材料力学 -轴向拉伸和压缩

第二章轴向拉伸和压缩第二章轴向拉伸和压缩§2—1概述§2—2轴力轴力图§2—3拉（压）杆截面上的应力§2—6拉（压）杆的强度计算§2—4拉（压）杆的变形胡克定律泊松比§2—5材料在拉伸与压缩时的力学性质§2—7拉（压）杆超静定问题§2—8连接件的实用计算目录第二章轴向拉伸和压缩拉伸变细变长压缩变短变粗外力特征：外力（或外力的合力）的作用线与杆件的轴线重合FFFFFFFF变形特征：杆的两相邻横截面沿杆轴线方向产生相对移动，长度发生改变，拉长或压短，同时横截面变细或变粗。§2-1概述§2-1概述——轴向拉伸或压缩，简称为拉伸或压缩，是最简单也是做基本的变形。一、轴向拉伸或压缩变形二、工程实例桁架结构§2-1概述图2.1FFFFFFFFCBAFFBCAB图2.2三、本章研究要点主要研究杆件拉伸或压缩时的内力、应力、变形，通过试验分析由不同材料制成的杆件在产生拉伸或压缩变形时的力学性质，建立杆件在拉伸或压缩时的强度条件。§2-1概述一、截面法求轴力如图，设一等直杆在两端轴向拉力F的作用下处于平衡，欲求杆件横截面mm上的内力§2-2轴力、轴力图§2-2轴力、轴力图内力：构件在外力的作用下将产生变形，使得构件各质点间的相对位置发生变化而产生的附加内力。截面法：截面法是求内力的一般方法，步骤：截开、分离、代替、平衡。mmFFmmFF在求内力的截面mm处，假想地将杆截为两部分截开代替留下左段为分离体mmFFN以内力代替右段对左段的作用，绘分离体受力图。内力合力的作用线与杆的轴线重合——轴力FN平衡对分离体列平衡方程FN=F0xF§2-2轴力、轴力图分离mmFF代替mmFFN以内力代替左段对右段的作用，绘分离体受力图。平衡对分离体列平衡方程FN=F0xF§2-2轴力、轴力图若取右段为分离体mmFFN二、轴力的符号约定§2-2轴力、轴力图轴力方向以使所作用的杆微段拉伸为正；压缩为负。即拉为正，压为负。（正号轴力的指向是背离截面的，负号轴力的指向则是指向截面的）。1、轴力图的意义：形象地表示整个杆件上轴力沿轴线的变化情况，确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，为强度计算提供依据。三、轴力图2、轴力图的作法：以平行于杆轴线的横坐标（称为基线）表示横截面的位置；以垂直于杆轴线方向的纵坐标表示相应横截面上的轴力值，绘制各横截面上的轴力变化曲线。FN0FNFNFN0FNFNxFN§2-2轴力、轴力图三、轴力图3、轴力图的作图步骤：①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线；②画纵坐标，正、负轴力各绘在基线的一侧；③标注正负号、各控制截面处、单位及图形名称。4、作轴力图的注意事项：①基线一定平行于杆的轴线，轴力图与原图上下截面对齐；②正负分绘两侧，“拉在上，压在下”，封闭图形；③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号；④整个轴力图比例一致。xFNNFFN图|FN|max=100kN+-150kN100kN50kNFNII=-100kN（压力）100kNIIIIFNIIIIIIII50kN100kNFNI=50kN（拉力）II50kNFNI§2-2轴力、轴力图多力作用下的轴向拉压杆件，应分段用截面法求轴力。150kN50kNIIIIFNII=-100kN（压力）FNII0ΣFx0ΣFx0ΣFx注：内力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。FN图|FN|max=100kN+-150kN100kN50kNFNII=-100kN100kNIIIIFNIIIIIIII50kN100kNFNI=50kNII50kNFNI§2-2轴力、轴力图注：求解轴力时，一律先假定为正方向，则结果是正值则为拉力，是负值则为压力，且与轴力的符号约定相一致。