第4章 静定结构内力分析

建筑力学第十三章2020-2-261第四章静定结构的内力分析第一节多跨静定梁、斜梁一、多跨静定梁若干根梁用中间铰连接在一起，并以若干支座与基础相连，或者搁置于其他构件上而组成的静定梁，称为多跨静定梁。在实际的建筑工程中，多跨静定梁常用来跨越几个相连的跨度。图13—1a所示为一公路或城市桥梁中，常采用的多跨静定梁结构形式之一，其计算简图如图13—1b所示。在房屋建筑结构中的木檩条，也是多跨静定梁的结构形式，如图13—2a所示为木檩条的构造图，其计算简图如图13—2b所示。连接单跨梁的一些中间铰，在钢筋混凝土结构中其主要形式常采用企口结合(图13—1a)，而在木结构中常采用斜搭接或并用螺栓连接(图13—2a)。从几何组成分析可知，图13—1b中AB梁是直接由链杆支座与地基相连，是几何不变的。且梁AB本身不依赖梁BC和CD就可以独立承受荷载，所以，称为基本部分。如果仅受竖向荷载作用，CD梁也能独立承受荷载维持平衡，同样可视为基本部分。短梁BC是依靠基本部分的支承才能承受荷载并保持平衡，所以，称为附属部分。同样道理在图13—2b中梁AB，CD和EF均为基本部分，梁BC和梁DE为附属部分。为了更清楚地表示各部分之间的支承关系，把基本部分画在下层，将附属部分画在上层，分别如图13—1c和图13—2c所示，我们称它为关系图或层叠图。建筑力学第十三章2020-2-262从受力分析来看，当荷载作用于基本部分时，只有该基本部分受力，而与其相连的附属部分不受力；当荷载作用于附属部分时，则不仅该附属部分受力，且通过铰接部分将力传至与其相关的基本部分上去。因此，计算多跨静定梁时，必须先从附属部分计算，再计算基本部分，按组成顺序的逆过程进行。例如图13—1c，应先从附属梁BC计算，再依次考虑CD、AB梁。这样便把多跨梁化为单跨梁，分别进行计算，从而可避免解算联立方程。再将各单跨梁的内力图连在一起，便得到多跨静定梁的内力图。【例13-1】试作图13-3a所示多跨静定梁的内力图。A图13-1BCDABCD（a）（b）（c）企口斜搭接木檩条CB（b）ACDF屋架上弦BE（c）AFDE（a）图13-2建筑力学第十三章2020-2-263解：（1）作层叠图如图13-3b所示，AC梁为基本部分，CE梁是通过铰C和D支座链杆连接在AC梁上，要依靠AC梁才能保证其几何不变性，所以CE梁为附属部分。（2）计算支座反力从层叠图看出，应先从附属部分CE开始取隔离体，如图13-3c所示。0CM04680DVkNVD120（↑）0DM04280CVkNVC40（↓）将CV反向，作用于梁AC上，计算基本部分0X0AH0AM－40×10+VB×8+10×8×4-64=00BM－40×2－10×8×4－64+VA×8=0VA=58kN（↑）VB=18kN（↓）校核：由整体平衡条件得∑Y＝—80十120—18十58—10×8＝0，无误。(3)作内力图。除分别作出单跨梁的内力图，然后拼合在同一水平基线上这一方法外，多跨静定梁的内力图也可根据其整体受力图(图13—3a)直接绘出。将整个梁分为AB、BD、DE三段，由于中间铰C处是外力的连续点，故不必将它选为分段点。建筑力学第十三章2020-2-264由内力计算法则，各分段点的剪力为kNQA58右左BQ=58－10×8=－22kN右BQ=58－10×8－18=－40kN左DQ=80－120=－40kN右DQ=80kN左EQ=80kN据此绘得剪力图如图13—3d所示。其中AB段剪力为零的截面F距A点为5．8m。