电子技术基础数字部分(第五版)(康华光)第二章

2.逻辑代数与硬件描述语言基础2.1逻辑代数2.2逻辑函数的卡诺图化简法2.3硬件描述语言VerilogHDL基础1、掌握逻辑代数常用基本定律、恒等式和规则；2、掌握逻辑函数的基本表达式及相互转换，代数化简方法；3、掌握逻辑函数最小项定义及性质，卡诺图化简法；4、了解硬件描述语言VerilogHDL教学要求2.1逻辑代数逻辑代数又称布尔代数。它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“1”和“0”表示。基本定律与或1.0-1律A0=0，A1=AA+1=1，A+0=A2.重叠律AA=AA+A=A3.互补律AA=0A+A=14.结合律A(BC)=(AB)CA+(B+C)=(A+B)+C5.交换律AB=BAA+B=B+A6.分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)7.反演律AB=A+BA+B=AB普通代数无此分配律2.1逻辑代数2.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式摩根定理基本定律与或9.吸收律A(A+B)=AA+AB=A吸收律A(A+B)=ABA+AB=A+B常用恒等式AB+AC+BC=AB+ACAB+AC+BCD=AB+AC2.1逻辑代数与项含有其它与项的反，去掉反。原变量相与变量和反变量相与变量组成新的与项，去掉证明：CAABBCCAAB证：原式BC)AA(CAABBCAABCCAABCAAB2.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式等式证明①.采用代数的方法证明吸收律ABAABABBABAAB)(②.采用真值表的方法将等式两边分别用F1、F2表示，列出输入变量所有可能取值组合，按逻辑运算法则计算出各种取值下两个函数的相应值，然后比较，若全相等，则F1=F2，即等式相等，否则，F1≠F2，等式不相等。证：证：BABA令：ABA+BABF1F20001111011100010101001110000BAFBAF21,得证2.1逻辑代数摩根定理是一个非常重要的定理，常用于求反函数和逻辑函数变换，现用真值表的方法证明2.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式1.代入规则：⑴规则：任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立。⑵作用：扩大基本公式的应用范围。得：ABCBCACBA由此，摩根定律能推广到n个变量：n21n21AAAAAA利用摩根定律例如，根据反演律BC代替BBABAn21n21AAAAAA2.1逻辑代数2.1.2逻辑代数的基本规则2.反演规则⑴规则：对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：*若把式中的运算符“·”换成“+”，“+”换成“·”；*常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；*原变量换成反变量，反变量换成原变量；*保持原函数的运算次序不变；那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。⑵作用：求原函数式F的反函数式。2.1逻辑代数2.1.2逻辑代数的基本规则2.反演规则⑴规则：“·”、“+”互换；“0”、“1”互换；原变量、反变量互换。得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。⑵作用：求原函数式F的反函数式。注意事项：①保持原函数的运算次序不变，必要时适当地加入括号。②不属于单个变量上的非号有两种处理方法：*非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换；*将非号去掉，而非号下的函数式保留不变。F(A、B、C)CBAB)CA(BA其反函数为)CBA(BCA)BA(F或)CBA(B)CA()BA(F例如将(A+C)B看成一个变量P2.1逻辑代数2.1.2逻辑代数的基本规则3.对偶规则：⑴对偶式：对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：*若把式中的运算符“·”换成“+”，“+”换成“·”；*常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；*保持原函数的运算次序不变；那么得到的新函数式称为原函数式F的对偶式F′，也称对偶函数。⑵对偶规则如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即若F1=F2则F1′=F2′。⑶作用：使定理公式的证明减少一半。2.1逻辑代数2.1.2逻辑代数的基本规则B1CAABF其对偶式)B0()CA()BA('FBAAF1吸收律BAF2BAAF1BAF221FF21FFA+AB=A+BA(A+B)=AB例如3.对偶规则⑴对偶式规则：“·”、“+”互换；“0”、“1”互换；得到对偶式。⑵对偶规则：两个函数式相等，它们的对偶式也相等。⑶作用：使定理公式的证明减少一半。注意事项：保持原函数的运算次序不变，必要时适当地加入括号。2.1逻辑代数2.1.2逻辑代数的基本规则从逻辑问题概括出来的逻辑函数式，需要落实到实现该逻辑函数的逻辑电路，逻辑函数表达式与逻辑电路具有一一对应的关系。例如：的逻辑电路如图为什么要化简：①.逻辑函数表达式越简单，对应的逻辑电路就越简单。②.从逻辑问题概括出来的逻辑函数式，不一定是最简式。③.通过化简逻辑函数式达到简化电路，就是为了降低系统的成本，提高电路的可靠性，以便用最少的门实现它们。BAABF2.1逻辑代数2.1.3逻辑函数的代数法化简逻辑函数表达式越简单，对应的逻辑电路就越简单。例如CBCAABFCABCABABCBAABCBCAABF化简用了7个门电路只用3个门电路2.1逻辑代数2.1.3逻辑函数的代数法化简与项含有其它与项的反，去掉反。