曲线的凹凸性与拐点

曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.一、曲线的凹凸性从图3-12（a），（b）可以观察到.定义1如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率()fx随着x的增大而增大，即()fx单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率()fx随着x的增大而减少，即()fx单调减少.而函数()fx的单调性又可用它的导数，即()fx的二阶导数()fx的符号来判定，故曲线()yfx的凹凸性与()fx的符号有关.定理1设函数()fx在区间(,)ab上具有二阶导数.（1）如果在区间(,)ab上，有()fx0，那么曲线在(,)ab上是凹的；（2）如果在区间(,)ab上，有()fx0，那么曲线在(,)ab上是凸的.例1判定曲线lnyx的凹凸性.解函数的定义域为(0,)，而211,yyxx因此曲线lnyx在(0,)内是凸的.例2讨论曲线3yx的凹凸区间.解函数的定义域为(,)，23,6yxyx显然，当0x时，0y；当0x时，0y.因此(,0)为曲线的凸区间，(0,)为曲线的凹区间.二、曲线的拐点在例2中，点(0,0)为凸的曲线弧与凹的曲线弧的连接点，对这种点有如下定义.定义2在连续曲线上，凹凸曲线弧的分界点，称为曲线的拐点.下面来讨论曲线()yfx拐点的求法.由于拐点是曲线凹凸弧的连接点，如果()fx存在且连续，则在拐点的左右近旁()fxoxyAB（a）BAoxy（b）图3-12必然异号，因此曲线拐点的横坐标0x，是可能使()fx=0的点，从而可知求拐点的步骤为：（1）求()fx；（2）令()fx=0，解出方程()fx=0在某区间内的实根0x；（3）对每一个实根0x，考察()fx在0x的左右近旁的符号，若()fx在0x的左右近旁的符号相反，则点00(,())xfx是拐点，若()fx在0x的左右近旁的符号相同，则点00(,())xfx不是拐点.例3求曲线453151xxy的凹凸区间与拐点.解函数的定义域为(,)3434xxy，)1(444223xxxxy令0y，得1,0xx.由于0x的左右近旁y不改变符号，（0，0）不是拐点.当1x时，0y；当1x时，0y.所以曲线在)1,(内是凸的，在,1(）内是凹的；（)152,1为拐点.注意：使()fx不存在而()fx连续的点，也可能成为曲线的拐点.例4求曲线53yx的拐点.解定义域为(,)，2353yx，1310,(0)9yxx因为令0y时，方程131009x无解.而当0x时，0y；当0x时，0y，即曲线在区间(,0)内是凸的，在区间(0,)内是凹的，又曲线在点0x处是连续的，所以点（0，0）是曲线的拐点.三、函数绘图1、渐近线定义3如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.例如直线0,0xyxyabab为双曲线12222byax的渐近线.但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种情况的渐近线予以讨论.（1）水平渐近线如果当自变量x时，函数()fx以常量C为极限，即lim()xfxC，则称直线yC为曲线()yfx的水平渐近线.（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）如果当自变量0xx时，函数()fx为无穷大量，即0lim()xxfx，则称直线0xx为曲线()yfx的铅直渐近线.说明：对x时，有时也可能仅当x或x；对0xx，有时也可能仅当0xx或0xx.例5求下列曲线的水平或垂直渐近线.（1）3223xyxx（2）2212xye.解（1）因为323lim23xxxx，321lim23xxxx所以直线3,1xx是两条铅直渐近线.（2）因为221lim02xxe，所以直线0y为其水平渐近线.2、函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤为：（1）确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性；（2）确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点；（3）考察渐近线；（4）作一些辅助点；（5）由上面的讨论，画出函数的图形.例6作函数32()31fxxx的图形.解（1）函数定义域为(,)；（2）2()36fxxx，令()0fx得120,2xx；()66fxx令()0fx得31x.列表：x(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)()fx+0----0+()fx----0++()fx极大值1拐点（1，--1）极小值--3说明：“”表示上升且为凸的，“”表示下降且为凸的，“”表示下降且为凹的，“”表示上升且为凹的.（3）无渐近线；（4）取辅助点（1,3)、（3，1）；（6）画图（如图3-13）例7作函数1)2(12xxy的图形.yx-111-1232O图3-13yx411-223-1-14'32O解定义域为),2()2,(342)2()2()2)(1(2)2(xxxxxxy令0y，得0x；4623)2()1(2)2()2(3)2(xxxxxxy，令0y，得1x；列表：x(1,）1)0,1(0（)2,0(2,)()fx——0+—()fx—0+++()fx拐点)911,1(极小值45渐近线：因为]1)2(1[lim22xxx，所以2x是铅直渐近线；又因为1]1)2(1[lim2xxx，所以1y是水平渐近线.作辅助点：（)1,1、)0,255(、)45,0(.作图：（如图3-14）习题1、判定下列曲线的凹凸性：（1）)0(2acbxaxy；（2）xxyarctan.2、求下列曲线的拐点及凹凸区间：（1）53523xxxy；（2）321xy.3、求下列曲线的水平或垂直渐近线：（1）1232xxxy；（2）xey1；（3）)1ln(xey；（4）11xeyx.4、作函数的图形：（1）1612823xxxy；（2）2xey；（3）3443xxy；（4）xxey.