由内力计算法则，各分段点的弯矩为ECB=80kN=10kN/mDAAHM=64KNm=0V=58KNAq=18KNVB=120KNDVP8m2m4m2mEDACB=58KNVA=18KNVB=64KNmH=0AM=10kN/mq=120KNVDD=80kNPc=40KNVc585.822408064104.280160F8ql21图(KNm)M图(KN)Q（a）（b）（c）（d）（e）图13-3V′=40KN=80建筑力学第十三章2020-2-265MAB=－64kN·mMBA=－64+58×8－10×8×4=80kN·mMDE=－80×2=－160kN·mMED=0MF=－64+58×5.8－10×5.8×5.8/2=104.2kN·m据此作弯矩图如图13-3e所示。其中AB段内有均布荷载，故需在直线弯矩图（图中虚线）的基础上叠加相应简支梁在跨中间（简称跨中）荷载作用的弯距图。多跨静定梁比相同跨度的简支梁的弯矩要小，且弯矩的分布比较均匀，此即多跨静定梁的受力特征。多跨静定梁虽然比相应的多跨简支梁要经济些，但构造要复杂些。一个具体工程，是采用单跨静定梁，还是多跨静定梁或其它型式的结构，需要作技术经济比较后，从中选出最佳方案。二、斜梁1.斜梁的荷载梁式结构的特点是，在竖直荷载作用下只产生竖向支座反力。梁不一定是水平放置的，由楼梯简化成的斜梁，也是梁式结构，如图13—4所示。斜梁通常承受两种形式的均布荷载：（1）沿水平方向均布的荷载q(图13—5a)。楼梯斜梁承受的人群荷载就是沿水平方向均匀分布的荷载。（2）沿斜梁轴线均匀分布的荷载q′(图13—5b)。等截面斜梁的自重就是沿梁轴均匀分布的荷裁。平台梁斜梁（锯齿形）空心板α图13-4平台梁建筑力学第十三章2020-2-2662．荷载q′换算成q由于斜梁按水平均匀分布的荷载计算起来更为方便，故可根据总荷载不变的原则，将q′等效换算成q后再作计算，即由qllq得cos/1qllqllqq（13-1）式（13-1）表明：沿斜梁轴线分布的荷载q′除以cosα就可化为沿水平分布的荷载q。这样换算以后，对斜梁的一切计算都可按图13-5c的简图进行。【例13—2】斜梁如图13—6a所示。已知其倾角为α，水平跨度为l，承受沿水平方向集度为q的均布载荷作用。试作该斜梁的内力图，并与相应水平梁的内力图作比较。解：（1）求支座反力；以全梁为分离体，由静力平衡条件求得支座反力为HA=0，VA=2ql（2）求内力α(b)lq图13-5(a)αlq′′l(c)lαq建筑力学第十三章2020-2-267列弯矩方程。设任一截面K距左端为x，取分离体如图13—6b所示；由KM＝0，可得弯矩方程为2222xqxqlxqxxVMA故知弯矩图为一抛物线，如图13—6c所示，跨中弯矩为281ql。可见斜梁中最大弯矩的位置（梁跨中）和大小（82ql）与直梁是相同的。求剪力和轴力时，将反力VA和荷载qx沿截面方向(v方向)和杆轴方向(u方向)分解(图13—6b)，由∑v=0，得cos2coscosqxqlqxVQA由0u，得sin2sinsinqxqlqxVNABAqlα（a）xKA=0HBV=2ql1AV=12qlxl（f）Kqx（b）AKαqxαQvNMu12ql8图M图Q图Ncosql2α2αqlcos2αqlsin2αqlsin（c）（d）（e）ql182ql2ql2图0M图0Q图0N（g）（h）（i）图13-6建筑力学第十三章2020-2-268根据以上二式分别作出剪力图和轴力图，如图13—6d、e所示。图13—6f所示，为与上述斜梁的水平跨度相等并承受相同载荷的简支梁。由截面法可求得任一截面K的弯矩0M、剪力0Q和轴力0N的方程为2022xqxqlM，qxqlQ20，00N作得内力图如图13—6g、h、i所示。将斜梁与水平梁的内力加以比较，可知二者有如下关系：0MM，cos0QQ，sin0QN第二节静定平面刚架(一)、静定平面刚架的特点1．刚架(亦称框架)是由横梁和柱共同组成的一个整体承重结构。刚架的特点是具有刚结点,即梁与柱的接头是刚性连接的，共同组成一个几何不变的整体。如图13—7a所示简支刚架，图13—7b所示悬臂刚架，图13—7c所示三角刚架，图13—7d所示门式刚架，其中的梁与柱均用刚结点连接。