半导体可靠性的数学基础

第二章可靠性的数学基础介绍可靠性的定量表征，常用概率分布及可靠性系统2.1可靠性的定量表征可靠性：是指产品在规定的条件下，在规定的时间内完成规定功能的概率。三个规定来描述可靠性——定性的准确地描述产品可靠性——定量的产品的寿命是随机的变量——数理统计来讨论可靠性的数学描述：可靠度、失效概率、失效概率密度、瞬时失效率、平均寿命、可靠寿命可靠度R(t)产品在规定的条件下，在规定的时间内，完成规定功能的概率。常记作R(t)用数学方式表示为：ξ为随机变量，指产品寿命，N为进行试验的产品总数，n(t)为试验到t时刻失效的总个数。N(t)为工作到t时刻仍在正常工作的产品数}{)(tPtRNtNNtnNtR)()()(失效概率F(t)失效率也叫累积失效概率或不可靠度（性），是指产品在规定的条件下在时间t以前失效的概率，记为F(t)由概率论可知：在实际处理中其近似值为：R(t)与F(t)的关系NtntF)()()()(tPtF1)()()()(NtnNtnNtFtR失效概率密度f(t)也叫失效密度是指产品在t时刻的单位时间内，发生失效的概率，说明器件在各时刻失效的可能性。是F(t)的微商。记作：tdxxftFtFtf0)()()(')(失效率函数λ(t)失效率函数简称失效率，也称瞬时失效率即产品工作到t时刻后，在一个单位时间内失效的概率。设N个产品从t=0时刻开始工作，到t时刻有n(t)个产品失效，又工作到t+Δt时刻，失效数为n(t+Δt)，则失效率记作单位：h-1、%/100h、非特（Fit）三种表示法1Fit=1×10-9/h=1×10-6/1000httnNtnttnNtnttnt)]([)()]([)()()(Fit的物理含义：10亿个产品，在1小时内只允许一个产品失效，或1000小时只允许百万分之一的失效概率例：短期工作卫星：λ100Fit=10-4/1000h我国国家标准“电子器件失效率试验方法”中规定：失效率分为亚五级（Y），五级（W）…十级（S）微电子器件与电路的失效规律早期失效期：失效率较高，但失效率随时间增加而下降，器件的失效主要由一种或几种具有普遍性的原因所造成的。进行合理的筛选可以提高偶然失效期：失效率低且变化不大，器件的失效是由偶然因素引起的耗损失效期：失效率明显上升，致使大部分器件相继失效。产品损伤已经严重，寿命即将终止。产品的寿命特征定义：不可修复的产品，产品发生失效前的工作时间；可修复，指两次相邻故障间的工作时间。常用寿命概念平均寿命tMTTF可靠寿命中位寿命等平均寿命器件寿命的平均值，记作：θ或tMTTF,是器件失效前的平均时间由概率论关于随机变量的数学期望的定义得：0000)(R)(R-)()()(dttttdttdFdtttftEMTTF可靠寿命对一些电子产品，当其可靠度降到r时的工作时间，记该时间为tr，称为产品的可靠寿命，即：R(tr)=r当r=0.5时的tr称为产品的中位寿命，r=1/e时的可靠寿命称为产品的特征寿命寿命方差和寿命标准离差表征产品寿命分散程度的特征量离差平方和方差标准离差N1i2i)tt(sN1i2i2)tt(1N11NsSN1iN1i2i2iN1i2i])t(N1t[1N1)tt(1N1S可靠性各特征量之间的关系插图片举例设100块集成电路，在第100h内的失效数为7块，在100~101h内失效13块，求该电路在100h的失效率为多少？某集成电路使用到2000h还能工作的概率是94%，使用到3000h仍能正常工作的概率是87%，问已经工作了2000h的电路，能继续工作到3000h的概率是多少？常用的概率分布分布类型的确定方法：根据物理背景来定，产品的寿命分布与产品的类型（机械类，电子类）关系不大，而与其承受的应力情况、产品的内在结构及其物理、化学等有关通过寿命试验及使用情况，获得失效数据，用统计推断的方法来判断它是属于何种分布形式概率分布：威布尔分布指数分布正态分布正态指数分布威布尔分布概率密度函数为：累积失效分布函数：失效率：t)()(0)(10ttmmettmtf10)()()(1)(0mttttmtetFmm为形状参数，它决定了概率密度曲线的基本形状。t0为尺度参数，它反映了产品工作时的负荷条件；负荷重，其值就小些Γ称为位置参数，它决定了f(t)曲线的起点，一般情况下多为零形状参数m当m1,f(t)曲线随时间单调下降当m=1，为指数分布当m1，曲线出现缝制后下降，当m3.5可以看作正态分布处理M值越小，曲线平坦，失效数据分散，失效原因越复杂，相当于失效率曲线中的早期失效。当m值越大，曲线变陡，数据分布集中，失效原因越单纯，反映出器件原材料、工艺一致性好。相当于耗损失效期。