第9章 线性系统状态空间分析

9.1引言9.2线性系统状态空间基础9.3线性系统的状态可控性与状态可观性9.4线性系统稳定性分析9.5综合实例及MATLAB/SIMULINK应用习题第9章线性系统状态空间分析内容提要在经典控制论中，常用高阶微分方程或传递函数来描述一个线性定常系统的运动规律，而微分方程或传递函数只能用于描述系统输入与输出之间的关系，不能描述系统内部的结构及其状态变量。从经典控制论发展而来的现代控制论采用状态空间法来分析系统，用一组状态变量的一阶微分方程组作为系统的数学模型，它可反映出系统全部独立变量的变化情况，从而能同时确定系统的全部内部运动状态。通过本章，读者对线性系统状态空间的基础知识和分析方法有一个全面的认识，并熟练使用MATLAB进行状态空间分析。9.2线性系统状态空间基础状态空间基本概念1．状态2．状态变量3．状态向量4．状态空间5．状态方程6．输出方程7．状态空间表达式状态空间描述具有以下特点：（1）状态空间描述考虑到了“输入-状态-输出”这一过程，考虑到了被经典控制理论的“输入-输出”描述所忽略的状态，因此它揭示了问题的本质，即输入引起状态的变化，而状态决定了输出。（2）输入引起的状态变化是一个运动过程，数学上表现为向量微分方程，即状态方程。状态决定输出是一个变换过程，数学上表现为变换方程，即代数方程。（3）系统的状态变量个数等于系统的阶数，一个阶系统的状态变量个数为。（4）对于给定的系统，状态变量的选择不唯一，状态变量的线性变换结果也可以作为状态变量。（5）一般来说，状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量，但从便于构造控制系统来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更合适。9.2.2状态空间实现状态空间直接实现法状态空间串联实现法9.2.2.3状态空间并联实现法9.2.3状态空间的标准型虽然通过非奇异的线性变换可以求出无数种系统的动态方程，但是有几种标准型特别有用，如可控标准型、可观标准型、对角标准型和约当标准型。9.2.3.1对角标准型9.2.4状态方程求解9.2.4.2矩阵指数的性质及求法矩阵指数的性质及求法（续）矩阵指数的性质及求法（续）MATLAB中状态空间标准型的实现MATLAB提供了以下两个函数，可用于状态空间标准型的实现，下面分别进行介绍。1．将系统直接转化为对角型的函数canon()MATLAB提供了函数canon()可以将系统直接转化为对角型，其常用的调用格式为：[As,Bs,Cs,Ds,Ts]=canon(A,B,C,D,'mod')其中，A、B、C和D是变换前系统的状态空间实现，参数‘'mod'’表示转化成对角型，As、Bs、Cs和Ds是变换后的对角型，Ts表示所作的线性变换。2．进行状态空间表达式的线性变换的函数ss2ss()MATLAB还提供了函数ss2ss()，可以进行状态空间表达式的线性变换，其常用的调用格式为：[A1,B1,C1,D1]=ss2ss(A,B,C,D,T)其中，T为变换矩阵。注意变换方程为X1=TX，而不是常见的X=TX1，因此要与用户习惯的变换方程一致，必须用T的逆代入上式，即：[A1,B1,C1,D1]=ss2ss(A,B,C,D,inv(T))9.3线性系统的状态可控性与状态可观性状态可控性可控的判据9.3.2状态可观性可观的判据状态可观性9.3.5MATLAB在可控和可观标准型中的应用MATLAB提供了以下4个用于可控和可观标准型的相关应用，下面分别进行介绍。1．求取系统可控判别矩阵的函数ctrb()求系统可控判别矩阵M=[B,AB,A2B...]的函数ctrb(A,B)，其常用的调用格式为：M=ctrb(A,B)结合求M秩的函数rank(M)，从而判断系统的能控性。2．求取系统可观判别矩阵的函数obsv()求系统可观判别矩阵N=[C,CA,CA2,…]的函数obsv(A,C)，其常用的调用格式为：N=obsv(A,C)结合求N秩的函数rank(N)，从而判断系统的能观性。3．系统进行能控性分解的函数ctrbf()当系统能控性矩阵的秩小于系统的维数n时，可以使用函数ctrbf()对线性系统进行能控性分解，其常用的调用格式为：[Ac,Bc,Cc]=ctrbf(A,B,C)其中，A、B和C是变换前系统矩阵，Ac、Bc和Cc是能控性分解后的矩阵。4．系统进行能观测性分解的函数obsvf()当系统能观测性矩阵的秩小于系统的维数n时，可以使用函数obsvf()对线性系统进行能观测性分解，其常用的调用格式为：[Ao,Bo,Co]=obsvf(A,B,C)其中，A、B和C是变换前系统矩阵，Ao、Bo和Co是能观测性分解后的矩阵。9.4线性系统稳定性分析9.4.3MATLAB/Simulink在李雅普诺夫稳定性分析中的应用在MATLAB控制工具箱中，提供了求解李雅普诺夫方程的函数lyap()、lyap2()和dlyap()，函数常用的调用格式如下：P=lyap(A,Q)，其中输入参数A是已知系统的状态矩阵，Q是给定的正定对称矩阵，输出量P是李雅普诺夫方程的解，即正定实对称矩阵P。P=lyap2(A,Q)，其中输入参数A是已知系统的状态矩阵，Q是给定的正定对称矩阵，输出量P是李雅普诺夫方程的解，即正定实对称矩阵P。lyap2()采用特征值分解法求解李雅普诺夫方程，其运算速度比lyap()快很多。对于离散系统，相应的函数为P=dlyap(A,Q)，参数的含义与连续系统的类似