飞机观测数据修正模型

优化建模飞机观测数据修正模型例飞机在飞行过程中，能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的信息，根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。如图所示，VOR是高频多向导航设备的英文缩写，它能够得到飞机与该设备连线的角度信息；DME是距离测量装置的英文缩写，它能够得到飞机与该设备的距离信息。图中飞机接收到来自3个VOR给出的角度和1个DME给出的距离(括号内是测量误差限)，并已知这4种设备的x，y坐标(假设飞机和这些设备在同一平面上)。如何根据这些信息精确地确定当前飞机的位置？优化建模0yxVOR2x=629,y=375309.00(1.30)864.3(2.0)飞机x=?,y=?VOR1x=764,y=1393161.20(0.80)VOR3x=1571,y=25945.10(0.60)北DMEx=155,y=987图飞机与监控台优化建模问题分析记4种设备VOR1、VOR2、VOR3、DME的坐标为(xi,yi)(以km为单位)，i=1,2,3,4；VOR1、VOR2、VOR3测量得到的角度为i(从图中可以看出，按照航空飞行管理的惯例，该角度是从北开始，沿顺时针方向的角度，取值在00~3600之间)，角度的误差限为i，i=1,2,3；DME测量得到的距离为d4(km)，距离的误差限为4。设飞机当前位置的坐标为(x,y)，则问题就是由下表的已知数据计算(x,y)。xiyi原始的i(或d4)iVOR17461393161.20(2.81347弧度)0.80(0.0140弧度)VOR262937545.10(0.78714弧度)0.60(0.0105弧度)VOR31571259309.00(5.39307弧度)1.30(0.0227弧度)DME155987864.3(km)2.0(km)优化建模模型1及求解图中角度i是点(xi,yi)和点(x,y)的连线与y轴的夹角(以y轴正向为基准，顺时针方向夹角为正，而不考虑逆时针方向的夹角)，于是角度i的正切iiiyyxxtani=1,2,3,对DME测量得到的距离，显然有24244)()(yyxxd直接利用上面得到的4个等式确定飞机的坐标x,y，这时是一个求解超定(非线性)方程组的问题，在最小二乘准则下使计算值与测量值的误差平方和最小(越接近0越好)。优化建模312]tan)/()([),(MiniiiiyyxxyxJ224244])()([yyxxd这是一个非线性(无约束)最小二乘拟合问题。则需要求解优化建模MODEL:SETS:VOR/1..3/:x,y,cita,sigma;ENDSETSDATA:x,y,cita,sigma=74613932.813470.01406293750.787140.010515712595.393070.0227;x4y4d4sigma4=155987864.32.0;ENDDATA!XX,YY表示飞机坐标;min=@sum(VOR:@sqr((xx-x)/(yy-y)-@tan(cita)))+@sqr(d4-@sqrt(@sqr(xx-x4)+@sqr(yy-y4)));END很容易写出其LINGO程序如下：优化建模求解该模型得到的解为(只列出部分结果)：Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:128.0226VariableValueReducedCostXX243.42040.1315903E-08YY126.37340.000000显然，这个解的目标函数值很大(128.0226),因此我们怀疑是一个局部最小点。用“LINGO|OPTIONS”菜单命令启动“GlobalSolver”选项卡上的“UseGlobalSolver”选项，然后求解，可以得到全局最优解如下：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:0.7050440E-03VariableValueReducedCostXX980.69260.000000YY731.56660.000000优化建模这个解的目标函数值很小(0.000705)，飞机坐标为(980.6926，731.5666)。优化建模模型2及求解注意到这个问题中角度和距离的单位是不一致的(角度为弧度，距离为公里)，因此将这4个误差平方和同等对待(相加)不是很合适。并且，4种设备测量的精度(误差限)不同，而上面的方法根本没有考虑测量误差问题。如何利用测量设备的精度信息？这就需要看你对例中给出的设备精度如何理解。一种可能的理解是：设备的测量误差是均匀分布的。以VOR1为例，目前测得的角度为161.20，测量精度为0.80，所以实际的角度应该位于区间[161.20-0.80，161.20+0.80]内。对其他设备也可以类似理解。