第6章 滤波器

Signalsanalysis&processing第6章滤波器华侨大学机电及自动化学院信号分析与处理X2噪声6.1滤波器概述滤波目的:消除或减小信号中的干扰噪声推广从原始信号中获取目标的特征信息干扰背景下目标是否出现信号波形检测。。。滤波器定义：滤除噪声、提取特征信息的系统物理形式：模拟滤波器(R、L、C)数字滤波器(软件算法)信号的构成信噪分离信息获取信号X36.1.1滤波器的基本原理信号与噪声通常占据不同的频带滤波器实质上是一种选频器件使一种频率的信号分量(噪声)大幅度衰减使另一种频率的信号分量(信号)顺利通过滤除噪声、获得有用信息h(t)或h(n)y(m)=s(m)y(t)=s(t)x(n)=s(m)+n(m)x(t)=s(t)+n(t)有用信息噪声X(ω)S(ω)N(ω)Y(ω)ωcX46.1.1滤波器的基本原理滤波器输入输出关系：()()()ytxtht()()()YHX()()()hjHHe()()()ynxnhn()()()YHX连续系统离散系统时域：频域：()()()ytxtht()()()hjHHeh(t)或h(n)y(m)=s(m)y(t)=s(t)x(n)=s(m)+n(m)x(t)=s(t)+n(t)X(ω)S(ω)N(ω)Y(ω)ωc设计滤波器即设计合适的H(ω)，满足滤波效果滤波器的截至频率X56.1.2滤波器的分类按照选频特性低通滤波器高通滤波器带通滤波器带阻滤波器全通滤波器按滤波器元件性质无源滤波器(R、L、C)有源滤波器(含运放)|H(ω)|ω|H(ω)|ωωcLP|H(ω)|ωωcHP|H(ω)|ωωc1ωc2BP|H(ω)|ωωc1ωc2LPX66.1.3滤波器的技术要求理想滤波器与实际滤波器的区别|H(ω)|ωωc截至频率处突变缓变过渡通带内幅频特性常数有波纹度阻带内幅频特性为0逐渐趣近0过渡带越窄、波纹度越小，实际滤波器越接近于理想滤波器过渡带波纹度|H(ω)|ωωc物理上不可实现X76.1.3滤波器的技术要求滤波器的技术要求(指标)：衡量滤波器的滤波性能体现实际滤波器与理想滤波器的近似程度一般有许多指标截止频率ωc带宽B中心频率ω0通带波动Δ衰减函数α相移φ群延时τg一般设|H(ω)|的峰值等于1过渡带|H(ω)|ωωc1通带2/2阻带ωsX8截止频率ωc|H(ω)|下降的频率-3dB频率一个或多个截止频率带宽(通带)B|H(ω)|从1(0dB)下降到(-3dB)的通频带宽度带通滤波器上下截止频率之间的区域：中心频率ω0带通滤波器上下截止频率的几何平均值通带波动Δ通带内最大值与最小值之差6.1.3滤波器的技术要求12ωc2/2|H(ω)|1过渡带ω通带阻带12120lg()32dB21ccB012ccωsX9衰减函数α又称工作损耗描述幅频特性的衰减程度理想滤波器通带衰减＝0，阻带衰减＝∞实际滤波器衰减在0～∞之间通带最大衰减αp、阻带最小衰减αs|H(ω)|1过渡带ω通带阻带ωc2/26.1.3滤波器的技术要求20lg()ssH20lg()pcH(0)20lg()HH220lg()10lg()HHωsX10相移φ(ω)信号通过滤波器后的相位滞后相位滞后是频率的函数群延迟τg相移对频率的导数(变化率)：实际滤波器相移为负，群延迟为正不失真测试系统的群延迟为常数！6.1.3滤波器的技术要求ωc2/2|H(ω)|1过渡带ω通带阻带ωs()gdd()()()jHHeX116.2模拟滤波器用模拟器件构成的滤波器，处理模拟信号设计模拟滤波器的实质：求一个物理可实现系统的传递函数H(s)用H(ω)尽可能逼近理想的频率特性设计模拟滤波器的依据：给定的工作损耗αp、αs～|H(ω)|2——幅度平方函数频率选择性取决于传递函数|H(ω)|2H(s)H(s)必须是稳定的时不变系统实系数有理函数分子阶数n≤分母阶数m极点分布在左半s平面H(ω)有共轭对称性20lg()pcH20lg()ssH00()niiimkkkasHsbs()()sHH()()iikkszsp6.2.1概述X126.2.1概述当系统的傅里叶变换存在时：2()()()sjHHsHs2()()()HHH()()sjHHs()()HH()()HH()()sjHHs()()()iikkszHssp()()()iikkszHssp意义:H(s)H(-s)的零、极点以jω轴对称分布一半属于H(s),另一半属于H(-s)|H(ω)|2＝0的根也成对出现幅度平方函数时ω2的正实函数|H(ω)|2中，以-s2代替ω2，可直接得出H(s)与H(-s)的零极点从而确定滤波器的H(s)说明:对于最小相位系统H(s)的零、极点在左半s平面上H(-s)的零、极点在右半s平面上H(sH(-s)若在jω轴上有极点，则其必为偶阶重极点X13一对2重共轭零点：±j两对实极点：±2、±3取左半s平面的极点-2、-3一对共轭零点±j确定滤波器传递函数H(s)例题5-1求给定滤波器的平方幅度函数的最小相位滤波器的传递函数：解：以-s2代替ω2，得22222(1)()(4)(9)H2222(1)()()(4)(9)sHsHsss21(2)(3)sss22()()(2)(2)(3)(3)sjsjssss()()()(2)(3)sjsjHsssσjω0◎◎-jj××2-2××3-3X146.2.2巴特沃思低通滤波器设计滤波器的一般工程方法：利用逼近理论寻找可实现的逼近函数逼近函数作为滤波器的幅度平方函数Butterwoth(1)巴特沃思低通滤波器的幅频特性以巴特沃思函数作为滤波器的传递函数低通滤波器幅度平方函数：221()1()ncH为滤波器的截止频率n为滤波器的阶数c当时所以对应与滤波器的-3dB点1()2cHccX15(1)巴特沃思低通滤波器的幅频特性1-5阶巴特沃思滤波器幅频特性阶数n增大时通带变平过渡段变窄、衰减加快低通滤波效果变好特点：单调递减性ω＜＜0时H(ω)≈1ω∞时H(ω)0ω=ωc时H(ω)↓-3dB最大平坦幅值滤波器221()1()ncHcX16(1)巴特沃思低通滤波器的幅频特性性能参数衰减函数通带衰减函数阻带衰减函数确定滤波器的阶数n210lg1nc2110lg1nc2|10lg13cncpcdB0.1lg101lg()sscn2|10lg1snssc0.1lg101lg()ssn特别：ωc=1时X17221()1()ncH(2)巴特沃思低通滤波器的极点分布2122skn根据滤波器的幅度平方函数传递函数令：即代入sjsj2()H221()1()ncHssj21()22kjnkcse21ncsj21()0ncsjkcs：无零点，有2n个极点令分母多项式＝0,得到极点：21()221kjnne1,2,,2kn2n个极点均匀分布间隔,第1个极点位置n22n＋X18极点分布图(2)巴特沃思低通滤波器的极点分布2122kknkcs1,2,,2kns4s3s2s145o90os6s5s4s3s2s190o30o2阶3阶极点4个，间距π/2极点6个，间距π/3所有极点以jω轴对称分布在巴特沃思圆上虚轴jω上无极点n为偶数时，jω轴上无极点n为奇数时，在s=±ωc的实轴上有两个极点巴特沃思圆X19(3)巴特沃思低通滤波器的传递函数因滤波器必须是稳定的取左s平面的全部极点作为H(ω)的极点右s平面是的极点属于H(-ω)故：1()()ncnkkHsss/222121[2cos()]22ncncckkssn/21()()()ncnkkkHsssss保证Sk＝0时，H(0)=1n为偶数时n为奇数时(1)/2221()21()[2cos()]22ncnccckHsksssn阶数相同时，对于不同的截止频率ωc,传递函数H(s)不同不便于滤波器的设计故：采用归一化复频率予以简化X20(3)巴特沃思低通滤波器的传递函数传递函数的归一化处理令代入传递函数表达式：/2211()21[2cos()1]22nkHskssn001(),1nkkknHsaasacss(1)/2211()21(1)[2cos()1]22nkHsksssnn为偶数时n为奇数时通式：巴特沃思多项式标准化查表表5－1X21归一化频率的各阶巴特沃思多项式n巴特沃思多项式12345678221ss654323.8647.4649.1427.4643.8641ssssss1s32221sss4322.6133.4142.6131ssss54323.2365.2365.2363.2361sssss7654324.49410.09814.59214.59210.0984.4941sssssss87654325.15313.13721.84625.66821.84613.1375.1531ssssssssX22例题：若巴特沃思滤波器的指标为：当时衰减率不大于3dB;当时衰减率不小于30dB。求滤波器的传递函数解：令12/rads26/rads12/cprads210lg[1()]3pnpcdB26/srads归一化频率3lg1013.143lg3n63/2sscrads31/3pccrads4n0.1lg101lg()sscn查表，得：滤波器归一化传递函数4321()2.6133.4142.6131Hsssss反归一化，令得：滤波器传递函数css4324321()()2.613()3.414()2.613()12222165.22613.65620.90416Hsssssssss(取大)X23小结：巴特沃思滤波器设计步骤一般已知通带截止频率和阻带截止频率pcs通带衰减和阻带衰减spssc1pcc步骤1：截止频率归一化处理0.1slg101lgsn步骤2：根据计算阶数n(取大)步骤3：根据表5-1查取巴特沃思多项式()Hs步骤4：写出归一化巴特沃思滤波器传递函数()Hscss步骤5：令反归一化得到滤波器传递函数X246.2.3切比雪夫低通滤波器巴特沃思滤波器的特点幅频特性随单调减小，特性简单、容易掌握；通带内误差分布不均匀；阶数n小时,过渡带频率特性下降慢;要求阻带衰减快时，阶数很大，不利于硬件实现改进方法：切比雪夫滤波器切比雪夫低通滤波器基于切必雪夫多项式正交函数通带内等波动，保证通带内误差分布均匀过渡带、阻带衰减单调递增，改善高频抑制性能是全极点型滤波器中过渡带最窄的滤波器.ChebyshevX25ε——决定通带内起伏大小的波动系数，0ε1Tn(●)——n阶切比雪夫多项式ωc——通带截止频率(1)