150kN50kNIIIIFNII=-100kNFNII0ΣFx0ΣFx0ΣFx（拉力）（压力）（压力）FN图|FN|max=100kN+-150kN100kN50kNFNII=100kN100kNIIIIFNIIIIIIII50kN100kNII50kN§2-2轴力、轴力图注：求解轴力时，一律先假定为正方向，则结果是正值则为拉力，是负值则为压力，且与轴力的符号约定相一致。150kN50kNIIII0ΣFx（压力）FNI=50kNFNIFNII=-100kNFNII0ΣFx0ΣFx§2-2轴力、轴力图五、直接法作轴力图四、轴力方程——通常杆件上各截面处的轴力是不相同的，它是截面位置x的函数，即FN＝FN（x），称为轴力方程直接法：轴向拉伸（压缩）杆件任一横截面的轴力，等于该横截面任意一侧杆段上所有外力在轴线方向上投影的代数和。150kN50kNIIIIFNII+150kN－50kN=0FNII0ΣFxFNII=－150kN+50kN=－100kN轴力图的特点：突变值=集中载荷+–3kN5kN8kN§2-2轴力、轴力图5kN8kN3kN五、直接法作轴力图四、轴力方程——通常杆件上各截面处的轴力是不相同的，它是截面位置x的函数，即FN＝FN（x），称为轴力方程直接法：轴向拉伸（压缩）杆件任一横截面的轴力，等于该横截面任意一侧杆段上所有外力在轴线方向上投影的代数和。FN图[例]杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。BD段：10kN30F10kN2030FRAN2--解：用直接法DE段：20kNFN1-AB段：RAF40kN203030N3F-注：内力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。30KN20KN30KNRAFADEBC402010–++FN图§2-2轴力、轴力图轴力图的作图步骤：①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线；②画纵坐标，正、负轴力各绘在基线的一侧；③标注正负号、各控制截面处、单位及图形名称。作轴力图的注意事项：①多力作用时要分段求解，一律先假定为正方向，优先考虑直接法；②基线‖轴线，正负分绘两侧，“拉在上，压在下”，比例一致，封闭图形；③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号；④阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。xFNNF§2-2轴力、轴力图内力是由外力引起的，仅表示某截面上分布内力向截面形心简化的结果。而构件的变形和强度不仅取决于内力，还取决于构件截面的形状和大小以及内力在截面上的分布情况。为此，需引入应力的概念。FFFF一、应力的概念——所谓应力是指截面上某点处单位面积内的分布内力，即内力集度。§2-3拉（压）杆截面上的应力§2-3拉（压）杆截面上的应力MAF求截面上M点的应力包围M点取一微面积A设A上内力的总和为FA面积上内力的平均集度ΔAΔFpm§2-3拉（压）杆截面上的应力pm——A面积上的平均应力由于截面上内力的分布一般是不均匀的，如果让A趋于零，则pm的极限值即为M点处的内力集度，也称为m-m截面上M点处的总应力ΔAΔFlimp0ΔA——M点处的总应力一般而言，一点的总应力p既不与截面垂直，也不与截面相切。习惯上将p分解为一个与截面垂直的法向分量和一个与截面相切的切向分量。法向分量称为正应力，用表示；切向分量称为切应力，用表示。MAp注意：1、在谈到应力时，必须指明应力所在的平面及点的位置；2、没有特别说明的情况下，提到应力一般指正应力和切应力。应力的单位：帕斯卡(pa)、兆帕（Mpa）、吉帕（Gpa）1帕=1牛顿/米2(N/m2)1GPa=109Pa1MPa=1N/mm2=106Pa§2-3拉（压）杆截面上的应力应力的正、负号约定：正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以使所作用的微段绕其内部任意点有顺时针方向转动趋势者为正，反之为负。ΔAΔFlimp0ΔA——M点处的总应力取一等直圆杆，在其外表面上刻两条横截面平面的轮廓线A、B和许多与轴线平行的纵线在两端施加一对轴向拉力F1、实验：拉（压）杆横截面上只有正应力，没有切应力。