数值分析笔记期末复习

第一章引论1、数值分析研究对象：数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。2、数值分析特点：①面向计算机，要根据计算机特点设计切实可行的有效算法②有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似计算要保证收敛性和数值稳定性③要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存贮量，这也是建立算法要研究的问题。④要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。3、数值分析实质：是以数学问题为研究对象，不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及理论。4、用计算机解决科学计算问题通常经历以下过程实际问题--数学模型（应用数学）--数值计算方法--程序设计--上机计算结果（计算数学）5、误差来源及分类1.模型误差——从实际问题中抽象出数学模型2.观测误差——通过测量得到模型中参数的值（通常根据测量工具的精度，可以知道这类误差的上限值。）3.截断误差——当数学模型得不到精确解时，要用数值计算方法求它的近似解，由此产生的误差称为（截断误差）或（方法误差）4.舍入误差——由于计算机字长有限，原始数据的输入及浮点数运算过程中都有可能产生误差，这样产生的误差称为舍入误差6、五个关于误差的概念1.绝对误差(*)ex2.绝对误差限*3.相对误差(*)rex4.相对误差限(*)rx（1）定义：设某一量的准确值为x，近似值为x*，则x*与x之差叫做近似值x*的绝对误差(简称误差)，记为*(*)*eexxx（2）性质：(1)绝对误差e(x*)可正可负(2)|e(x*)|的大小标志着x*的精确度(3)绝对误差e(x*)未知（3）判断：绝对误差是误差的绝对值？（错）（1）定义：若指定一个适当小的正数，使|(*)||*|*exxx则称*为近似值x*的绝对误差限。(有时用*xx表示近似值x*的精度或准确值的所在范围。)（2）性质：(1)在实际问题中，绝对误差一般是有量纲的，绝对误差限也是有量纲的。(2)绝对误差限是正的，有无穷多个【则比*大的任意正数均是绝对误差限】（1）定义：绝对误差与准确值之比*(*)*(*),0rrexxxeexxxx称为x*的相对误差。（2）性质：(1)相对误差是个无量纲量。值小者精度高。(2)由于准确值x未知，故实际问题中，当|(*)rex|较小时，常取(*)(*)*rexexx（1）定义：若指定一个适当小的正数(*)rx，使|(*)||(*)|(*)||rrexexxx则称(*)rx为近似值x*的相对误差限。（2）性质：当||(*)|rex较小时，可用下式计算(*)(*)||rxxx5.有效数字（1）定义：若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n位，则称近似值x*有n位有效数字，或说x*精确到该位。注意：近似值后面的零不能随便省去！（2）例题：取x1*=3作为π的近似值，则011||0.1415102e：一个有效数字取x2*=3.14作为π的近似值，则221||0.00159102e：三个有效数字取x3*=3.1416作为π的近似值，则431||0.00000734102e：五个有效数字它们的误差都不超过末位数字的半个单位。（3）性质：(1)有效数字越多，则绝对误差越小(2)有效数字越多，则相对误差越小有效数字的位数可刻画近似数的精确度！6、一元函数的误差估计问题：设y=f(x)，x的近似值为x*，则y的近似值y*的误差如何计算？(*)(*)(*)(*)eydyfxdxfxex(*)(*)(*)eyfxex*(*)(*)(*)(*)rrxeyfxexfx故相应的误差限计算如下(*)(*)(*)yfxx*(*)(*)(*)(*)rrxyfxxfx7、二元函数的误差估计问题：设y=f(x1,x2)，x1,x2的近似值为x1*,x2*，则y的误差如何计算？**121212(*)*(,)(,)(*,*)eyyyfxxfxxdfxx12121212(*,*)(*,*)(*)(*)fxxfxxexexxx(*)(*)*(*)(*)(*)(*)(*)rrdyfxexxeyfxexyfxfx1212121212121212(,)(,)(*,*)(*,*)(*)()()(*)(*)fxxfxxfxxfxxeyexexexexxxxx故绝对误差限为12121212(*,*)(*,*)(*)(*)(*)fxxfxxyxxxx8、多元函数的误差估计121211121(*,*,,*)(*,*,,*)(*)*(*)(*)(*,*,,*)(*)nnnnnniiifxxxfxxxeyyyexexxxfxxxexx9、加减乘除运算的误差估计加法减法乘法除法绝对误差1212()()()exxexex1212()()()exxexex122112()()()exxxexxex12112222()()()xxexxexexx绝对误差限1212()()()xxxx1212()()()xxxx122112()()()xxxxxx21121222()()()xxxxxxx相对误差121212()()()rexexexxxx121212()()()rexexexxxx1212()()()rrrexxexex1122()()()rrrxeexexx相对误差限121212()()()rxxxxxx121212()()()rxxxxxx1212()()()rrrxxxx1212(/)()()rrrxxxx10、算法的数值稳定性概念及运算（1）定义：初始数据的误差或计算中的舍入误差在计算过程中的传播，因算法不同而异。