－e）周围的屏蔽正电荷密度在空间也是振荡的。cqreeV1/cq2232222222222003442222cos2/cciqriqrqqqiqriqrccFFreeeVredqqqeeeedqdqqqqqqSkkrr短程很大③屏蔽的物理实质：∆0ccqqqq电子系中电子－电子之间二体库仑相互作用确实已经用去了的长波部分——这是长程作用。只剩下的短波成分——这是短程作用。故：电子系中电子－电子之间的二体库仑相互作用只存在剩下的短程作用部分——这就是屏蔽库仑作用。∆由于电子运动的关联效应（电子系的密度起伏），感生出相关空穴，电子将排斥开周围其他电子而形成一个随这个电子运动的正电荷空穴（半径）∆介质极化说法我们所讨论的体系由其哈密顿量表征，固体凝胶模型的式中完全没有正电荷，何来正电荷的屏蔽。单电子的屏蔽库仑势产生的机制：由外部引进一个试探电荷Q到自由电子气（电子密度，为均匀分布）中，1cqˆHˆH0n常量使电子位置调整，达到平衡后的电子数密度为。电子密度调整会产生感生电势，并满足泊松方程：nr20000011,4rrenrenQrrQrrrrr感生外外感生于是试探点电荷在点产生的电势为＝0,FFnrfergdfeerfferferfernrnrnergE式中当是小量时为代入中有④准电子：金属中，每一个电子带着一个正电荷（相关）空穴一起运动的一个准粒子，称为一个准电子，仍是费米子。2022001,4cFqrcFQregEQeeqgErQ2泊松方程：rr解得：r*1.试探电荷固体中电子*2.自由电子气固体中有相互作用电子气*3.电子位置调整电子系密度起伏7.金属中，有相互作用电子气体的再一种集体激发——自旋波（同时也有分别对激发）I.金属三维电子气体中存在有自旋波∆铁磁性金属（例：镍）：有自旋波量子∆顺磁性金属（例：钯）：有顺磁自旋波量子II.电子系自旋密度算符11ˆˆ2ˆˆ11ˆˆ21ˆˆˆˆ2jjNjjiqrqiqrrjqNiqrjNkkqkSrrrSrsqerreNSqeNSqaaV由及得同上,,,,,,,,,,,,1ˆˆˆˆ21ˆˆˆˆˆ21ˆˆˆ1ˆˆˆkqkkzkqkkqkkkqkkkqkkSqaaVSqaaaaVSqaaVSqaaV＋取用：ˆˆˆxySqSqiSq其中代表横向自旋密度起伏，用于描述金属中的自旋波III.采用固体凝胶模型，体系哈密顿量为IV.式中①是电子－电子之间的一种有效相互作用，例如引起铁磁性，不必须是纯库仑作用。②设体系的基态是已磁化的，总电子数qV12211222,,0ˆˆˆ21ˆˆˆˆ2kkkqkqpqpkkqqkHaamVaaaaNNIV.现在，替代V.这里取用算符VI.物理意义：会引起体系产生一个波矢为的自旋波元激发。,,1ˆˆˆkqkkSqaaV,,ˆˆˆˆqkkqkkqkkkBaaBˆqBqV.的本征值方程：ˆqBˆˆˆ,,ˆˆˆ,qqqqkqqkqkkkHBBHBB是集体激发：自旋波量子的能量即V.（续）将代回的本征值方程，再使各的系数相等，有ˆqBˆˆ,qkHBˆqkB,,,,,,ˆˆˆˆˆˆqkqkkkqkqqkkqqkqkqqqkqkkkqkkkVnnnnVNVNVnn即：,,,,ˆˆˆˆ1kqkkqkqkkqkkqkqkqnnVNVNnnVVNVN两边乘以－，再两边求和得－可图解求自旋波量子的能量VI.在长波范围内的色散关系,,2,,,,ˆˆ1[1]ˆˆ1ˆˆkqkqkqkkqkqkqkqkkkqkkqkknnNNVNNVNNnnNNVNNnnNNVNN－－－故2242,,2222ˆˆ2221kqkqkkqnnqkqNNmmVNNqqmVV－与关联，VII.物理图像：由描述电子右旋圆偏振横向自旋波，电子自旋在x－y平面上右旋，自旋波沿z轴传播。ˆSq8.自旋分别对激发——Stoner元激发I.II.III.会使体系产生一个分别对激发II.的本征值方程：,,ˆˆˆqkkqkBaaˆqkB,,,,,ˆˆˆˆ,ˆˆˆˆˆˆqkqkqkkqkqkRPAqkqkqqqkkqkqkqqHBBBVnnBnnB近似III.得一个分别对激发的能量式中①设各相同，记为②略去非对角项：即项qkkqkVNNqVV,ˆqkqBIV.作图9.电子系的相关能I.*定义①②体系中自旋反平行的电子－电子之间二体库仑作用的交换能③,EEE体系基态体系基态精确能H-F近似能－称为相关能0,E称为相关能RPAHFEEE基基II.*记入相关能的作用：例如改进晶体结合能的理论计算。III.*微扰计算失效采用固体凝胶模型作微扰计算是二级修正，有IV.发散，并且在三级修正以及所有高阶修正中，微扰计算均程：长波发散。00ˆˆˆˆˆeeeHHHHH动交换02lnqEq10.电子系的基态相关能I.采用固体的凝胶模型，但：有二体库仑交换作用的电子系应视为——有短程相互作用的准电子系与等离子体激元系之集合。II.体系的哈密顿量2221022222112ˆ14ˆ22!ˆ141422!2!ˆˆˆijijijccNNiqrriiijqNNNiqrriqrriiijqqijqqplepleplpeHemqpeeeemqqHHH式中III.将哈密顿量写为222,022,014ˆˆˆˆˆ2!12ˆˆ2ccplqqqqqqqqqqqqqqeHPPQQNqNebbq0201ˆˆˆ,ˆˆˆˆ,2NipliHHHpHHHVm短程IV.零级：①基态零级波函数为式中②基态零级能量为00iqrQ＝2