铭远教育-(历年真题)2012年浙江省专升本数学试卷及解析

浙江省2012年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设211sinxxxf，x，则此函数是（）A.有界函数B.奇函数C.偶函数D.周期函数2、若函数xfy满足20xf，则当0x时，函数xfy在点0xx处的微分dy是（）A.与x等价的无穷小B.与x同阶的无穷小C.与x低阶的无穷小D.也x高阶的无穷小3、设函数xf满足10f，32f，52f，xf连续，则dxxfx20（）A.10B.9C.8D.74、由曲线xy，1y，4x所围成的平面图形的面积是（）A.34B.35C.37D.3165、已知二阶微分方程xeyyyxsin22，则其特解形式为（）A.xbxaexsincosB.xbxexaexxsincosC.xbxaxexsincosD.xbexaxexxsincos非选择题部分注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）6、极限.______152lim2xxxxx7、函数21sinxxy的连续区间为.______8、已知23f，则._______323lim0hfhfh9、若函数xyy由方程yxey1所确定，则.______y10、.________sincos2dxxx11、极限nnnn211lim用定积分表示._______12、级数03nnnx的收敛区间是.______13、一阶线性微分方程xQyxPy的通解为._______14、在xOy平面上与向量7,3,4a垂直的单位向量是.______15、平面012zyx与平面032zyx之间的距离等于.______三、计算题（本大题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。计算题必须写出计算过程，只写答案的不给分）16、设,0,031,31lnsinarctan11xaxxxxxxf，若xf在点0x处连续，求a的值.17、设0,0,122xxxexfx，求xf.18、求函数4232xxy图形的拐点与凹凸区间.19、讨论方程xxxxcossin2根的个数.20、求.ln2xdxx21、计算.41dxxx22、计算瑕积分.1103xxdx23、将函数221lnxxxf展开成x的幂级数，并指出其收敛域.四、综合题（本大题共三题，每小题10分，共30分）24、已知0lnlimxnxexfnnn，求.xf25、设eba，证明：.abba26、若xf在1,0上是连续的.（1）证明dxxfdxxxf00sin2sin；（2）计算.cos1sin023dxxxx浙江省2012年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试《高等数学》试卷答案一、选择题1.A解析：,,11sin2xxxxf.,11111sin2有界xxxf2.B解析:,20xfdxdy.2limlim00dxdyxdyxxxx3.C解析：20202002dxxfxfxxfxddxxfx.80202xfxfx4.B解析：.351414321123414141xxdxdxxdxxS5.C解析：,1,1,sin22xeyyyx,1,0222irrr.sincos*xbxaxeyx二、填空题6.2解析：152152152lim152lim2222xxxxxxxxxxxxxxxx.21524lim2xxxxx7.1,21解析：,010122xxx,10,01,012xxx时当.022,1,0222xxxx时当.1,22,1,00,22x8.4解析：.422323lim323lim00hfhfhfhfhh9.yyxee1解析：隐函数求导.yxeeyyy.1yyxeey10.Cxxxcoscotcscln解析：dxxxdxxxsinsin1sincos22.coscotcsclnsinsin1Cxxxdxxdxx11.dxx10解析：innnnnn11211lim.1ninni为x.所以上下限确定为.1,0定积分表示为.10dxx12.1,1解析：.13limlim11nnnnnnaaR收敛区间.1,113.CexQeydxxPdxxP解析：.xQyxPy根据公式可得：.CdxexQeydxxPdxxP14.0,54,530,54,53或解析：在xoy平面上：7,3,4a，单位向量为1.设,0,,BAb034122BABA.5453BA15.362解析：.6321121303201222222212CBADDlzyxzyx三、计算题16、解：要使xf在点0x处连续，必有,0limlim00fxfxfaxx所以,33031lnlim1arctansinlim00xxxxaxx故当3a时，xf在点0x处连续。17、当0x时，xxf2；当0x时，xexf22；当0x时，因为00lim020xxfx，0201lim020fxefxx，所以函数xf在点0x处不可导.因此.0,20,22xxxexfx18、解：因为,4218,42163222xxxyxxxy令;2,0,0xxy得列表如下：x0,02,02,2y0y凹拐点凸拐点凹由表知：函数图形的凹区间是,20,；函数图形的凸区间是2,0.函数图形的拐点是43,2,43,0.19、解：设,cossin2xxxxxf,cos2xxxf当0x时，,0xf函数xf单调递增；当0x时，,0xf函数xf单调递减.则xf在0x处取得极小值,10f且.limxfx所以函数xf有两个零点，即原方程有两个实根.20、解：.91ln31131ln31ln31ln333332Cxxxdxxxxxxdxxdxx21、解：.562041411141dxxxdxxxdxxxdxxx22、解：.22121111,11,1.111122222222102103dttttdttttxtxxdxxxxxxdx原式则令23、解：函数xf的定义域为21,1，则函数化为.21ln1ln21ln2xxxxxf因为.2121,211.121,2121ln;11,11ln111111xxnxfxxnxxxnxnnnnnnnnnn所以四、综合题24、解：.,ln0,1:.111lnlimlnlim3;ln1lnlimlnlim2;11lnlimlnlim01111exxexxfenxexfexxxeenxexfexexenxexfexnnnnnnnnnnnnnnnnnnn综上得时，当时，当时，当25、解：不等式两边取对数，得,lnlnbaab即证.lnlnbbaa令,lnxxxf,ln12exxxxf且0xf，所以函数xf在区间,e上单调递减的函数，则.lnlnbbaa即原不等式成立.26、.sin2sin,sinsinsinsin1000000dxxfdxxxfdtttfdttfdttfttxdxxxf所以证明：2解：.2coscos1cos12cos1sin2cos1sin2022023023xdxxdxxxdxxxx