当m=1，失效率为常数，相当于产品的偶然失效期尺度参数t0表示器件寿命的长短。当m、γ固定时，不同t0影响曲线横轴或纵轴尺度的放大和缩小，不影响曲线的基本形状t0越大，寿命越长，但数据越分散，失效机理越复杂位置参数γ表示了器件开始失效的时间。当m、t0固定时，不同γ值的曲线形状完全相同，只是位置发生了变化当γ≤0时，表示电路一开始就有失效电路存在当γ0时，表示电路开始一段时间内没有失效威布尔分布的寿命特征平均寿命寿命方差可靠寿命中位寿命693.0ln0.5tlnt1-dt)t(ft1dtetdt)t(tf5.0LR202220t0指数分布其函数形式为：其他的寿命特征为：)()((t)),0t(0)()(1)()(}0{)(tFtfetftFetPtRePtPttt1693.0)5.0(trR1ln1tr(R)1)(D22中位寿命：可靠寿命：寿命方差：正态分布其函数形式为：)(1)()()()(t-)(21)(t-)(121)(t-)2)(exp(21)(10222222tttRtfttdxetFtdxetRttfxtxt寿命特征：μ是平均寿命当σ越小，f(t)的极值越大，分布密度曲线越陡，数据越集中；当σ越大，f(t)的极值越小，分布密度曲线越平坦，数据越分散；参数μ反映分布的集中点，即曲线的位置1、标准正态分布以μ为均值、σ为标准离差的正态分布，记为N(μ,σ)。当μ=0,σ=1时的正态分布，用N(0,1)表示。φ(u)和Φ(u)表示服从正态分布的密度函数和分布函数u-dxe21(u)u-e21)u(u22x22x2、正态分布表的用法若已知ξ服从N(μ,σ)，求ξ落在区间[μ-3σ，μ+3σ]中的概率是多少？[解]对于任何一个服从正态分布的随机变量，可以通过下述换算)3()3(-3)uP(--3)uP(-3)uP(-3)]3()3[(P)P(33u33u21u对数正态分布随机变量t的对数服从正态分布，其概率目的函数为：其寿命特征为:222)(ln21)(tettfp2Z22e)R(tr)1e('可靠寿命：寿命方差：Zp为所要求的可靠度为r时，所对应的正态分布分位点值思考题1、100块集成电路，在15年内的失效数据如下：求λ(6),λ(9),λ(12),λ(14)值为多少？2、有人认为任何元器件都服从这一条规律：λ(t)较高时,对应的R(t)比较低，λ(t)较低时刻对应的R(t)就比较高，你认为呢？3、试解释一下R(t=1000)=0.999的含义ti（年）123456789101112131415n(t)01247101319253749688294100可靠性框图和数学模型基本概念及其意义系统与单元之间的关系：物理关系和功能关系可靠性框图数学模型绘制可靠性框图需注意的问题可靠性框图与电气联接相区别在建立可靠性框图时要注意其所完成的功能系统可靠性框图的分类系统串联并联混联网络其他串联系统定义系统的寿命等于各单元寿命中的最小者，系统可靠度是组成该系统的各单元可靠度的连乘积n1iin21n21ini1ss)t(R}t{P}t{P}t{P}t,t,t,{P}tmin{P}t{P)t(R串联系统的失效分布：系统的失效分布密度：系统的失效率：系统与各单元的平均寿命的关系：n1iin1iiss(t)]F-[11(t)R-1(t)R1)t(Fn1iisssnij1jjn1iis)t()t(R)t(f)t((t)]F-[1)t(f)t(fn1iMTTFMTTF)t1(1tis并联系统（并联冗余系统）分类：工作储备和非工作储备纯并联系统：系统的寿命等于各单元寿命的最大者n1iin21n21ini1ss)t(F}t{P}t{P}t{P}t,t,t,{P}tmax{P}t{P)t(Fn1iisnij1jjn1iis(t)]R-[11)t(R(t)]F-[1)t(f)t(f混联系统串-并联系统：将n个单元并联，再串联m个，构成n-m串-并联系统，设各单元可靠度为Rij，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m，且所有单元的寿命相互独立，则由串联和并联公式得：当各单元可靠度相等时m1jn1iijm1jjs)]}t(R1[1{)t(R)t(Rmns})]t(R1[1{)t(R并-串联系统将m个单元串联，再并联n个，构成n-m并-串联系统，设各单元可靠度为Rij，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m，且所有单元的寿命相互独立，则得：当各单元可靠度相等时：n1im1jijn1iis)]t(R1[1)]t(R-[11Rmns})]t(R[1{1R