函数的幂级数展开

1教案函数的幂级数展开复旦大学陈纪修金路1．教学内容函数的幂级数（Taylor级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。2．指导思想（1）函数的幂级数（Taylor级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。（2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质教育的一个不可忽视的环节。3.教学安排首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f(x)在x0的某个邻域O(x0,r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f(x)在x0的Taylor级数：（*）).,(,)(!)()(0000)(rxOxxxnxfxfnnn另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式：(1)f(x)=ex=0!nnnx!!3!2132nxxxxn+…,x∈(-∞,+∞)。(2)f(x)=sinx=012!)12()1(nnnxn)!12()1(!5!31253nxxxxnn+…,x∈(-∞,+∞)。2(3)f(x)=cosx=02!)2()1(nnnxn)!2()1(!4!21242nxxxnn+…,x∈(-∞,+∞)。(4)f(x)=arctanx=112112)1(nnnxn12)1(531253nxxxxnn+…,x∈[-1,1]。(5)f(x)=ln(1+x)=11)1(nnnxnnxxxxxnn1432)1(432+…,x∈(-1,1]。(6)fxx()()1，α≠0是任意实数。当是正整数m时，f(x)=(1+x)m=1+mx+22)1(xmm+…+1mmx+xm，x∈(-∞,+∞)即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。当不为0和正整数时，0)1(nnxnx,.0,01,1],1,1[],1,1(),1,1(当当当xxx其中n=!)1()1(nn,(n=1,2,…)和10。设函数f(x)在x0的某个邻域O(x0,r)中任意阶可导，要求它在O(x0,r)中的幂级数展开，一开始就考虑利用公式（*）往往不是明智之举。下面我们通过具体实例介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法：1．通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。例1求22531)(xxxf在0x的幂级数展开。解利用部分分式得到xxxf21172311211)(，再利用（6）式（1），得到nnnnxxf01123171)(，).21,21(x例2求xxf3sin)(在6x的幂级数展开。解)6(3cos41)6(6sin433sin41sin43sin)(3xxxxxxf3)6(3cos41)6cos(83)6sin(833xxx，利用（2）式与（3）式，即得到).,(,)6)(132()!2()1(83)6()!12()1(833)(2120012xxnxnxfnnnnnnn例3求)0(,ln)(xxxf关于变量11xx的幂级数展开。解令,11xxt则)10(,11tttx。利用（5）式，即得到)1ln()1ln(11lnlnttttxnnnnntntn1111)1(.0,)11(12121212112121xxxntnnnnn2．对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。例4求21)(xxf在1x的幂级数展开。解由于0)1()1(111)(nnxxxxg，利用逐项求导，即可得到).2,0(,)1)(1()1()(')(101xxnxnxgxfnnnn例5求f(x)=arcsinx在0x的幂级数展开。解利用(6)式)21(，可知当x(-1,1)时，211x=212)1(x=0221)(nnxn=1+221x+483x+…+nxnn2!)!2(!)!12(+…，对等式两边从0到x积分，利用幂级数的逐项可积性与xtt021d=arcsinx，即得到arcsinx=x+11212!)!2(!)!12(nnnxnn，x∈[-1,1]。其中关于幂级数在区间端点x=±1的收敛性，可用Raabe判别法得到。特别，取x=1，我们得到关于π的一个级数表示：2=1+0121!)!2(!)!12(nnnn。3．对形如)()(xgxf，)()(xgxf的函数，可分别用Cauchy乘积与“待定系数法”。