材料力学(刘鸿文)第五章-弯曲应力

伽利略Galilei(1564-1642)此结论是否正确？回顾与比较内力AF应力公式及分布规律PITFAyFSM??均匀分布线形分布§5-2纯弯曲时的正应力§5-3横力弯曲时的正应力强度条件§5-4弯曲切应力§5-6提高梁强度的措施§5-1纯弯曲一、纯弯曲梁段CD上，只有弯矩，没有剪力梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力§5-1纯弯曲－－纯弯曲－－横力弯曲FsMFaFaFF纯弯曲实例§5-2纯弯曲时的正应力1、变形几何关系2、物理关系3、静力学关系纯弯曲的内力剪力Fs=0横截面上没有切应力只有正应力。弯曲正应力的分布规律和计算公式1、变形几何关系（一）实验观察现象：施加一对正弯矩，观察变形观察到纵向线与横向线有何变化？纵向线由直线曲线横向线由直线直线相对旋转一个角度后，仍然与纵向弧线垂直。变化的是：1、纵向线的长度2、两横截面的夹角各纵向线的长度还相等吗？各横向线之间依然平行吗？3、横截面的宽度横截面绕某一轴线发生了偏转。（二）提出假设：1、平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面；于1695年提出梁弯曲的平面假设瑞士科学家Jacob.贝努力纵向纤维之间没有相互挤压，2、假设：观察纵向纤维之间有无相互作用力各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。凹入一侧纤维凸出一侧纤维观察纵向纤维的变化在正弯矩的作用下，偏上的纤维缩短，偏下的纤维伸长。缩短；伸长。－－纤维长度不变中性层中性层ΔL0ΔL0ΔL=0既不伸长也不缩短中性轴中性轴上各点σ=0各横截面绕中性轴发生偏转。中性轴的位置过截面形心中性轴的特点：平面弯曲时梁横截面上的中性轴它与外力作用面垂直；中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。一定是形心主轴；关于中性层的历史1620年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层；英国科学家胡克于1678年也阐述了同样现象，但没有涉及中性轴的位置问题；法国科学家纳维于1826年，出版《材料力学》讲义，给出结论：中性轴过截面形心。观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释P为什么开孔？为什么加钢筋？施工中如何安放？孔开在何处？可以在任意位置随便开孔吗？你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？（三）理论分析：y的物理意义纵向纤维到中性层的距离；点到中性轴的距离。zy两直线间的距离公式推导线应变的变化规律与纤维到中性层的距离成正比。从横截面上看：点离开中性轴越远，该点的线应变越大。2、物理关系虎克定律EyE弯曲正应力的分布规律a、与点到中性轴的距离成正比；c、正弯矩作用下，上压下拉；当σσP时沿截面高度线性分布；b、沿截面宽度zy均匀分布；d、危险点的位置，离开中性轴最远处.弯曲正应力的分布规律可别忘记啦沿高度沿宽度3、静力学关系Z1EIM0zSAydAzMMdAyMAz中性轴过截面形心0坐标轴是主轴中性层的曲率计算公式0NFAdAyEEIz抗弯刚度4、弯曲正应力计算公式变形几何关系物理关系yEyE静力学关系Z1EIMZIMy正应力公式1826年纳维在《材料力学》讲义中给出正确计算公式弯曲正应力分布规律ZIMy弯曲正应力计算公式5、横截面上最大弯曲正应力zIMymaxmaxmax/yIMzmaxyIWzz——截面的抗弯截面系数；。ZmaxWM反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响最大弯曲正应力计算公式适用条件截面关于中性轴对称。现代梁分析理论与伽利略结论对比科学家与时代同步伽利略时代钢铁没有出现但他开辟了理论与实践计算构件的新途径。是“实验力学”的奠基人6、常见图形的惯性矩及抗弯截面系数：,1213bhIz261bhWzzbhzd,644dIz332dWzdzD)(6444dDIz)1(6444D)1(3243DWz一、横力弯曲§5-3横力弯曲时的正应力xFsxMFFFL横截面上内力剪力+弯矩横截面上的应力既有正应力，又有切应力横力弯曲时的横截面横截面不再保持为平面且由于切应力的存在，也不能保证纵向纤维之间没有正应力弹性力学精确分析表明：横力弯曲最大正应力二横力弯曲正应力对于跨度L与横截面高度h之比L/h5的细长梁，用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，误差2%满足工程中所需要的精度。zIMymaxmax弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力公式ZIMy1、纯弯曲或细长梁的横力弯曲;2、横截面惯性积IYZ=0;3、弹性变形阶段;推导弯曲正应力计算公式的方法总结（1）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）（2）“实验—观察—假设”：梁弯曲假设（3）外力内力变形几何关系物理关系静力学关系（4）三关系法积分应力合成内力横力弯曲应力法（5）数学方法注意（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力，（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布；从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；（2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力，（4）中性轴上正应力为零，并确定该点到中性轴的距离，而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。以及该点处应力的符号（6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压;注意正应力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来确定。作弯矩图，寻找最大弯矩的截面分析：非对称截面，例1T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。