《高等数学》(同济六版)教学课件★第4章.不定积分剖析

目录上页下页返回结束二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质第四章目录上页下页返回结束一、原函数与不定积分的概念引例:一个质量为m的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知,sin)(tmAtv求?)(tv在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间I上的一个原函数.则称F(x)为f(x)如引例中,tmAsin的原函数有,costmA,3costmA目录上页下页返回结束问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数目录上页下页返回结束定理2.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知])()([xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C它属于函数族.)(CxF即目录上页下页返回结束定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;(P185)若则(C为任意常数)C称为积分常数,不可丢!例如,xxdeCxexxd2Cx331xxdsinCxcos记作目录上页下页返回结束不定积分的几何意义:的原函数的图形称为xxfd)(的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.yxO0x的积分曲线.目录上页下页返回结束例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为12xyyx)2,1(O目录上页下页返回结束例2.质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,)0(0xx)(txx质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻t质点所在位置为则)(ddtvtx(运动速度)tvtxdddd22g(加速度)垂直上抛,不计阻先由此求)(tv再由此求)(txxO目录上页下页返回结束先求由知tgtvd)()(1Ctg,)0(0vv由,01vC得0)(vtgtv再求tvtgtxd)()(020221Ctvtg,)0(0xx由,02xC得于是所求运动规律为00221)(xtvtgtx由知故)0(0xx)(txxxO目录上页下页返回结束xdd)1(xxfd)()(xf二、基本积分表(P188)从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思维xkd)1((k为常数)Cxkxxd)2(Cx111xxd)3(Cxln时0x)1(])ln([)ln(xxx1目录上页下页返回结束21d)4(xxCxarctanxxdcos)6(Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cxtan或Cxcotarc21d)5(xxCxarcsin或Cxcosarcxxdsin)7(Cxcosxx2sind)9(xxdcsc2Cxcot目录上页下页返回结束xxxdtansec)10(Cxsecxxxdcotcsc)11(Cxcscxxde)12(Cxexaxd)13(Caaxln目录上页下页返回结束例3.求解:原式=xxd34134Cx313例4.求解:原式=xxdsin21Cxcos21134xC目录上页下页返回结束三、不定积分的性质xxfkd)(.1xxgxfd)]()([.2推论:若则xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0(k目录上页下页返回结束例5.求解:原式xxxd]25e)2[(e)2ln(e)2(x2ln25xCxx2ln512lne2C目录上页下页返回结束例6.求解:原式=xxd)1(sec2xxxddsec2Cxxtan例7.求解:原式=xxxxxd)1()1(22xxd112xxd1xarctanCxln目录上页下页返回结束例8.求.d124xxx解:原式=xxxd11)1(24xxxxd11)1)(1(222221dd)1(xxxxCxxxarctan313目录上页下页返回结束内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表(见P188)2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质目录上页下页返回结束思考与练习1.证明2.若d)(ln2xxfx(P193题7)提示:xexlne)(lnxfx1Cx221目录上页下页返回结束3.若是xe的原函数,则xxxfd)(ln提示:已知xxfe)(0e)(Cxfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10目录上页下页返回结束4.若;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为则的一个原函数是().;cos1)(xC.cos1)(xD提示:已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)(??或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx目录上页下页返回结束5.求下列积分:提示:)1(1)1(1)1(2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x目录上页下页返回结束6.求不定积分解：)1e(e2xx目录上页下页返回结束7.已知22221d1d1xxBxxAxxx求A,B.解:等式两边对x求导,得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA目录上页下页返回结束作业P1922(5),(12),(14),(20),(23),(25),(26);5;6第二节第四章微分法:)?()(xF积分法:)()?(xf互逆运算不定积分目录上页下页返回结束二、第二类换元法第二节一、第一类换元法换元积分法第四章目录上页下页返回结束第二类换元法第一类换元法基本思路设,)()(ufuF可导,CxF)]([)(d)(xuuuf)()(xuCuF)]([dxFxxxfd)()]([则有目录上页下页返回结束一、第一类换元法定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式uufd)()(xu)(d))((xxf(也称配元法即xxxfd)()]([,凑微分法)目录上页下页返回结束例1.求解:令,bxau则,ddxau故原式=muuad1a1Cumm111注:当时注意换回原变量目录上页下页返回结束221d1()xaxa例2.求解:,axu令则xaud1d21uuda1Cuaarctan1想到公式21duuCuarctan()xa目录上页下页返回结束例3.求21duu想到Cuarcsin解:2d1()xaxa)(d))((xxf(直接配元)xxxfd)()]([2d()1()xaxa目录上页下页返回结束例4.求解:xxxdcossinxxcoscosdxxxsindcosxxsinsind类似目录上页下页返回结束Caxaxaln21例5.求解:221ax))((axax)()(axaxa21)11(21axaxa∴原式=a21axxaxxdda21axax)(da21axlnaxlnCaxax)(d目录上页下页返回结束常用的几种配元形式:1)()dfaxbx)(dbxaa112)()dnnfxxxnxdn113)()dnfxxxnxdn1nx1万能凑幂法4)(sin)cosdfxxxxsind5)(cos)sindfxxxxcosd目录上页下页返回结束xxxfdsec)(tan)62xtandxfxxde)(e)7xedxxxfd1)(ln)8xlnd例6.求xln21xlnd解:原式=xln2121)ln21(dx目录上页下页返回结束例7.求.de3xxx解:原式=xxde23)3d(e323xxCx3e32例8.求.dsec6xx解:原式=xdxx222sec)1(tanxtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC目录上页下页返回结束例9.求.e1dxx解法1xxxxde1e)e1(xdxxe1)e1(dxCx)e1ln(解法2xxxde1exxe1)e1(dCx)e1ln()]1(eln[e)e1ln(xxx两法结果一样目录上页下页返回结束xxxsindsin11sin1121例10.求解法1xxxdcoscos2xx2sin1sindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21目录上页下页返回结束xxtansec解法2xxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx同样可证xxdcscCxxcotcscln或Cx2tanln(P199例18)目录上页下页返回结束222d)(2123xax例11.求.d)(23223xaxx解:原式=23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax23)(2222axa)(d22ax目录上页下页返回结束)2cos2cos21(241xx例12.求解:224)(coscosxx2)22cos1(x)2cos21(24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(212341xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xx目录上页下页返回结束例13.求解:xx3cossin22221)]2sin4(sin[xxxxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1(81xxx2cos2sin2)4cos1(81x∴原式=xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xx目录上页下页返回结束xxxxxdedexxxde)1(例14.求解:原式=xexe)e1(e1xxxx)e(d)e11e1(xxxxxx)e1(eee1xxxxxxxxxxelnxxe1lnCCxxxxe1lnln分析:目录上页下页返回结束例15.求解:原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2xxfxfxfxfd)()()()(22Cxfxf2)()(21))()(d(xfxf)()(xfxf目录上页下页返回结束小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3