交通流

MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST第十二章交通流问题12.1交通流模型12.2红绿灯模型MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST交通流的主要变量交通流的主要变量之间的关系连续交通流方程间断交通流方程12.1交通流模型MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST交通流的主要变量QqT平均交通流量或平均流量瞬时交通流量(交通流量或简称为流量)0(,,)(,)limtQxtttqxtt（其表示t时刻单位时间内通过点x的车辆数）1.交通流量时间段驶过某处的车辆数MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUSTQl该路段的平均交通流密度或平均密度时刻t，x处的交通流密度或密度0(,,)(,)limxQxxxtxtx2.交通流密度（其表示t时刻x点处单位长度内的车辆数）车辆数某一时刻路段长度内的通过的车辆数(,)xxx时刻t在路段(,,):QxxxtMathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST由于将交通流视为一维流体场,这里的将不再表示固定的哪一辆汽车的速度,在此认为是时刻t通过点x的车流速度.3.车流速度与一维流体力学中速度场概念一样交通流的速度(,)uxt设某辆车的运动方程为()xxt则该车的速度为()((),)xtuxtt(,)uxt注MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST交通流的主要变量之间的关系交通流量(,)qxt连续可微的量交通流密度(,)xt交通流速度(,)uxt则单位时间内通过的车辆数等于单位长度内的车辆数与车流速度的乘积(,)(,)(,)qxtxtuxtMathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST(,)(,)(,)qxtxtuxt车流密度较小(大)u车流速度较大(小)(,)((,))uxtuxt单调减少的函数(,)(,)((,))((,))qxtxtuxtFxt可以用适当的单调减少函数描述这种关系(,)((,))uxtuxt交通流的主要变量之间的关系MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST当一辆汽车前面没有车辆时,即0.行驶速度是最大的muu那么车流速度最小,即0u若假设平稳状态下,即所有车辆的速度相同,1mmuu交通流量的结构方程()1mmqu当车队首尾相接造成堵塞无法前进时,m此时车流密度最大不妨简化认为u是的线性函数交通流的主要变量之间的关系各处的车流密度相同(,)(,)(,)qxtxtuxtMathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUSTOqqm流量与密度的关系()1mmqu*()mqq最大交通流的主要变量之间的关系MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST连续交通流方程1.模型的建立车辆基本守恒律（平衡律）一个时段内通过一个路段的汽车数量满足下列关系：汽车数量的增加率=汽车的流入率-汽车的流出率交通流方程交通流量(,)qxt交通流密度(,)xt交通流速度(,)uxtMathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST该路段的汽车数量在时段内增加了((,)(,))qxxtqxtt该路段其车辆的增加数近似为((,)(,))xttxtx1.模型的建立(,)ttt考察时段(,)xxx路段上汽车数量的变化由上述基本守恒律可得((,)(,))((,)(,))qxtqxxttxttxtxxx+xtt+tMathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST0qtxd()()dqqFtxxxdd()q是已知函数。((,)(,))((,)(,))qxtqxxttxttxtx1.模型的建立两边同除以,xt00,xt连续交通流方程(,)(,)((,))((,))qxtxtuxtFxt两边关于t求偏导数MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST000(),,(,)(1())xttxxfx0,qxtd()()dqqFxxxx1.模型的建立(初始密度)它的解描述了任意时刻公路上各处的车流分布状况，再由即可得到流量函数。(,)xt()qMathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST2.模型的求解()xxt设有一条曲线满足2d((()),()))dxxtttd0d()dxtxtxdtt用特征方程和首次积分法求解一阶拟线性偏微分方程000(),,(,)()xttxxfx的初值问题在这条曲线上恒等于常数在这条曲线上MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST通常称满足的曲线为“特征线”初值条件0000((),)((),)(())()xttxfxfx2.模型的求解00(,)()xfx),(00tx对于任何只有找到满足d((()),))dxxttt),,(00txtxx的曲线即得000(,)()xtfxd((()),))dxxtttMathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST00030()(())((),)xtfxtxxx2.模型的求解由于在特征线取常数值，(,)xt因此(2)端函数为常数0((()),))(())xttfx即得再由(2)式解得特征线为直线MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST0000000(,)(,)()()(()),()xtxtfxxtfxtxxx方程(1)求解过程可归结如下：2.模型的求解则方程(1)的解为先求过(x0,t0)一条特征线(3),该特征线与x轴交点处的初始函数值即为00(,)xt000(),,(,)(1())xttxxfx只要给定流量函数和初始密度f(x).()qMathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUSTxtx0O几何意义10[(())]kfx斜率为(一族直线)方程的特征线沿每一条特征线)(txx0(,)()()xtfx常值当然在不同的特征线上00()(,)xfxxt变变变3.模型的解释00030()(())((),)xtfxtxxxx轴交点坐标为x0MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUSTdd2()1mmqu11112000****()()()m若，；，，3.模型的解释对不同的初始密度f(x),给出(1)的解的不同描述()1mmqu()的图形Oqm11mMathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST1)若初始密度f(x)是减函数,即车辆沿x轴正向行驶,前面的密度小,后面的密度大,f(x)的图形见下图(1)3.模型的解释xOx1x*x2f(x)(1)MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST1**()[(())]kxfx此条特征线是垂直x轴的(),()fx由为减函数11111100***()()()()()[(())]fxfxkxfx，，3.模型的解释1)若初始密度f(x)是减函数0*(),由于(())xfx即从出发的特征线的斜率1*,xx当当2*xx222100*(),(),()fxkx从x1出发的特征线的倾斜方向如图(2)从x2出发的特征线向相反的方向倾斜MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUSTxtx1x2x*(2)o3.模型的解释1)若初始密度f(x)是减函数MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUSTxOx1x*x2f(x)(1)123.模型的解释2)若初始密度f(x)是增函数f(x)的图形见下图(1),前面的密度大,后面的密度小。MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUSTxtx1x2x*x'1P(x,t)(2)o特征线必然相交3.模型的解释2)若初始密度f(x)是增函数MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST•因为初始密度表示前面车辆拥挤,后面车辆稀疏•于是后面的车速比前面大,当后面的汽车追上前面的车后,又不许超车,他的车速就会慢下来•并引起连锁反应,使得车辆一辆接一辆的减速,就像水波一样向后传播.3.模型的解释2)若初始密度f(x)是增函数这就意味着函数和在某些点出现间断),(tx),(txq),(txMathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST•考虑位于间断线前后一段道路一连串(x,t)的间断点在Oxt平面上构成一条孤立的、连续的间断线，()sxxt记作1.模型的建立下面推导xs(t)满足的方程：间断交通流方程•在任意时刻t，x=xs(t)在x轴是孤立的。0[(),()]()ssxtxt上车辆的变化情况。MathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST首先注意到路段很短1.模型的建立间断交通流方程流出该路段的速率()sxt计算车辆经过端点该路段流出率=流出率xx+xtt+t在时段流出该路段的汽车总数),(ttt此间经过流量=)(txs端点移到处而未能驶出该路段的车辆)(ttxsMathematicalModelingRelease1.0DepartmentofMathematicsHUST((),)((),)(()())ssssqxtttxttxttxt(车辆的流出率)dd()((),)((),)sssxtqxttxttt类似地计算车辆经过端点