一个算法，如果计算结果受误差的影响小，就称该算法具有较好的数值稳定性11、设计算法的五个原则(一)要避免相近两数相减;εxεxxεxlnlnln1;εxεxxsin()sin2cos()sin22xxx2311126xexxx(二)要防止大数“吃掉”小数，注意保护重要数据291()4102bsignbbacxa91229110110ccxxxaax求和时从小到大相加，可使和的误差减小。若干数相加，采用绝对值较小者先加的算法，结果的相对误差限较小000054321100.4100.3100.41054322y(三)注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累（秦九韶）4324()0.06250.4251.2151.9122.1296(((0.06250.425)1.125)1.912)2.1296Pxxxxxxxxx(四)要避免绝对值小的数作除数21121222()()()xxxxxxx1cossinsin1cosxxxx(1)1xxxxxx(五)设法控制误差的传播许多算法具有递推性。递推法运算过程较规律，但多次递推必然导致误差的积累。1112,3,,91/nnEnEnEe111()()(1)!()nnneEneEneE11nnEEn11|()||()|nneEeEn11|()||()|!neEeEn第二章逼近问题1，函数逼近1、插值问题：求一条曲线严格通过数据点2、曲线拟合问题：求一条曲线在一定意义下靠近数据点2，插值问题1、定义：求一个简单函数φ(x)作为f(x)的近似表达式，以满足(),0,1,,iixyin我们称这样的问题为插值问题；并称φ(x)为f(x)的插值函数；f(x)为被插函数，x0,x1,x2,…,xn是插值节(基)点；(),0,1,,iixyin是插值原则.3，插值多项式1、定义：求一个次数不超过n的多项式2012()nnnPxaaxaxax使满足插值原则(条件)(),0,1,,niiPxyin称Pn(x)为f(x)的n次插值多项式2、定理：在n+1个互异节点处满足插值原则且次数不超过n的多项式Pn(x)存在并且唯一。注：若不将多项式次数限制为n，则插值多项式不唯一。0()()()()nniiPxPxpxxx也是一个插值多项式，其中()px可以是任意多项式。4,插值问题拉格朗日差值牛顿插值000()()()()nnnniiiLxylxylxylx0010001()()[,]()...[,...]()...()nnnNxfxfxxxxfxxxxxx二次插值基函数02110120122021()()()()()()()()()()xxxxlxxxxxxxxxlxxxxx0110110()()()()()()()()()iiiniiiiiinnjjijjilxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx()1,()0,iiijlxlx一阶差商()()[,]jiijjifxfxfxxxxk阶差商01020111[,,...,][,...,,][,,...,]kkkkkkfxxxfxxxfxxxxx零阶差商[]()iifxfx1.差商与节点的排列次序无关，称为差商的对称性2.高阶差商可由低阶差商反复作一阶差商得到，计算具有递推性3.若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，则()01()[,,,],[,]!nnffxxxabn()()()nnRxfxLx(1)1101()()()(1)!()()()()nnnnnfRxxnxxxxxxx为了使得|ωn+1(x)|尽可能小一些，插值基点的选取原则是：使x尽可能位于区间Ix的中部，这里Ix是包含x以及所用基点的最小闭区间。(1)10100()()()(1)![,,...,]()=[,,...]()...()nnnnnnnfRxxnfxxxxfxxxxxxx1.计算量省，便于程序设计2.具有承袭性的插值公式，便于理论分析埃尔米特差值插值条件中除函数值插值条件外，还有导数值插值条件，即已知：2n+2个条件求:一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x)解法1：基函数法解法2：承袭法分段低次插值原因：当插值基点无限加密时，Pn(x)也只能在很小范围内收敛，这一现象称为龙格(Runge)现象，它表明通过增加基点来提高逼近程度是不宜的。定义：设在[a,b]上给出插值条件：求一个折线插值函数Ih(x)满足xix0x1…xnf(xi)f0f1…fn1°Ih(x)是[a,b]上的连续函数2°Ih(xk)=fk，k=0,1,…,n3°Ih(x)在每个小区间[xk,xk+1]上是线性函数则称Ih(x)为分段线性插值函数数学表达：1111kkhkkkkkkxxxxIffxxxx1()kkxxx性质：1°分段线性插值多项式是分段函数；2°可以预见，但n充分大时，Ih(x)能很好逼近f(x)。3°Ih(x)有一个缺点：在插值点处有尖点，即一阶导数不连续，不够光滑。解决办法：三次埃尔米特插值三次样条插值两种构造方法5，最小二乘法1、定义：已知：一组实验数据（xi，yi）(i=0,1,…,m)，且观测数据有误差求：自变量x与因变量y之间的函数关系y=F(x)，不要求y=F(x)经过所有点，而只要求在给定点上误差()(0,1,...,)iiiFxyim按某种标准最小。2、度量标准：(1)使残差的最大绝对值为最小maxmax()miniiiiiey