刚架中的所谓刚结点，就是在任何荷载作用下，梁、柱在该结点处的夹角保持不变。如图13—7a、b、c、d所示刚架在荷载作用下均产生变形，刚结点因而有线位移和转动，但原来结点处梁、柱PAA′(a)A′A(b)90°°90(c)PA90°(d)图13-7′AP90°PααAA′建筑力学第十三章2020-2-269轴线的夹角大小保持不变。2．在受力方面，由于刚架具有刚结点，梁和柱能作为一个整体共同承担荷载的作用，结构整体性好，刚度大，内力分布较均匀。在大跨度、重荷载的情况下，是一种较好的承重结构，所以刚架结构在工业与民用建筑中，被广泛地采用。(二)、静定刚架的内力计算及内力图1、内力计算如同研究梁的内力一样，在计算刚架内力之前，首先要明确刚架在荷载作用下，其杆件横截面将产生什么样的内力。现以图13—8a所示静定悬臂刚架为例作一般性的讨论。刚架是在任意荷载作用下，现研究其中任意一截面m—m产生什么内力。先用截面法假想将刚架从m—m截面处截断，取其中一部分隔离体图13—8b。在这隔离体上，由于作用荷载，所以截面m—m上必产生内力与之平衡。从0X，知截面上将会有一水平力，即截面的剪力Q，与荷载在x轴上的投影平衡；从0Y，知截面将会有一垂直力，即截面的轴向力N，与荷载在y轴上的投影平衡；再以截面的形心O为矩心，从00M，知截面必有一力偶，即截面的弯矩M，与荷载对O点之矩平衡。因此可得出结论：刚架受荷载作用产生三种内力：弯矩、剪力和轴力。mm(a)N(b)oMQyx图13-8建筑力学第十三章2020-2-2610要求出静定刚架中任一截面的内力(M、Q、N)也如同计算梁的内力一样，用截面法将刚架从指定截面处截开，考虑其中一部分隔离体的平衡，建立平衡方程，解方程从而求出它的内力。因此，关于静定梁的弯矩和剪力计算的一般法则，对于刚架来说同样是适用的。现将计算法则重复说明如下(注意与前面的提法内容是一致的)：“任一截面的弯矩数值等于该截面任一侧所有外力(包括支座反力)对该截面形心的力矩的代数和”。“任一截面的剪力数值等于该截面任一侧所有外力(包括支座反力)沿该截面平面投影或称切向投影的代数和”。“任一截面的轴力数值等于该截面任—侧面所有外力(包括支座反力)在该截面法线方向投影(或称法向投影)的代数和”。2．内力图的绘制在作内力图时，先根据荷载等情况确定各段杆件内力图的形状，之后再计算出控制截面的内力值，这样即可作出整个刚架的内力图。对于弯矩图通常不标明正负号，而把它画在杆件受拉一侧，而剪力图和轴力图则应标出正负号。在运算过程中，内力的正负号规定如下：使刚架内侧受拉的弯矩为正，反之为负；轴力以拉力为正、压力为负；剪力正负号的规定与梁相同。为了明确的表示各杆端的内力，规定内力字母下方用两个脚标，第一个脚标表示该内力所属杆端，第二个脚标表示杆的另—端。如AB杆A端的弯矩记为MAB，B端的弯矩记为MBA；CD杆C端的剪力记为QCD、D端的剪力记为QDC等等。全部内力图作出后，可截取刚架的任一部分为隔离体，按静力建筑力学第十三章2020-2-2611平衡条件进行校核。【例13—3】计算图13—9a所示刚架结点处各杆端截面的内力。解：（1）利用整体的三个平衡方程求出支座反力，如图13—9a所示；（2）计算刚结点C处杆端截面内力刚结点C有Cl、C2两个截面，沿Cl和C2切开，分别取Cl下边、C2右边，即ClA（包括A支座）和C2B（包括B支座）两个隔离体，分别建立平衡方程，确定杆端截面Cl和C2的内力。对C1A隔离体(图13—9b)，则0X，08CAQ，kNQCA80Y，06CAN，kNNCA60CM，038CAM，mkNMCA24(AC杆内侧即右侧受拉)对C2B隔离体(图13—9c)，有A8KN6KN8KN6KNBCC2C14m3m(a)1CMANCQA6KN8KNCACA3m(b)QBCNBCMCBB6KN4m(c)8KN8KN6KN6KN(d)