高中数学：任意角的三角函数-课件

1.2.1任意角的三角函数1.复习引入我们已经学习过锐角的三角函数，如图：你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗?sinBCAACcosABAACtanBCAABABC设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.α的终边上任意一点P的坐标为(a,b),它与原点的距离是_______________过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为___线段MP的长度为___2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数220rabMyxOαP(a,b)abMyxOαP(a,b)sin,cos,tanMPbOMaMPbOPrOPrOMaP(a,b)MA(1,0)xyα1将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上sin,cos,tanMPbOPOMaOPMPbOMa以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆P(x,y)A(1,0)xyα3.利用单位圆定义任意角的三角函数设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=xyx(3)叫做α正切,记作tanα,即tan0yxx2kkZ4.三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系三角函数可以看成自变量为实数的函数51.3例求的正弦、余弦和正切值yxBA53O13,225sin33215cos3235tan35=3AOB解:在直角坐标系中,作出5.典型例题练例2已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值解:220345OP设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、P0作x轴的垂线MP、M0P0,则0004,,3,MPMPyOMOMxyxOMM0P0(-3,-4)P(x,y)000sin14;5MPyyOPMPOP003cos;15OMOMxxOPOPsin4tancos3yx知道α终边上任意一点P(x,y),就可以求出角α的三角函数值.yxOMP(x,y)αsin,MPxOPrtanMPyOMxcos,OMyOPr22rxy练6.三角函数的定义域sincostanyyxx三角函数定义域sinαcosαtanαRR},2|{Zkk根据三角函数的定义,研究三角函数值在各个象限的符号-+++++sincostanyyxx-----+sincostanyOxOxyOxy口诀：一全正二正弦三正切四余弦例3求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ为第三角限角sin0,tan0.①②证明:如果①②式都成立,那么θ为第三象限角.若sinθ0,那么θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y轴的非正半轴上又若tanθ0,那么θ角的终边可能位于第一或第三象限.因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限.于是θ为第三象限角可以把求任意角的三角函数值.转化为求0到2π(或0°至360°)角的三角函数值.7.终边相同的角的同一种三角函数值相等sin2sincos2costan2tan.kkkkZ其中诱导公式一角α终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现例4确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:1cos250;2sin;43tan672;4tan3.解:(1)因为250°是第___象限角,所以cos250°0(2)因为是第____象限角,所以(3)因为tan(-670°)=tan(48°-2×360°)=tan48°而48°是第一象限角,所以tan(-672°)0(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ=0三4sin04四练例5求下列三角函数值9111sin148010;2cos;3tan.46:1sin148010解sin40104360sin40100.645192cos4cos242cos42113tan6tan263tan63练习1..____________tan600o的值是D3D3C33B33A.....________,0cossin在则若θθθ第二、四象限第一、四象限第一、三象限第一、二象限.D.C.B.A练习2.B____0sin20cos边在的终则若θθ，且第二象限第四象限第三象限第一象限.D.C.B.A练习3.CyxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)1.下面从图形角度认识一下三角函数角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M.|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|思考(1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定:当线段OM与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有负值x.OM=x=cosα当角α的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定:当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y;当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y.MP=y=sinα(2)你能借助单位圆,找到一条如OM、MP一样的线段来表示角α的正切吗?思考TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)T过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与α的终边或其反向延长线相交于点T.tanMPOMATyATOAx这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线yxTMOPα的终边A(1,0)当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角α的正切值不存在.例题求证：当为锐角时，．tansin1.任意角的三角函数的定义。2.明确各种三角函数的定义域。3.掌握各种三角函数在不同象限的正负情况.小结单位圆：圆心在原点，半径等于单位长度的圆。三角函数线：用有向线段的数量来表示。sincostanMPOMATOxyPMAT规律：三角函数线是有向线段的数量，要分清起点、终点。1）凡含原点的线段，均以原点为起点；2）不含原点的线段，线段与坐标轴的交点为起点；3）正切线AT：起点A一定是单位圆与轴的非负半轴的交点，终点T为终边（或延长线）与过A的圆的切线的交点练习利用三角函数的定义求的三个三角函数值7631,22yxA(1,0)76O解:如图与单位圆的交点为7631,2271sin62y73cos62x73tan63yx返练习已知角θ的终边过点P(-12,5),求角θ的三角函数值解:222212513rxy5sin13yr12cos13xr5tan12yx返口答:设α是三角形的一个内角,在sinα,cosα,tanα,tan(α/2)那些可能取负值?0,0,22sin0,tan022cos0,tan0确定下列三角函数值的符号1sin156162cos53cos450174tan845sin36tan5560cos2cos055cos450720cos270077tan3tan08842sin2sin033tan360196sin1960练习返tan196o0填表:角α0°90°180°270°360°角α的弧度数sinαcosαtanα023220101001001010A．B．C．D．反馈训练03，P（1）若角终边上有一点，则下列函数值不存在的是（）．sincostancot（3）若角的终边过点，且，53sinmm524cosmm________m（2）若，都有意义，则．8，aP53cos________a则．