求最大拉应力、最大压应力。647.6410mzI计算最大拉应力、最大压应力zc52889KN1m1m4KN1mACB要寻找中性轴位置；（2）计算应力：33,max6410521027.2MPa7.6410t33,max6410881046.1MPa7.6410c（1）求支反力，作弯矩图B截面应力分布9KN1m1m4KN1mACBFAFBFA=2.5KN2.5KNm4KNmMzIMy应用公式zc5288（3）结论MPa1.46max,cC截面应力计算33,max62.510881028.8MPa7.6410tMPa8.28max,t2.5KNm4KNmM9KN1m1m1mACBFAFB4KNC截面应力分布zIMy应用公式zc528830zy180120K1、C截面上K点正应力2、C截面上最大正应力3、全梁上最大正应力4、已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρ例2：矩形截面简支梁承受均布载荷作用,如图所示1m3mq=60KN/mACB1、截面几何性质计算1218.012.03123ZbhI45m10832.5确定形心主轴的位置z确定中性轴的位置180120确定形心的位置FAYFBYq=60KN/m1m3mACB2.求支反力kN90AyFkN90ByFmkN605.0160190CMZKCKIyM（压应力）3、C截面上K点正应力30zy180120K53310832.510601060MPa7.614、C截面上最大正应力ZmaxmaxIyMCC53310832.510901060MPa55.92弯矩公式MxFSx作内力图kN90AyFkN90ByFFAYFBYq=60KN/m1m3mACB90kN90kNm67.5kN8/2ql5、全梁上最大正应力mkN5.67maxMZmaxmaxWMMPa17.10453310832.51090105.67危险截面公式ZmaxmaxmaxIyMmkN60CMFAYFBYq=60KN/m1m3mACB6、已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρ45m10832.5zIm4.194CZCMEIEIM1359106010832.510200练习1：计算下图中1－1截面上ａ、ｂ两点的正应力，并求梁内的最大正应力，画危险面上正应力的分布规律。已知矩形截面的宽为ｂ＝75毫米，高ｈ＝150毫米。101.2m1m1m1-1P=8KN40ab练习2：圆型截面梁的横截面直径为D＝50毫米，受力如图。计算最大正应力并画危险面上的正应力分布规律。q=10KN/m1m练习3：求下图中1－1截面上ａ点的正应力、此截面上的最大正应力、此梁上的最大正应力。已知矩形截面的宽为ｂ＝120毫米，高ｈ＝180毫米。q=60KN/m1m2m1-130a三、弯曲正应力强度条件弯曲正应力的分布规律危险点：距离中性轴最远处；分别发生最大拉应力与最大压应力；zmaxmaxmaxIyMσ1、塑性材料抗拉压强度相等无论内力图如何梁内最大应力σIyMσzmaxmaxmax其强度条件为通常将梁做成矩形、圆形、工字形等对称于中性轴的截面；此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。因此：强度条件可以表示为σwMσzmaxmax无论截面形状如何，a但对于塑性材料，b2.离中性轴最远处。要综合考虑弯矩M与截面形状Iz1.弯矩的绝对值最大的截面上；塑性材料c、塑性材料制成的变截面梁总之，梁内最大应力发生在：σwMσzmaxmax3.强度条件为2、脆性材料抗拉压强度不等。内力图形状有关。梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在最大应力通常与截面形状，通常将梁做成T形、倒T形等关于中性轴不对称的截面。离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。由于脆性材料抗压不抗拉，a脆性材料的最大应力与截面形状有关MM或者①脆性材料梁的危险截面与危险点上压下拉上拉下压b脆性材料的最大应力与内力图有关危险截面只有一个。tzttIMymax,czccIMymax,危险截面处分别校核：二个强度条件表达式M危险截面有二个；每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；②脆性材料梁的危险截面与危险点tzttIMymax,czccIMymax,各危险截面处分别校核：四个强度条件表达式][zMwmaxσzwmaxM弯曲正应力强度计算的三个方面1、强度校核tzttIMymax,czccIMymax,2、设计截面3、确定许可载荷例1：图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。,kN5.62,m16.0,m267.0,1302Fbammd材料的许用应力.MPa60mm1601d分析（2）危险截面：（3）危险点zWMmaxmax截面关于中性轴对称M弯矩最大的截面zW抗弯截面系数最小的截面；危险截面的最上、下边缘处。（1）轮轴为塑性材料,公式（1）计算简图（2）绘弯矩图MFaFbFbB截面，C截面（3）危险截面（4）强度校核B截面：zBBWMmaxzCCWMmaxC截面：（5）结论MFaFbFb316.0322675.623231dFaMPa5.413232dFbMPa4.46313.0321605.62mmd1302.MPa60mm1601dm267.0am16.0b,kN5.62F轮轴满足强度条件例2：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦材料的许用应力MPa,140kN,7.61F,kN502F起重量跨度m,5.9l试选择工字钢的型号。自重分析（2）确定危险截面（5）计算maxM（6）计算，选择工字钢型号zWzWMmaxmax（3）截面为关于中性轴对称（1）简化为力学模型（4）应力计算公式FFFkN,7.61F,kN502Fm,5.9l（1）计算简图（2）绘弯矩图MFL/4zWMmaxmax（3）危险截面KNmM45.910)507.6(3maxmaxMWz3cm962（4）强度计算（5）选择工字钢型号36c工字钢3cm962zWF=F1+F2MPa140例3：T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。MPa,60,MPa30ct9KN1m1m4KN1m