ABFFAB§2-3拉（压）杆截面上的应力二、拉（压）杆横截面上的应力所有的纵向线都伸长，伸长量都相等，仍与轴线平行，而横截面轮廓线A、B平移到A'、B'，仍为一与轴线垂直的平面圆周线在两端施加一对轴向拉力FABA'B'结论：表面各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同平面假设：直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。结论：由平面假设知，正应力在横截面上是均匀分布的FFFFFNF§2-3拉（压）杆截面上的应力结论：由平面假设知，正应力在横截面上是均匀分布的FNFFFN2、轴向拉压的应力计算：AN——FN为轴力，A为杆的横截面面积AFσN拉力引起的应力称为拉应力，压力引起的应力称为压应力；应力的符号与轴力的符号一致，即拉应力为正，压应力为负。§2-3拉（压）杆截面上的应力3、圣维南原理AN——FN为轴力，A为杆的横截面面积AFσN§2-3拉（压）杆截面上的应力说明：杆端集中力作用点附近区域内的应力分布比较复杂，并非均匀分布，上式只能计算该区域内横截面上的平均应力，而不是应力的真实情况；且应力分布规律及其计算公式与外力作用方式有关，其研究已经超出材料力学范围。研究表明，弹性杆件横截面上的应力分布规律在距外荷载作用区域一定距离后，不因外荷载作用方式而改变。这一结论称为圣维南原理ABFF例2.2图2.7（a）所示三角托架中，AB杆为圆截面钢杆，直径d=30mm；BC杆为正方形截面木杆，截面边长a＝100mm。已知F＝50kN，试求各杆的应力。§2-3拉（压）杆截面上的应力30oFBCA(a)图2.730FNBCFNABFAFσNN2100kNABFFN386.6kNBCFF--3NAB22210010N130mm44141.5MPaABFd3N22286.610N100mm8.66MPaBCBCFa--沿杆长的分布规律。的横截面上的应力试分析该杆由自重引起为A，材料密度为ρ。，长为l，截面面积，上端固定，下端自由例题：图示一钻杆简图ax(x)FNl解：运用截面法，在距离自由端为x的截面处将杆截断，取下段为脱离体，设G（x）为该段杆的重量，则xG(x)AxρgG(x)§2-3拉（压）杆截面上的应力ax(x)FNlρgAlbxG(x)0ΣFxAxρg(x)FNG(x)(x)FNAxρgG(x)x的方程（轴力方程）x＝0时，x＝l时，0(x)FNAlρg(x)FNFN图§2-3拉（压）杆截面上的应力ax(x)FNlρgAlbxG(x)Axρg(x)FNx＝0时，x＝l时，ρgxA(x)Fσ(x)Nρglσ(x)0σ(x)——即应力沿杆长的分布是x的线性函数ρglσmaxFN图ρglbσ分布图§2-3拉（压）杆截面上的应力例题：一横截面为正方形的砖柱分上，下两段，其受力情况，各段长度及横截面面积如图所示，图中长度的单位为mm，已知F=50KN，试求荷载引起的最大工作应力。FABCFF300021240§2-3拉（压）杆截面上的应力50KN150KN解：FABCFF24021先求轴力、作轴力图，再代入公式求应力AFσN50KNFFN1--150KN3FFN2--max在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力。0.87MPa240mm240N1050AFσ23N11--1.1MPa370mm370N10150AFσ23N22--§2-3拉（压）杆截面上的应力FkkF以图示横截面面积为A的轴向拉杆为例，求与横截面成角的任一斜截面k—k上的应力三、拉（压）杆斜截面上的应力在下一节拉伸与压缩试验中我们会看到，铸铁试件压缩时，其断面并非横截面，而是斜截面。为了全面分析解决杆件的强度问题，还需研究斜截面上的应力。1、研究意义2、斜截面上的应力§2-3拉（压）杆截面上的应力FkkFαp假想地用一平面沿斜截面k—k将杆一分为二，取左段为研究对象Fkkxnp：斜截面上的总应力：自横截面外法线到斜截面外法线的夹角轴力FN=F，均布于斜截面上FNααNαAFAFpA：斜