材料力学(土木类)附录 截面的几何性质

附录截面的几何性质§-1截面的静矩和形心位置设任意形状截面如图所示。AySAxSAxAydd1.静矩（或一次矩）(常用单位：m3或mm3。值：可为正、负或0。）2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）AAyyAAxxAAddOxdAyyxCxyAAyyAAxxAAdd3.静矩与形心坐标的关系yASxASxy结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。4.组合截面的静矩由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和:niiixniiiyyASxAS11形心坐标）个简单图形的面积及其分别为第和iyxAiii,(5.组合截面的形心坐标公式yASxASxyniiixniiiyyASxAS11将代入解得组合截面的形心坐标公式为：niiniiiniiniiiAyAyAxAx1111（注：被“减去”部分图形的面积应代入负值）例I-1试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。解：取平行于x轴的狭长条，)()(yhhbyb易求yyhhbAd)(d因此所以对x轴的静矩为6d)(d20bhyyyhhbAyShAxOxyb(y)ydyhb例I-2试计算图示截面形心C的位置。解：将截面分为1、2两个矩形。建立坐标系如图示。各矩形的面积和形心坐标如下：mm602120mm5210mm1200120101121yxAmm5210mm4527010mm70070102222yxAOxyy112010xx8010yC(y,x)ⅠⅡⅡⅠⅡ矩形I矩形II代入组合截面的形心坐标公式21212121iiiiiiiiiiAyAyAxAx解得：mm40mm20yx§I－2极惯性矩·惯性矩·惯性积设任意形状截面如图所示。1.极惯性矩（或截面二次极矩）AIAd2p2.惯性矩（或截面二次轴矩）AyIAxIAxAydd22（为正值，单位m4或mm4)222xy由于所以IIAxyAIyxAAd)(d222p（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）OxyyxdA3.惯性积AxyIAxyd（其值可为正、负或0，单位:m4或mm4)截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0。结论：4.惯性半径AIiAIixxyy（单位m或mm）OxyyxdA例I-3试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和y的惯性矩。解：取平行于x轴的狭长条，则dA=bdy12dd32222bhybyAyIhhAx同理123hbIyyhCxdyyb(a)若截面是高度为h的平行四边形（图b），则其对形心轴x的惯性矩同样为123bhIxhxyb(b)C例I-4试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩。xdyyx解：由于圆截面有极对称性，IIyz所以IIIyxp由于所以64π24pdIIIyz§-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式设有面积为A的任意形状的截面。C为其形心，Cxcyc为形心坐标系。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标系为Oxy,形心C在在Oxy坐标系下的坐标为(a,b)任意微面元dA在两坐标系下的坐标关系为：ayybxxCCycyxcxCObdAxcycyxAaIAayAaIAaAyaAyAayAyIccxcxAAcAcAcAx2222222dd2ddd同理，有：AaIIcxx2AbIIcyy2abAIIccyxxy（此为平行移轴公式）注意：•式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。•等号右边各首项为相对于形心轴的量。2.组合截面的惯性矩和惯性积根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和：nixxiII1niyyiII1nixyxyiII1例I-5求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。解：（1）求形心坐标222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAxπ328π1223dddASyxcxyb(y)ycCdxc（2）求对形心轴xc的惯性矩128π264π44ddIxπ18128π8π)(4422dddyIIcxxc由平行移轴公式得：xyb(y)ycCdxc例I-6试求图a所示截面对于对称轴x的惯性矩。解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。（1）矩形对x的惯性矩：44331mm1053331220080122adIx（2）一个半圆对其自身形心轴xc的惯性矩（见上例）π18128π8π)(4422dddyIIcxxcxyC(a)d=8040100a=10040a+2d3p（3）一个半圆对x的惯性矩：由平行移轴公式得：44222222mm103467π322324π8ππ32adaddddaIIcxx（4）整个截面对于对称轴x的惯性矩：444421mm101227010346721053332xxxIII例I-7试计算组合截面的Ixc.y20140xcx100解：（1）求截面形心位置：mmy67.4620100201400201008020140_（2）求个简单截面对形心轴的惯性矩：46232462311043.41002067.46201001211068.714020)67.4680(14020121mmImmIxcxc（3）求整个截面的惯性矩：4666211011.121043.41068.7mmIIIxcxcxc思考：O为直角三角形ABD斜边上的中点，x、y轴为过点Ｏ且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案(已知ba)：（A）Ixy＞０（B）Ixy０(C)Ixy=０（D）Ix=Iy正确答案是(C)xABDyOab思考：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点的任意一对坐标轴（即图中为任意值），该图形的:(1)惯性积Ixy＝＿＿(2)惯性矩Ix＝＿＿、Iy＿＿＿。yxaa答案：0；a4/24;a4/24§-4惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩1.惯性矩和惯性积的转轴公式任意面元dA在旧坐标系oxy和新坐标系ox1y1的关系为：sincossincos11xyyyxx代入惯性矩的定义式：AyIAxd211xyOxyABCDEdAcossin2sincosdcossin2dsindcos2222221xyyxAAAxIIIAxyAxAyI利用二倍角函数代入上式，得转轴公式：2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII注：•上式中的的符号为：从旧轴x至新轴x1逆时针为正，顺时针为负。yxyxIIII11（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩）•将前两式相加得由惯性积的转轴公式可知，当坐标轴旋转时，惯性积将随着角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一特定的角度0，使截面对于新坐标轴x0、y0的惯性积等于零。2.截面的主惯性轴和主惯性矩(1)主惯性轴:截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。(2)主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。(3)形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。(4)形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。(5)确定主惯性轴的位置设0是旧轴x逆时针转向主惯性轴x0的角度，则由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得02cos2sin200xyyxIII可改写为yxxyIII22tan0（注：将负号置于分子上有利于确定20角的象限）(5)由上面tan20的表达式求出cos20、sin20后，再代入惯性矩的转轴公式，化简后可得主惯性矩的计算公式：IIIIIIxyyxyxx2242120IIIIIIxyyxyxy2242120极大值Imax极小值Imin(6)几个结论•若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。•若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。•若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。xyC10b10b40120a2080CCaⅠⅡⅠⅡⅠⅡ例I-8试计算截面的形心主惯性矩。解：作与上、左边平行的形心坐标轴xcyc。（1）求形心坐标：),(、),(ⅡⅡⅠⅠbaba（2）求对自身形心轴的惯性矩。、,、2211ccccyxyxIIII（3）由平行移轴公式求整个截面的、、ccyxycxcIIIxc0yc0°=113.8（4）由转轴公式得093.122tan0ccccyxyxIII8.1136.2272004422maxmm1032142120IIIIIIIcccccccyxyxyxx4422minmm104.5742120IIIIIIIcccccccyxyxyxyxyC10b10b40120a2080CCaⅠⅡⅠⅡⅠⅡ