第6章 测量误差的基本知识

第六章测量误差的基本知识§5-1测量误差的来源及分类§5-2衡量精度的指标§5-3误差传播定律（简介）§5-4等精度观测的最可靠值与精度评定§5-5加权平均值及中误差（简介）§5-1测量误差的来源及分类一、误差(error)1.定义：观测值与其真实值（即“真值”）之间的差异。公式：Δi＝Li－X2.观测误差的来源误差来源：观测者、仪器（工具）、外界条件观测条件＝观测者＋仪器（工具）＋外界条件真误差观测值真值3.等精度观测和不等精度观测以观测条件来评价是否等精度观测。4.对测量误差的准确理解误区：误差越小越好，甚至为零。正确认识：将误差限制在满足测量目的和要求的范围内。5.观测误差的分类（1）粗差(grosserror)Δg（2）系统误差(systemerror)Δs（3）偶然误差(accidenterror)Δa总观测误差Δ＝Δg+Δs+Δa极高精度的仪器和极为严格的方法。消耗大量的物力和人力。5.粗差（grosserror）特征：1）一种大量级的观测误差；2）粗差包括测量过程中各种失误引起的误差；3）含有粗差的观测值都不能使用，该观测值必须舍弃并重测。处理方法：1）进行必要的重复观测；2）增加“多余”的观测约束条件；3）严格遵守相关测量规范。6.系统误差（systemerror）定义：在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差。系统误差对观测成果具有累积的作用。处理方法：1）采取必要的观测措施；2）找出系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的公式改正。7.偶然误差（accidenterror）（1）定义：在一定的观测条件下进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号均呈现偶然性；即从表面现象看，误差的大小和符号没有规律性。（2）研究偶然误差的重要性①遵守相关测量规范，粗差可以被发现并剔除；②系统误差可以被改正；③偶然误差却是不可避免的。（3）偶然误差的例子分析（4）偶然误差的统计规律1有限性一定观测条件下的有限观测中，误差的绝对值不超过一定限值2密集性绝对值小的误差出现的频率大，绝对值大的误差出现的频率小3对称性绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等4抵偿性当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为零（5）偶然误差的正态分布曲线8.标准差(standarddeviation,σ)n2lim标准差的大小可以反映观测精度的高低。n§5-2衡量精度的指标一、精度1.定义对某一个量的多次观测中，其误差分布的密集或离散的程度。第1组：±σ1第2组：±σ2-σ2+σ1+σ2f(△)△-σ1±σ1±σ2所以，第1组精度高2.关于等精度观测和不等精度观测的进一步叙述由于精度是表征误差的特征，而观测条件又是造成误差的主要来源。在相同的观测条件下进行的一组观测，尽管每一个观测值的真误差不一定相等，但它们都对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差。因此，可以称这组观测为等精度观测，所得到的观测值为等精度观测值。如果仪器的精度不同，或观测方法不同，或外界条件的变化较大，这就属于不等精度观测，所对应的观测值就是不等精度观测值。3.衡量精度的常用指标（1）中误差(meansquareerror)（2）相对中误差(relativeerror)（3）极限误差（limiterror,或称限差tolerance）二、中误差（m）1.计算公式2.例题（1）对某个量进行两组观测，各组均为等精度观测，各组的真误差分别如下所示，请评定哪组的精度高？第一组：-3、+2、-1、0、+4第二组：+5、-1、0、+1、+2nm23.中误差（m）与标准差（σ）的区别在于观测次数n上！标准差σ表征了一组等精度观测在n→∞时误差分布的扩散特征，即理论上的观测精度指标；而中误差m则是一组等精度观测在n为有限次数时的观测精度指标。4.中误差（m）与真误差（Δ）的区别中误差m反映的是一组观测精度的整体指标，而真误差Δi是描述每个观测值误差的个体指标。在一组等精度观测中，各观测值具有相同的中误差，但各个观测值的真误差往往不等于中误差，且彼此也不一定相等，有时差别还比较大，这是由于真误差具有偶然误差特性的缘故。5.平均误差（θ）平均误差就是在一组等精度观测中，各误差绝对值的平均数。其表达式为：式中[|Δ|]——误差绝对值的总和。例题（2）计算例题（1）的各组平均误差，并比较其精度高低。因此，我国的有关规范均统一采用中误差作为衡量精度的指标。n][n三、相对误差（K）1.相对误差的意义2.定义误差Δ的绝对值与相应观测值D的比值。3.实际距离丈量中的相对真误差（相对较差）/1DDK当Δ为中误差m时，K为相对中误差DDDDDDD/1平均平均平均返往＝＝－4.为什么只有“距离”需要用相对误差K衡量，而“角度”观测则用中误差而不用相对误差？距离测量误差与观测长度大小有关测角误差与角度的大小无关四、极限误差（Δ极限）和容许误差（Δ容）1.极限误差的意义绝对值大于3σ的真误差出现的概率很小，因此可以认为±3σ是真误差实际出现的极限。在等精度观测中，Δ≥2m概率4.55％Δ≥3m概率0.27％2.极限误差（容许误差）的设定在实际测量中，常以2~3倍中误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差。即：Δ容＝2mΔ容＝3m§5-3误差传播定律一、误差传播定律(lawoferrorpropagation)实际测量中，有些量往往不能直接观测得到，需借助其它的观测量按照一定的函数关系间接计算得到。由于直接观测的量含有误差，因而它的函数亦必然存在误差。各观测量的中误差与其函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。二、主要关系式2221mmmZ22221nZmmmm2222222121nnZmkmkmkmZ=k1x1±k2x2±…±knxn线性函数Z=Cx（C为常数）倍数函数Z=x1±x2±…±xnZ=x1±x2和差函数中误差传播公式函数关系式函数名称2221mmmZZmCm三、应用讲解例题（3）在1∶2000比例尺的地形图上，量得A、B两点间的距离dAB＝87.5mm，md＝±0.3mm，求A、B两点间的实地距离DAB及其中误差mD。解：DAB＝MdAB＝2000×87.5/1000＝175.0m根据倍数函数的中误差计算公式，得线段AB的中误差为mD＝Mmd＝±2000×0.3/1000＝±0.6m最后的结果可以写成DAB＝175.0m±0.6m。例题（4）对一个三角形三个内角进行观测，已观测α、β两内角，观测值分别为α=72°34′12″±5.0″，β＝56°46′18″±4.0″。求另一个内角γ的角值及其中误差mγ。解：根据题意，有α＋β＋γ＝180°。因此：γ＝180°－α－β＝50°39′30″在γ的函数式里，180°常数，而mα＝±5.0″，mβ＝±4.0″所以根据和差函数求中误差的公式，有：所以，另一个内角γ＝50°39′30″±6.4″。2222546.4mmm§5-4等精度观测的最可靠值与精度评定一、算术平均值(arithmeticaverage)1.定义2.算术平均值是“真值”的最或然值、最可靠值（证明在pp159）nlnlllxn21nlnlllxn21二、观测值改正数V(residual)1.定义观测量的最或然值与观测值之差。Vi＝x－li2.V的一个重要特性[V]＝0在等精度观测条件下，观测值改正数的总和为零。三、由观测值改正数V计算观测值中误差m1nVVm公式推导见书本P160-161四、算术平均值x的中误差M)1(nnVVMnmM2.公式隐含的意义（1）算术平均值精度比观测值高；（2）增大观测次数，可以提高精度；但次数越多，精度提高幅度越小。05101520n0.20.41.00.60.8M【习题】pp165（2）、（3）、（4）、（6）