设f(x)的幂级数展开为0nnnxa，收敛半径为R1，g(x)的幂级数展开为0nnnxb,4收敛半径为R2，则f(x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积：f(x)g(x)=(0nnnxa)(0nnnxb)=0nnnxc,其中cn=nkknkba0,0nnnxc的收敛半径Rmin｛R1，R2｝。当b0≠0时，我们可以通过待定系数法求)()(xgxf的幂级数展开：设)()(xgxf=0nnnxc,则(0nnnxb)(0nnnxc)=0nnnxa,分离x的各次幂的系数，可依次得到b0c0=a0c0=00ba,b0c1+b1c0=a1c1=0011bcba，b0c2+b1c1+b2c0=a2c2=002112bcbcba，……一直继续下去，可求得所有的cn。例6求exsinx的幂级数展开(到x5)。解exsinx=(!4!3!21432xxxx+…)(!5!353xxx)=x+53230131xxx+…，由于xe与xsin的收敛半径都是R，所以上述幂级数展开对一切x∈(-∞,+∞)都成立。例7求tanx的幂级数展开(到x5)。解由于tanx是奇函数，我们可以令tanx=xxcossin=c1x+c3x3+c5x5+…，于是(c1x+c3x3+c5x5+…)(!4!2142xx)=!5!353xxx，比较等式两端x,x3与x5的系数，就可得到c1=1,c3=31,c5=152,因此tanx=x+31x3+152x5+…。4．“代入法”5对于例7，我们还可采用如下的“代入法”求解：在u11=0nnu=1+u+u2+…中，以u=!4!242xx代入，可得到xcos1=1+(!4!242xx)+(!4!242xx)2+…=1+x2+245x4+…，然后求sinx与xcos1的Cauchy乘积，同样得到上述关于tanx的幂级数展开。需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目前无法得到它的收敛范围，而只能知道在x=0x的小邻域中，幂级数展开是成立的（事实上，tanx的幂级数展开的收敛范围是(-2,2)，它的证明需要用到复变函数的知识）。“代入法”经常用于复合函数，例如形如ef(x)，ln(1+f(x))等函数的求幂级数展开问题。例8求xexfsin)(在0x的幂级数展开(到x4)解以6)!12()1(sin3120xxxnxunnn代入xxxxnxexfnnx4320sinsin241sin61sin21sin1!sin)(，即可得到),(,81211)(42sinxxxxexfx。注对于求函数xexfcos)(在0x的幂级数展开问题，我们不能采用以42241211cosxxxu代入0!cos)(nnnxxf的方法，请学生思考为什么，并思考应该怎样正确使用“代入法”。例9求lnxxsin的幂级数展开(到x4)，其中函数xxsin应理解为f(x)=.01,0,sinxxxx，解首先，利用sinx的幂级数展开，可以得到xxsin=!5!3142xx。令u=!5!342xx代入ln(1+u)=u-3232uu，即得6lnxxsin=(!5!342xx)-21(!5!342xx)2+…=180642xx。利用例9，我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式xxsin=1222)1(nnx,两边取对数，再分别将ln)1(222nx展开成幂级数，lnxxsin=1222)1ln(nnx=-1444222)21(nnxnx。将上式与本例中的结果相比较，它们的x2系数，x4系数都对应相等，于是就得到等式121nn=62,141nn=904。如果我们在计算时更精细些，也就是将lnxxsin的幂级数展开计算到x6，x8，…，还可以获得161nn，181nn，…的精确值。注意点1．如果)(xf在0x邻域的幂级数展开存在，则幂级数必然是它在x0的Taylor级数（*）；但反之则不然。事实上，我们举出过在0xx任意阶可导的函数)(xf，它在0x的Taylor级数并不收敛于)(xf。但一般来说，对于有解析表达式的初等函数)(xf，只要它在0xx任意阶可导，则它在0x的Taylor级数就是它在0x邻域的幂级数展开。2．要让学生知道，遇到求函数的幂级数展开问题，不要首先想到用（*）式。事实上，上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法，比起直接利用公式（*）来都要方便，而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方法。3．一般来说，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们往往只能求出幂级数的初始几项，而不易求出幂级数的一般项，也不易求出幂级数的收敛半径。但是对于许多具体问题，只要求出幂级数的初始几项就够了，例如例9中的问题。关于幂级数的收敛半径，等学生学习了复变函数课程后就很容易确定。