由于很小，即测量精度很高，所以在相应区间内正切函数tan的单调性成立。优化建模于是可以得到一组不等式：)tan()tan(iiiiiiyyxx44242444)()(dyyxxd(i=1,2,3)也就是说，飞机坐标应该位于上述不等式组成的区域内。例如，模型1中得到的目标函数值很小，显然满足测量精度要求，因此坐标(980.6926,731.5666)肯定位于这个可行区域内。优化建模由于这里假设设备的测量误差是均匀分布的，所以飞机坐标在这个区域内的每个点上的可能性应该也是一样的，我们最好应该给出这个区域的x和y坐标的最大值和最小值。于是我们可以分别以minx、maxx、miny、maxy、为目标，以上面的区域限制条件为约束，求出x和y坐标的最大值和最小值。以minx为例，相应的LINGO程序为：MODEL:Title飞机定位模型2;SETS:VOR/1..3/:x,y,cita,sigma;ENDSETS优化建模DATA:x,y,cita,sigma=74613932.813470.01406293750.787140.010515712595.393070.0227;x4y4d4sigma4=155987864.32.0;ENDDATA!XX,YY表示飞机坐标;min=xx;@for(VOR:(xx-x)/(yy-y)@tan(cita-sigma));@for(VOR:(xx-x)/(yy-y)@tan(cita+sigma));d4-sigma4@sqrt(@sqr(xx-x4)+@sqr(yy-y4));d4+sigma4@sqrt(@sqr(xx-x4)+@sqr(yy-y4));END优化建模用LINGO求解上述模型，LINGO系统返回的信息是这个模型没有可行解。其实这显然是一个不正确的信息，可能只是由于求解空间太大，LINGO没有找到可行解。其实，我们可以想象这个问题的可行解大致就该在模型1中得到的最优解附近，因此可以把这个解作为初始值告诉LINGO。例如，在上面程序中增加以下三行：INIT:xx,yy=980.6926,731.5666;ENDINIT优化建模此时求解，马上就得到XX的最小值为974.8424。类似地（只需要换换目标函数就可以了），可得到XX的最大值为982.2129，YY的最小值为717.1587，YY的最大值为733.1944。因此，最后得到的解是一个比较大的矩形区域，大致为[975，982]×[717，733]。优化建模模型3及求解模型2得到的只是一个很大的矩形区域，仍不能令人满意。实际上，模型2中假设设备的测量误差是均匀分布的，这是很不合理的。一般来说，在多次测量中，应该假设设备的测量误差是正态分布的，而且均值为0。本例中给出的精度i可以认为是测量误差的标准差(也可以是与标准差成比例的一个量，如标准差的3倍或6倍等)。在这种理解下，用各自的误差限i对测量误差进行无量纲化(也可以看成是一种加权法)处理是合理的，即求解如下的无约束优化问题更合理：优化建模2424244231)()(),(MinyyxxdαyxEiiii其中iiiyyxxtani=1,2,3,由于目标函数是平方和的形式，因此这是一个非线性最小二乘拟合问题。相应的LINGO程序为(仍然将迭代初值告诉LINGO)：优化建模MODEL:TITLE飞机定位模型3;SETS:VOR/1..3/:x,y,cita,sigma;ENDSETSDATA:x,y,cita,sigma=74613932.813470.01406293750.787140.010515712595.393070.0227;x4y4d4sigma4=155987864.32.0;ENDDATAINIT:xx,yy=980.6926,731.5666;ENDINIT优化建模!XX,YY表示飞机坐标;!min=@sum(VOR:@sqr(((xx-x)/(yy-y)-@tan(cita))/sigma))+@sqr((d4-@sqrt(@sqr(xx-x4)+@sqr(yy-y4)))/sigma4);min=@sum(VOR:(((xx-x)/(yy-y)-@tan(cita))/sigma)^2)+((d4-((xx-x4)^2+(yy-y4)^2)^.5)/sigma4)^2;ENDGlobaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:2.600539ModelTitle:飞机定位模型3VariableValueReducedCostXX980.21060.000000YY727.30560.000000计算结果为：即飞机坐标为(980.21,727.31)，这个解对应的目标函数值大约为2.6。优化建模这个误差为什么比模型1的大很多？这是因为模型1中使用的是绝对误差，而这里使用的是相对于精度i的误差。分母i很小，所以相对误差比绝对误差大，这是可以理解的。其实，可以认为此时的目标函数是四个标准正态分布的误差平方和，只要在4以内都是合理的。