&&&111≥1ABCBCACABF&1≥1ABCCABF2.1逻辑代数2.1.3逻辑函数的代数法化简1.逻辑函数的最简与-或表达式一个逻辑函数可以有多种不同的逻辑表达式，五种常用表达式为：逻辑函数表达式中，与-或表达式是基本的表达式，易于转换成其它形式。F(A、B、C)CAAB“与―或”式)BA)(CA(“或―与”式CAAB“与非―与非”式BACA“或非―或非”式BACA“与―或―非”式例如转换为其它形式。说明：这是与或式，对应电路如图。解：①.转换为与非-与非式方法：将与或式两次取反，第1个反号不变，连同第2个反号应用摩根定理，CAABFCAABCAABCAABF2.1逻辑代数2.1.3逻辑函数的代数法化简解：②.转换为或与式方法：首先求出反函数的与或式，然后再取反一次，应用摩根定律展开，即得或与表达式CABAFCABA)CA)(BA(CAABFCABA2.1逻辑代数2.1.3逻辑函数的代数法化简最简与-或表达式：在若干个逻辑关系相同的与-或表达式中，其中包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少的表达式。与-或表达式的化简就是要消去多余的与项和与项中多余的变量。逻辑函数化简成最简与-或表达式后，很容易转换成其它最简形式。2.逻辑函数的化简方法化简的主要方法：(1)．公式法（代数法）(2)．图解法（卡诺图法）代数化简法：运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。这种方法需要一定技巧，没有固定的规律和步骤。①并项法：利用，将两项并为一项，消去一个变量B。例2.1.3化简ABAAB2.1逻辑代数2.1.3逻辑函数的代数法化简CBACBAL1(1)(2))CBCB(A)CBBC(AL2解：(1)CBACBAL1)CC(BABA(2))CBCB(A)CBBC(AL2CBACABCBABCA)CC(BA)CCB(ABABAA常用的代数化简方法②吸收法：利用A+AB=A消去多余的项AB。例2.1.4化简2.1逻辑代数2.1.3逻辑函数的代数法化简BCDFABCDEABAL解：常用的代数化简方法BCDFABCDEABAL)FE(BCDABABA③消去法：利用消去多余变量。例2.1.5化简BABAACBCABALC)BA(BAABBACABBACBAA+AB=A+B④配项法：先利用，增加必要的乘积项，再利用并项、吸收、消去等方法化简。例2.1.6化简2.1逻辑代数2.1.3逻辑函数的代数法化简常用的代数化简方法)BB(AACBCABALCB)AA(CABA解：CBCABALCBACABCABA)B1(CA)C1(BACABA使用配项法化简要有一定的经验，否则越配越繁。通常对逻辑函数化简，要综合使用上述技巧。例2.1.7化简2.1逻辑代数2.1.3逻辑函数的代数法化简常用的代数化简方法EFBEFBABDCAABDADAL解：EFBEFBABDCAABDADALEFBEFBABDCAABAEFBBDCAAEFBBDCAA+AB=A+B例2.1.8化简要求：（1）最简与-或表达式，并画出相应的逻辑图；（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。2.1逻辑代数2.1.3逻辑函数的代数法化简常用的代数化简方法CDBADCBAABDDBADABL解：DCBADCBAABDDBADABLDBADBAABBAABBAABL(与-或式)BAABLBAAB(与非-与非式)2.1逻辑代数2.1.3逻辑函数的代数法化简代数化简方法评价1、优点①、不受逻辑函数变量数目限制；②、对公理、定理、公式十分熟悉时，比较方便。2、缺点①、没有确定的规律和步骤，依赖于人的经验，技巧性很强；②、难以判断结果是否最简。卡诺图化简方法卡诺图化简法又称图形化简法，该方法具有一定的规律和步骤，简单、直观、容易掌握，并且容易判断是否化为最简表达式。卡诺图化简法是逻辑设计中一种十分有用的工具，应用广泛。1.最小项的意义最小项：对n个变量X1，X2，…,Xn的最小项是n个因子的乘积，每个变量都以它的原变量或反变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。n个变量的最小项应有2n个。一个变量A有二个(21)最小项：二个变量AB有四个(22)最小项：三个变量ABC有八个(23)最小项：对于三个变量来说，不是最小项。A,AAB,BA,BA,BA______ABC,CAB,CBA,CBA,BCA,CBA,CBA,CBA________________2.2.1最小项的定义及性质)CB(A,ACBA,BA__2.2卡诺图化简法2.最小项表示方法为了书写方便，用mi表示最小项。下标i的取值规则是最小项中原变量用1表示，反变量用0表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数即下标i的值。ABCCABCBACBABCACBACBACBA最小项二进制数十进制数表示方法m0m100000101010011100101110111234567m2m3m4m5m6m72.2.1最小项的定义及性质2.2卡诺图化简法性质1任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1。性质2不同的最小项，使得它的值为1的那一组变量取值也不同。性质3mi·mj=0(i≠j)。性质4全部最小项之和为1。001ABC000m0CBAm1m2m3m4m5m6m7CBACBABCACBACBACABABC1-n20iimF100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项3.最小项的性质建立一个最小项与一组取值的关系2.2.1最小项的定义及性质2.2卡诺图化简法全是由最小项组成的与-或式表达式，称最小项表达式，又称标准与-或表达式。例如：可以表示为：简化为：任何一个逻辑函数经过转换，都能表示成唯一的最小项表